Функция отрицательно-определенная

Исследовать структуру решений линейной системы вблизи положения равновесия, когда на нее кроме потенциальных сил действуют диссипативные силы с отрицательно определенной по скоростям диссипативной функцией Рэлея. [c.624]

Заметим, наконец, что для положительно определенной функции V постоянная С > О, для отрицательно определенной С< 0. [c.222]

Докажем теорему I, придерживаясь схемы, рассмотренной в 85 ). Предположим для определенности, что V — положительно определенная функция, а V — функция отрицательная, или равная тождественно нулю. [c.341]

Если функция V определенно-положительна, то областью V О будет вся окрестность нуля. Для отрицательных функций V область F О не существует. [c.49]

Если параметры системы удовлетворяют неравенству (2.59), то будут выполнены все условия теоремы Н. Н. Красовского об асимптотической устойчивости 2.3. Действительно, функция V определенно-положительна, а ее производная согласно равенству (2.58) и соотношению (2.59), отрицательна вне К и равна нулю я К i = О, и ф 0). Поэтому равновесное состояние системы i — = 0, U = О будет асимптотически устойчиво относительно тока [c.74]

Функция V определенно-положительная. Если нам удастся подобрать такие постоянные два числа С а D, при которых производная V будет определенно-отрицательной функцией в смысле Ляпунова, то невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво. Составим матрицу коэффициентов функции Т [c.226]

Таким образом, функция V определенно-отрицательна относительно совокупности переменных z,, гг,. . и а. [c.271]

В устойчивом положении равновесия все к, отрицательны п 2U есть отрицательно определенная квадратичная форма. В нормальных координатах особенно хорошо видно, что наибольшее is (численно наименьшее) есть максимум функции 2С/, когда переменные стеснены условием S v=l (или условием 2Г = = 1. когда в Т переменные Ху, заменены через Tv). [c.239]

Если W тождественно равна нулю, то из (27) сразу следует, что функция V положительна в области V > О, которая обязательно существует в сколь угодно малой окрестности начала координат (при необходимости, когда, например, функция V определенно-отрицательна, надо вместо V взять функцию —V). Следовательно, если W = О, то условия теоремы Четаева выполнены. [c.527]

Вторая теорема относится к случаю, когда разложение (18.109) начинается с функции П четной степени п = 2п >2. Действительно, если бы п было нечетным, то функция П не могла бы иметь экстремума. Из того, что П в нулевой точке имеет максимум, следует отрицательная определенность П , т. е. П < о для любых <7ь. .., ф/г, среди которых не все равны нулю. [c.383]

Аналогично, для того чтобы функция имела максимум, кроме условия (11.2) в рассматриваемой точке должно выполняться условие отрицательной определенности второго дифференциала. [c.303]

Идея синтеза алгоритма самонастройки на основе принципа скоростной адаптации заключается в следующем. Зададим на переходных процессах е и параметрических возмущениях ш положительно-определенную функцию Ляпунова V (е, м) с отрицательно-определенной заданной производной W (е, со) и найдем оператор адаптации А из условия [c.78]

Параметрическая стабилизация возможна также в системах, равновесие которых q = 0 неустойчиво из-за наличия ускоряющих сил. Так, можно стабилизировать систему с двумя степенями свободы, диссипативная функция Релея которой — знакопеременная функция. Если же эта функция является отрицательно определенной (т. е, любое движение сопровождается притоком энергии в систему), то параметрическая стабилизация невозможна. Параметрическая стабилизация обнаруживается также в системах, неустойчивых при наличии гироскопических и диссипативных сил. Области устойчивости для этих систем по структуре напоминают области, показанные на рис. 10, в [1091. [c.134]

Независимо от знаков второго и высших дифференциалов все точки, в которых выполняется условие (2), называются стационарными точками, а значения функции в них — стационарными значениями. В стационарной точке второй дифференциал может оказаться ни положительно, ни отрицательно определенным в такой стационарной точке функция не имеет ни минимума, ни максимума. Это так называемая точка минимакса. [c.382]

Отметим, что функция (8.48) не является живой силой точки или кинетической энергией, а является отрицательно определенной скалярной функцией. [c.259]

Доказательство. Пусть найденная функция V определенно положительна, а V определенно отрицательна. [c.81]

Производная ядра с е >зЬ хг[c.504]

По отношению к каждой функции вводится определение разгрузки, нейтрального нагружения и нагрузки. Напряженное состояние может соответствовать одной Или нескольким функциям нагружения (1.88), причем остальные функции нагружения отрицательны [c.27]

Доказательство. Предположим для определенности, что найденная функция V определенно-положительна, а производная ее V или тождественно равна нулю или есть функция отрицательная. Тогда найдутся такие числа Т л Н, что при [c.462]

Возможен случай, когда все главные миноры отличны от нуля, но условия положительной или отрицательной определенности квадратичной формы не выполняются, в этом случае в исследуемой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. В случае обращения в нуль главных миноров матрицы А, вопрос о наличии экстремума в исследуемой точке решается более сложно с использованием производных более высокого порядка. [c.17]

