Задачи и дополнительные вопросы Некоторые математические вопросы

В заключение этого пункта подчеркнем, что здесь не рассматривается вопрос о том, может ли дополнительное решение физически конкурировать с динамическим в рамках нерелятивистской задачи рассеяния. Эта задача играет роль только математической модели, способной дать некоторые указания на возможности, которых можно ожидать в релятивистском случае. [c.41]

Приведенное в первой главе решение будет обосновываться некоторыми физическими соображениями. Строгая постановка задачи может явиться объектом специального математического исследования. Дополнительно можно исследовать вопрос об устойчивости разных решений, достаточности первого приближения и т. д. Целью работы является получение определенных физических результатов, которые могут найти применение в инженерном деле. [c.5]

Как будет показано в гл. IV, для решения проблемы прочности хрупкого тела нужно уметь находить решение соответствующей математической задачи теории упругости для тела с разрезами нулевой толщины. Эти задачи относятся к так называемым сингулярным краевым задачам, т. е. к граничным задачам с особыми точками. Такими точками являются, например, бесконечно удаленная точка, угловая точка, коническая точка, точка разрыва граничных условии, точка приложения сосредоточенной силы и т. д. Появление таких точек обычно связано с некоторой идеализацией исходной физической задачи. При этом в линейных задачах решение (или его производные, начиная с некоторого порядка) стремится к бесконечности при приближении к особой точке. Поскольку граничная задача в особой точке не определена, встает вопрос о формулировке физически осмысленного дополнительного условия в такой точке, т. е. о постановке корректной сингулярной краевой задачи. [c.51]

Но при этом следует иметь в виду еще одно обстоятельство. В случае если данный функционал обладает экстремальными свойствами, то предложенные приближенные прямые методы дадут приближенное уравнение или численные данные, определяющие искомую экстремаль. Однако остается невыясненным, будет ли этот экстремум максимум или минимум заданного функционала, так как найденная экстремаль еще ничего не говорит об этом. Во-вторых (что, пожалуй, еще важнее), вполне возможен случай, когда заданный функционал имеет первую вариацию, равную нулю (что и доставляет нам определенную экстремаль / (д )], а экстремума все-тахи не имеет. Вполне строгое с математической точки зрения обоснование и требует исследования второй вариации функционала, как требуется исследование второй (или высших) производной в дифференциальной задаче. Для реальных же случаев применения вариационных методов в задачах вариационного характера при исследовании динамических систем можно избежать этих относительно тяжелых моментов исследования. Обычно решение вопроса о том, имеет ли экстремум характер максимума или минимума, решается легко самим существом задачи, а второе условие достаточности может потребовать после нахождения экстремали дополнительных подсчетов обратного характера, т. е. вычисления значений функционала по найденному виду у (х) в интересующей нас области х, как значений практически реализуемых, и некоторых изменений параметров найденной функции. [c.244]

В заключение сделаем краткий обзор задач и дополнительных вопросов к этой главе. Первые четыре номера ( 1) посвяидены довольно несложным математическим вопросам, напоминание которых (помимо восстановления в памяти чисто математического аспекта проблемы) несколько проясняет, в чем состоит постулирующий момент П начала термодинамики. Цикл задач 2 также не вполне традиционен для руководств по термодинамике в них приведены примеры непосредственных оценок критериев квазистатичности процессов разного типа, реально происходящих в системах типа газа. Остальные параграфы посвящены в основном характерным представителям традиционных задач, содержание которых вполне точно отражено в названиях соответствующих параграфов. Из внепрограммных сюжетов в них включены несколько несложных и достаточно известных задач по технической термодинамике (цикл Ренкипа и др.), газодинамике (течение идеального газа по трубам, включая рассмотрение сопла Лаваля) и термодинамике слабых растворов. В разделах, посвященных фазовым переходам, к таким необязательным задачам относятся расчет высотного градиента температуры в атмосфере Земли с учетом конденсации водяного пара, теорема Видома о критических индексах, рассмотрение свойств газа Ван-дер-Ваальса в области критической точки и некоторые другие задачи. [c.159]

