Теоремы об устойчивости стационарного движения

В механике известна аналогичная теорема об устойчивости стационарных движений систем с циклическими координатами (теорема Рауса). В электромеханике она относится к системам со сверхпроводящими контурами (все R, = 0). Для систем [c.340]

Так как наличие гироскопических сил не нарушает закона сохранения полной энергии, то для приведенной системы существует интеграл Е = Щ И. Если теперь в п. 225 заменить Е на Е и повторить рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы Лагранжа, то придем к следующей теореме Рауса об устойчивости стационарных движений голономной консервативной системы с циклическими координатами. [c.497]

Раусу принадлежит несколько теорем об устойчивости стационарных движений. Приведем здесь только одну из них, получившую наибольшее распространение. Эта теорема справедлива для голономных консервативных систем, обладающих циклическими интегралами. [c.557]

Замечания. 1°. Возможность применения метода функций Ляпунова к проблеме построения инвариантных множеств динамических систем рассматривается в работе A.A. Бурова и A.B. Карапетяна [1990] при этом дается также обобщение теоремы Рауса (и ее модификаций) об устойчивости стационарных движений. В этой же работе можно найти пример устойчивого инвариантного множества, не являющегося многообразием. [c.273]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

Если начальные условия таковы, что выражение в квадратных скобках отрицательно, то движение тела относительно состояния стационарного движения, соответствующего регулярной прецессии, неустойчиво по теореме III 118. Имеет место лишь условная устойчивость (теорема II 118). Если выражение в квадратных скобках положительно, то теоремы первого метода А. М. Ляпунова не позволяют сказать что-либо определенное об устойчивости движения. Мы не исследуем этот вопрос подробно, ограничившись лишь замечанием, что движение тела относительно состояния стационарного движения, соответствующего регулярной прецессии, устойчиво, когда выражение в квадратных скобках будет положительно. [c.434]

Вопрос об устойчивости положения равновесия или стационарного движения в данном случае приводится к проблеме минимума функционала энергии W, что позволяет обобщить классические теоремы Лагранжа и Рауса. [c.182]

Согласно этим теоремам задача об устойчивости равновесия или стационарного движения твердого тела с жидкостью приводится к задаче минимума потенциальной энергии V или измененной потенциальной энергии W системы. В случае полного заполнения жидкостью полости выражения V ш W являются функциями конечного числа переменных qj. В случае частичного заполнения полости V и W представляют собой функционалы, зависящие от формы объема т и свободной поверхности жидкости, а также от положения тела. Так как свойство минимума является локальным, то для строгого решения задачи минимума, за исключением особых случаев, можно ограничиться рассмотрением величин второго порядка малости. Поэтому для решения этой задачи можно использовать методы теории малых колебаний, если смещение свободной поверхности от положения равновесия представить в виде ряда пф системе собственных функций соответствующей краевой задачи. Таким методом был решен ряд конкретных задач о минимуме V и W (Н. Н. Моисеев, 1952 Г. С. Нариманов, 1956 В. В. Румянцев, 1962). Однако вычисления при [c.33]

Карапетян А. В., Рубановский В. Н. О модификации теоремы Рауса об устойчивости стационарных движений систем с известными первыми интегралами // Сборник научно-метод. статей по теор. мех. — М. Изд-во МПИ, 1986. Вып. 17. [c.463]

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ — ТЕОРЕМА РАУСА Циклическими координатами называются координаты, не входящие явно в функцию Лагранжа Ь. Стационарным движением системы с циклическими координатами называется движение, в котором нециклические координаты и циклические скорости сохраняют постоянные значения. Для такого движения Э. Раус построил энергетический критерий устойчивости, аналогичный критерию Лагранжа — Дирихле для равновесного состояния консервативной системы. Этот критерий можно получить как простое следствие теорем об устойчивости Ляпунова. [c.419]

Равновесное состояние (10.45) устойчиво, если функция (10.46) — знакоопределенная функция координат Цу, д2,..., ду,..., д - Равновесному состоянию (10.45) системы (Д) соответствует стационарное движение системы (Ь). Мы приходим таким образом к теореме Рауса об устойчивости стационарного движения системы с циклическими координатами. Сам Э. Раус формулировал теорему следующим образом. [c.421]

Устойчивость движения, вьфажающаяся в том, что при достаточно малом начальном возмущении точка движется по траектории, сколь угодно близкой к невозмущенной, называется орбитальной устойчивостью. В рассматриваемой задаче требуется, таким образом, найти условия орбитальной устойчивости невозмущенного движения. Для нахождения этих условий воспользуемся теоремой Рауса об устойчивости стационарного движения системы с циклическими координатами. [c.421]

Необходимо отметить, что устойчивость стационарного движения может быть осуществлена и при отсутствии минимума потенциальной энергии (за счет гироскопических сил). Поэтому распространить теоремы Ляпунова и Четае-ва об обратимости теоремы Лагранжа на стационарное движение нельзя. Однако для гироскопически несвязанной системы справедлива следующая теорема, являющаяся перефразировкой теоремы Четаева об обратимости теоремы Лагранжа. [c.88]

Если исследуемая механическая система не обладает свойством консервативности (из-за действия сил трения или неконсервативных позиционных сил), теорема Лагранжа—Дирихле неприменима и для суждения об устойчивости состояний равновесия, а также стационарных режимов необходимо исследовать характер возмущенного движения. [c.154]

Весьма вероятно, что всегда существует устойчивое стационарное вращение, но доказательство пока неизвестно. Такого рода доказательство не может быть чересчур общим, вспомним трудности, возникающие при попытках обращения теоремы Лагранжа-Дирихле об устойчивости равновесия. Нетрудно указать натуральные консервативные системы, у которых все движения компактны, но все равновесия неустойчивы. Пусть, например, потенциальная энергия V x), х е К растет на бесконечности, то есть V x) +сх) при ж +сх). Тогда все движения компактны. Можно так выбрать функцию V x), чтобы у нас было лишь одно критическое значение, а именно — минимум, и оно достигалось бы на некоторой кривой Е. Тогда равновесиями будут точки этой кривой, и только. При этом все они неустойчивы, хотя инвариантное множество Е устойчиво. Такую функцию V x) можно считать С°°-гладкой, когда Е — незамкнутая кривая (ведро с днищем в виде отрезка) и даже аналитической, когда Е — замкнутая кривая (представим себе автомобильную шину с отрезанной верхней половиной, лежащую на горизонтальной плоскости). [c.289]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...