Алгебра банахова

Если Я — произвольное вещественное число и Л, В — любые элементы алгебры Ш, то М = /, Ц Л , Л + В <Ц Л Ц + Ц ВЦ. Из равенства нулю нормы ЛЦ следует, что Л = 0. Алгебра Щ топологически полна, если рассматривать ее как метрическое пространство с расстоянием между элементами Л и В, определяемым как ЦЛ —ВЦ. (Иначе говоря, 31 — действительное банахово пространство с нормой Л ). [c.75]

Комплексной (или действительной) алгеброй с инволюцией называется комплексная (или действительная) алгебра, наделенная инволюцией. Элемент А алгебры с инволюцией называется самосопряженным, если А = А. Банаховой алгеброй с инволюцией называется комплексная (или действительная) ассоциативная, нормированная алгебра с инволюцией, полная относительно топологии, индуцированной определенной на ней нормой, и такая, что II/ Ц = Ц II для всех Далее, [c.96]

Абстрактно алгебру фон Неймана можно определить следующим образом [347] 1 -алгебра есть С -алгебра, двойственная некоторому банахову пространству. Можно показать, что всякая 1 -алгебра обладает точным представлением как алгебра фон Неймана, определенная на некотором гильбертовом пространстве. Но сколь ни изящен такой подход к алгебрам фон Неймана с математической точки зрения, он почти не допускает прямой физической интерпретации, и в дальнейшем мы не будем использовать его. [c.146]

Обозначим через Д1 ( с) банахову алгебру с инволюцией, получающуюся при пополнении Д (ё с) по этой норме. Однако в общем случае Д1 ( с) не является С -алгеброй, поскольку не выполняется соотношение Я Я И1 = II Я [c.304]

Поэтому представление л непрерывно на Д ( с) и допускает расщирение по непрерывности до представления банаховой алгебры с инволюцией Д] (< с). Итак, для каждого элемента R A (S ) справедливо неравенство (I л (Р) < РЦ] (которое, впрочем, тривиально, поскольку Д ( с) — банахова алгебра с инволюцией). Чтобы учесть условие непрерывности г , сосредоточим внимание на множестве Р (Ж с) всех невырожденных представлений алгебры Л1 (S ), для которой представление л непрерывно по А, е Р в слабой операторной топологии [c.305]

Д (< с). В дальнейшем нам нет необходимости различать между представлением яе=Р( с), рассматриваемым как представление нормированной С -алгебры Д ( с), банаховой алгебры с инволюцией Д1 (ё с) или С -алгебры А(ё с)- Попутно заметим, что С -алгебра Д (ё с) не слишком велика для того, чтобы изучать на ней множество всех представлений Вейля, удовлетворяюш,их лишь определяющим условиям I. Действительно, как мы видели ранее, множество До(< с), представляющее для нас основной интерес, порождает С -алгебру Д(< с) в смысле нормированных линейных пространств. [c.306]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

С -алгеброй (или Н -алгеброй) называется комплексная (или действительная) банахова алгебра с инволюцией, такая, что 1Р = для всех Я. Заметим, что наша алгебра всех наблюдаемых обладает всч ли свойствами 7 -алгебры, кроме ассоциативности, причем инволюцию можно рассматривать юак тождественное отображение, которое, очевидно, является антиавтоморфизмом, поскольку алгебра 91 абелева (Л оВ =В о Л). Подчеркнем, что множество 51 всех самосопряженных элементов (ассоциативной ) С -алгебры (или 7 -алгебры) 8 является алгеброй Сигала и что в этом случае симметризованное произведение А° В = 2 (Л + В) — А — В ) имеет простой вид Л <> В= 2 АВ ВА), где озйачает произведение в Алгебра Сигала может быть либо специальной (комплексной или действительной), либо исключительной в зависимости, от того, изоморфна ли она множеству всех самосопряженных элементов С - или 7 -алгебры. Как и в случае йордановых алгебр, абстрактные критерии специальной алгебры Сигала неизвестны ). Неизвестно также, является ли в общем случае алгебра 21 всех наблюдаемых физической системы специальной в указанном смысле. [c.96]

В первой части данного пункта мы подробнее остановимся на то. Гько что сд.еланном замечании и распространим понятие слабой -топологии на алгебру 91, двойственную С -алгебре 91. Строго говоря, такое расширение не является необходимым для понятия физической эквивалентности, поскольку последнее должно формулироваться и действительно формулируется лишь в терминах алгебры 91 и множества . Но мы проводим здесь это расширение для полноты, а также из практических Соображений, поскольку впоследствии нам понадобится эта топология на Большинство результатов, излагаемых (для освежения памяти) ниже в предварительном обзоре, обычно сообщается в курсах теории банаховых пространств и вообще топологических линейных пространств. Читателю, которого заинтересуют доказательства, относящиеся к общей математической основе изложения, мы рекомендуем обратиться к курсу Данфорда и Шварца [91, гл. И и V], Дея [67, гл. I] или Бурбаки [46, гл. IV]. Главный пункт этого нашего предварительного обзора — теорема об аппроксимации (теорема 6) и следствие из нее. [c.129]