Набросок доказательства. Особенность Морса функции характеризуется невырожденностью квадратичной формы — гессиана функции, определенного матрицей вторых частных производных. Аналогично, в случае отображения, имеющего критическую точку коранга 1, на ядре касательного отображения можно определить квадратичную форму, называемую трансверсальным гессианом (определенную с точностью до умножения на ненулевое число), невырожденность которого будет характеризовать тип 51 особенности. Тип 51 с нулевым трансверсальным индексом будет характеризоваться положительной определенностью (или отрицательной определенностью) трансверсального гессиана. Я не имею возможности дать здесь формальное определение трансверсального гессиана, а просто укажу, как он вычисляется в настоящей ситуации это квадратичная форма [c.153]

При достаточно малой р производная отрицательно-определенная функция и следовательно, выполнены условия теоремы об асимптотической устойчивости. [c.462]

Пусть теперь -отрицательно определенная функция в области (1.8). Тогда любая фазовая траектория, начинающаяся в области v(x) < /, не только не выйдет из этой области, но будет неограниченно приближаться (при /—> ) к началу координат, пересекая каждую из поверхностей v = с <1 в направлении снаружи внутрь, ибо функция V непрерывно убывает вдоль траектории. Это и означает, что положение равновесия Х= О устойчиво асимптотически, причем все точки области v(x) < / принадлежат области притяжения начала координат. Иллюстрацией служит Рис. 1.3 рис. 1.3, на котором 7- граница области 0-8) [c.33]

Определение 8.6.2. Функция У(1,х) называется знакоопределенной положительно определенной или отрицательно определенной), если в ее области определения существует непрерывная скалярная функция / х) такая, что либо > Ж(х) > О при х 9 О [c.568]

Если функция V определенно-отрицательна, то функция — V будет определенно положительной. Поэтому достаточным условием онределенной отрицательности функции V будет критерий Сильвестра (2.9) для матрицы —С. Этот критерий имеет вид [c.32]

Величины Л Пуанкаре предложил называть коэффициентами устойчивости. Если, как в п. 229, функция (3) определенно-положительна, то все величины Л положительны и положение равновесия устойчиво. Если же хотя бы одна из величин Л отрицательна, то положение равновесия неустойчиво . Число отрицательных коэффициентов устойчивости называется степенью неустойчивости. В дальнейшем важна будет не сама степень неустойчивости, а ее четность или нечетность. Пусть С — матрица квадратичной формы (3). Тогда det С = Л1Л2. .. Отсюда следует, что если det С > О, то степень неустойчивости четная (или равняется нулю), а если det С < О, то степень неустойчивости нечетная. [c.538]

Функция V (/, х) называется знакопостоянной, если при достаточно большом и достаточно малом Н она может принимать в области (23) кроме нулевых значения только одного знака. Если знакопостоянная функция V не зависит от t и ири достаточно малом Н обращается в нуль только при нулевых значениях фазовых координат в области (23), то такая функция называется знакоопределенной положительно или отрицательно определенной). [c.35]

Е. А. Барбашин и Н. Н. Красовский рассмотрели вопрос об асимптотической устойчивости тривиального решения arj = О системы (а) при любых начальных возмущениях ( устойчивость движения в целом ). Они показали на примере, что существование функции Ляпзгнова не обеспечивает такой асимптотической устойчивости в целом. Чтобы последняя имела место, достаточно, чтобы У-функция была не только положительно определенной и обладала отрицательно определенной производной, но была также бесконечно большой в том смысле, что для всякого А у> О можно найти такое N О, чтобы при было V xi,. .., ж ) А. [c.128]

На рис.7.1.6 и 7.1.7 приведены графики функций Re Q(О, (рис.7.1.6, штриховые линии) и Im <5(0, К2) (рис.7.1.7, штриховые линии) в зависимости от безразмерной частоты. Сплошными линиями на этих рисунках представлены графики функций ReQ(0, Х2) и ImQ(0, К2) для задачи о сдвиговых колебаниях слоя, пронормированных к скорости продольных волн. Нетрудно заметить, что эти кривые имеют много общего. Это касается почти периодического характера поведения динамической жесткости среды в обоих случаях, а также того, что ReQ(0, Х2) является осциллирующей знакопеременной, Im<5(0, Х2) — о сциллирующей отрицательно определенной функциями. [c.146]

Как мы видели в п. 3.3 (см. формулы (3.61), (3.62)), в качестве реще-иия гипергеометрнческого уравнения для удовлетворения физическим требованиям следует взять функцию Fj, определенную соотнощением (3,49а). Тогда при больщих отрицательных z, учитывая равенства (3.56а), имеем [c.65]

Функция V, обладающая последним свойством, называется знакоопределенной в области (В), причем, если принимаемые ею значения, кроме нулевого, все положительны, то функция V называется положительно-определенной в области (2 ) если эти значения отрицательны, то — отрицательно-определенной в области (Л). [c.388]

Это — отрицательно-определенная функция, производная которой в силз уравнений (11.26) равна нулю. Если Ро = Гд = О, Ф О, т. е. если вращени происходит вокруг оси со средним моментом инерции, то уравнения возму щенного движения будут [c.450]

Определение 1.5. Функция V, обладающая свойствами 1, 2, 3, называется знакоопределенной в области (1.8) (положительно определенной или отрицательно определенной), если она в области (1.8) принимает значения только одного знака и обращается в нуль только в начале координат. [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...