Некоторые затруднения, возникшие при составлении учебника, были связаны с существенными особенностями в содержании и объеме программ курса механики, изучаемого на различных факультетах и специальностях. Чтобы удовлетворить основным требованиям и составить учебник по возможности компактно, нужно изложить содержание курса с учетом необходимости его максимального охвата в одних случаях и устранения в других случаях без существенного нарушения единства изложения в целом тех разделов, которые выходят за пределы соответствующих программ. Чтобы облегчить пользование учебником при изучении теоретической механики на специальностях с сокращенным объемом курса, содержание книги разделено на три группы вопросов те части курса, которые входят в программы всех факультетов, напечатаны обычным шрифтом без дополнительных обозначений. Вопросы, которые могут быть отнесены к расширенным программам курса механики (вопросы второй группы), обозначены звездочкой около номера параграфа они обязательны для студентов механико-математических факультетов университетов. Петитом паиечатаны части курса, предназначенные главным образом для студентов механической специальности механико-математических факультетов. Кроме этого, петитом напечатаны решения иллюстративных примеров, приведенных в учебнике. Эти примеры разъясняют, до известной степени, методику решения конкретных задач механики и предназначены для облегчения самостоятельной работы студентов и для заочного обучения. Они не обязательны для усвоения студентами и могут быть заменены другими по ук.тзаниям преподавателя. [c.12]

В этой книге излагаются основные идеи и методы-механики хрупкого разрушения, а также некоторые их обобщения. Первая глава имеет вводный характер, во второй и третьей главах изло-. жены физическце и математические основы теории хрупкого разрушения. Главное внимание уделяется наиболее принципиальным вопросам, относящимся к формулировке дополнительных условий на фронте трещин и к постановке физически коррект ных математических задач о разрушении твердых тел (четвертая-восьмая главы). В Приложении I для справок приведены наиболее значительные результаты вычислений коэффициентов интенсивности напряжений для тел с разрезами. Изложение, ориентировано не только на научных работников и студентов, но и на инженеров, в связи с чем в Приложениях И и И1 помещены некоторые экспериментальные данные, относящиеся к основным конструкционным материалам. [c.7]

В частности, здесь требуются дополнительные предположения о существовании решений, их единственности и должной зависимости их от параметров и управляющих функций (а также и предположения о некоторых специфических обстоятельствах, связанных с математическими конструкциями, например, о наличии внутренних точек у рассматриваемых по ходу дела множеств элементов функциональных пространств и т. д.). В общих случаях многие из таких предположений нелегко проверить эффективно. Таким образом, хотя формализм принципа максимума достаточно полно переносится на рассматриваемые системы (с соответствующими выкладочными изменениями, отвечающими особенностям нового аппарата), однако по содержанию общая проблема такого переноса все-тА ки представляется еш,е не исследованной до конца, тем более, что вопрос о классах допустимых управлений и ж о существовании в них оптимальных управлений и Ь) и движений х 1) в общем случае пока исследован также не полностью. К числу строгих результатов, относящихся к проблеме существования и единственности оптимального управления системами, описываемыми функциональными уравнениями, (22.1), отвечающим случаям параболических и гиперболических систем, относятся результаты Ю. В. Егорова (1962). При этом, в частности, была рассмотрена задача об управлении процессом теплопроводности, когда управляющие функции м входят в граничные условия и минимизируется квадратичный функционал, определенный распределением температуры, при заданном интервале времени или минимизируется время переходного процесса к желаемому распределению температуры при известных квадратичных ограничениях. [c.235]

Различные нёстратегические особенности игры (способы формирования коалиций, характеристика игроков, внешняя среда, в которой игра разыгрывается и т. п.) следует задавать в виде строгих дополнительных свойств оптимальных исходов игры. Построение по заданным свойствам принципа оптимальности является чисто математической задачей, хотя, разумеется, ее решение может быть значительно облегчено экономической интуицией. С другой стороны сами эти свойства можно рассматривать как строгое определение класса игр, для которого определяемый ими принцип оптимальности является совершенно бесспорным. Можно лишь ставить вопрос о том, удовлетворяются принятые требования или нет в некоторых практических задачах. [c.183]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...