Отметим также [79, гл. 2, 6, п. 4 гл. 12, 3, п. 4], что каждый эрмитов непрерывный линейный функционал ф на С -алгебре можно однозначным способом представить в виде разности двух положительных линейных функционалов ф[ и фг так, что IIФII = IIФ1II-f IIФ2II- Ясно, что непосредственный физический смысл имеют элементы выпуклого множества = = 91+/R+= SR+/R+. Из них мы можем построить элементы Чю-ложительного конуса 91 = SR+, затем действительное банахово пространство 91 = SRa и, наконец, комплексное банахово пространство SR. Однако в физических приложениях всегда необходимо помнить о том, что эти структуры имеют физический смысл лишь постольку, поскольку они связаны с множеством . [c.132]

Поясним сказанное на нескольких примерах. Тривиальными примерами алгебр фон Неймана служат множества Я/ и Ъ Ж). Заметим, что оба эти множества являются в то же время С -алгебрами. Естественно возникает вопрос, всякая ли алгебра фон Неймана является некоторой С -алгеброй, т. е. С -под-алгеброй алгебры 33 (Ж) гильбертова пространства, на котором определена алгебра фон Неймана. Мы увидим, что ответ на этот вопрос положителен, а поэтому алгебры фон Неймана можно рассматривать как частные типы С -алгебр и переносить на них все теоремы, ранее доказанные для С -алгебр. Обратное утверждение неверно. Рассмотрим, например, С -подалгебру 21 алгебры 33(Ж), состоящую из всех компактных операторов. Ее бикоммутант 21" совпадает с 33 (Ж), вследствие чего 21 содержится как собственное подмножество в 21", если пространство Ж бесконечномерно. В этой связи мы хотели бы отметить [75, 350, 440], что объект 51 , двойственный двойственному объекту алгебры 21, изоморфен как банахово пространство множеству 33(Ж). Это обстоятельство не случайно и в действительности служит лищь иллюстрацией к весьма общей теореме, которая, как мы увидим в дальнейшем, позволяет нам каноническим образом сопоставлять всякой абстрактной С -алгебре некоторую алгебру фон Неймана, [c.145]

Итак, мы видим, что всякая алгебра фон Неймана 92 есть С -алгебра. Последняя как банахово пространство двойственна некоторому банахову пространству (а именно банахову пространству 92, всех ультраслабых непрерывных функционалов на 92). Таким образом, 92 есть 1 -алгебра. Множество 92, называется множеством, преддвойс твенным множеству 92. [c.156]

Интересной иллюстрацией перечисленных лемм может служить алгебра фон Неймана Ъ Ж) ). Обозначим через Ъ Щ множество всех операторов конечного ранга, действующих в Ъ Ж). Они образуют -подалгебру в Ъ Ж). Равномерное замыкание Ъ Щ представляет собой С -алгебру % Ж) всех компактных операторов в 93 ( ) и является двусторонним замкнутым -идеалом алгебры Ъ Ш). Введем в рассмотрение множество Й Ж) всех операторов Гильберта — Шмидта на Л е й Ж) в том и только в том случае, еслиЗр Л Л < оо. Нетрудно убедиться, что % М)< Ж) с.% Ж) и й( ) — банахова -алгебра относительно нормы ЛЦ =(5рЛ Л) ". В этой норме скалярное произведение принимает вид (Л, В) = 5рЛ Б и, стало быть, 2 Ж) —алгебра Гильберта ). Пространство Ж) есть замыкание множества % Ж) по норме . .. Ц , Гильберта — Шмидта. [c.156]

Из изоморфизма между 91 и (91"), мы заключаем, что мно жество Ш" как банахово пространство изоморфно множеству дважды двойственному алгебре Действительно, изометри ческий изоморфизм Л для каждого 5 Я" мы полу [c.159]

Однако представляется чрезвычайно трудным найти какие-нибудь физические основания для того, чтобы С -алгебра Я, порожденная наблюдаемыми, обязательно была И -алгеброй, т. е. множество Я как банахово пространство было двойственным некоторому банахову пространству. И даже, как показывают некоторые хорошо известные физические примеры, это, вообще говоря, не так. Достаточно упомянуть о том, что С -алгебра канонических перестановочных соотношений не является -алгеброй всех ограниченных наблюдаемых в пространстве Фока, хотя ее представление в пространстве Фока точно и неприводимо. Здесь имеет смысл подробнее остановиться на значительно более простом случае классической механики, поскольку он хорошо иллюстрирует основные особенности рассматриваемой проблемы и облегчит нам подход к общему, квантовому случаю. [c.185]

Таким образом, форма ф непрерывна на А(ёс) и может быть продолжена по непрерывности до положительной (непрерывной) линейной формы на банаховой алгебре с инволюцией Д] (< с), причем (ф /)= 1, т. е. ф есть состояние на А1 ( с). Возвращаясь к доказательству теоремы 14 из гл. 1, 3, мы видим, что оно проходит лищь в том случае, когда 8 — банахова алгебра с инволюцией, наделенная единицей. Пусть я<р — представление ГНС алгебры А] (< с), ассоциированное с ф. На основании цикличности представления Яф мы можем путем прямых выкладок убедиться, что слабая операторная непрерывность операторов Яф (Кк ) по Я, УЯ, е К, / е ( с, следует из условия 2. Та м образом, Яф принадлежит Р( с). Пользуясь предыдущей лем- [c.308]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...