Неподвижные точки и сжимающие отображения

Задача 2-j. Неподвижные точки и сжимающие отображения. Для гиперболической поверхности 8 покажите, что голоморфное отображение 8 8 может иметь не более одной неподвижной точки, если только некоторая итерация не является тождественным отображением. (Случай накрывающего отображения 8 в себя требует особых предосторожностей.) [c.43]

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ И СЖИМАЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [c.297]

В случае нормы (1.32) это означает, что каждое из вспомогательных отображений Г, сжимающее. В общем случае, если отображение Т преобразует в себя некоторую выпуклую область С, то отображение Т имеет в области С неподвижную точку. Если дополнительно отображение Т еще и сжимающее, то эта неподвижная точка единственная и седлового (гиперболического) типа. Область С, определяемая неравенствами [c.133]

Мы проиллюстрируем понятие сжимающего отображения с помощью следующего элементарного примера. Рассмотрим множество действительных чисел как метрическое пространство с евклидовой метрикой. Предположим, что / R-+E — непрерывно дифференцируемая функция, производная которой ограничена по абсолютной величине некоторым числом А < 1. Если ж, I/ R, то по теореме о среднем значении существует такое число С между хну, что f x) — f y) = f ) x — y). Таким образом, /(а ) —/(i/) = / ( ) а -1/ А х-у и/ — сжимающее отображение согласно определению 1.1.1. В частности, любое такое отображение имеет единственную неподвижную точку. Упражнение 1.1.2 содержит обобщение этого примера. [c.33]

Теорема 7,3. Пусть точечное отображение Т имеет многозначное вспомогательное отображение Г, и пусть fi, f-i,. .., Г , — некоторые из составляющих его однозначных отображений, которые определены в области G, преобразуют ее в себя и являются в ней сжимающИМИ, ТОГДа любому набору целых положительных чисел i ,. .., i,., не больших т, соответствует своя единственная -кратная седловая неподвижная точка отображения Т. [c.309]

Таким образом, оператор А удовлетворяет всем условиям принципа сжимающих отображений [31 ]. Поэтому существует, и притом единственная, неподвижная точка (ср) оператора А, т. е. [c.64]

Применение оператора В к последовательно получаемым функциям u)j. t), k=i, 2. . . имеет смысл, так как все они непрерывны и удовлетворяют неравенству О t) й, т. е. принадлежат тому же функциональному пространству С —со, -foo). В силу принципа сжимающих отображений последовательность [t) сходится к неподвижной точке оператора В, т. е. к предельной угловой скорости u)=u)o (г) движения ротора. Нетрудно убедиться в том, что эта сходимость является равномерной на всей числовой прямой. В самом деле [c.233]

Но тогда при R ф I и Y О одновременно точечное отображение сжимающее, и согласно теореме Брауэра [121 на полупрямой > О, дг = О существует единственная неподвижная точка точечного отображения Т ,. Это и доказывает, что в системе всегда существует единственный разрывный предельный цикл (разрывный — в силу гипотезы о мгновенном ударе частицы об электроды конденсатора). [c.187]

После этих пояснений вернемся к прерванному рассмотрению. При убывании е область В через границу Ь попадает в область B . При этом из ничего рождаются две неподвижные точки, которые, как известно, должны быть разных типов. Но затем с убыванием параметра е по мере удаления области В от границы Ь обе ветви вспомогательного отображения Т Ь становятся сжимающими, и обе появившиеся неподвижные точки отображения — седловыми одного типа. Это означает, что одна из появившихся точек претерпела какие-то бифуркации, в результате чего Рис 7 2 [c.179]

Для произвольного сжимающего отображения фазовое пространство может не иметь гладкой структуры, так что наши понятия прямо не применимы. Однако сжимающее отображение, определенное в маленьком диске в евклидовом пространстве, структурно устойчиво, так же как и гиперболическое линейное отображение в окрестности неподвижной точки. В одномерном случае это следует из упражнения 2.1.1, а в общей ситуации это будет установлено в п. 6.3 б. Обратим внимание также на то, что предложение 2.1.7 и упражнение 2.3.3 дают примеры структурной устойчивости, имеющей место глобально для отображений с очень простыми свойствами возвращения, подобных рассматривавшихся в п. 1.1 в. [c.82]

Уравнение (2.6.5) следует переписать в несколько ином виде, чтобы представить его как уравнение на неподвижную точку для некоторого сжимающего отображения. Используя то обстоятельство, что д и, следовательно, i 4- 3 являются гомеоморфизмами, мы обратим последнее отображение и обозначим обратное к нему отображение через S. Тогда (2.6.5) примет вид [c.101]

Так как пространство С° с этой метрикой полно, по принципу сжимающих отображений (предложение 1.1.2) существует единственная неподвижная точка / этого ото ажения, следовательно, существует инвариантное семейство графиков как и требуется. [c.258]

Другое интересное замечание состоит в том, что мы фактически получаем непрерывную зависимость многообразий W и W от семейства отображений / . Так как главным ингредиентом доказательства теоремы Адамара — Перрона 6.2.8 было получение инвариантных многообразий и их касательных распределений как неподвижных точек сжимающего оператора, построенного по семейству f , мы можем с помощью предложения 1.1.5 показать, что инвариантные многообразия зависят непрерывно в С -топологии от семейства диффеоморфизмов. [c.262]

Если мы выберем е < то J z) - J z ) < Сз Сз e z - z и, следовательно, отображение является сжимающим. По принципу сжатых отображений (предложение 1.1.2) имеется единственная неподвижная точка Zq =. F(zg) отображения. F в К" и, следовательно, единственное решение Fzg = Zg. [c.276]

В случае более высоких размерностей структурно устойчивые локальные бифуркации возникают, когда одно из собственных значений дифференциала диффеоморфизма равно 1 или -1, а остальные лежат вне единичной окружности. В качестве простого примера мы опишем семейство, получающееся как прямое произведение отображений (7.3.2) с линейным сжимающим отображением. Возникающие в результате бифуркации называются бифуркациями типа седло — узел. Притягивающие и отталкивающие неподвижные точки, которые возникали в одномерном примере (7.3.2), теперь являются седлом и фокусом соответственно (см. 1.2). При приближении параметра к нулю они сливаются, и для значений параметра т > О неподвижные точки отсутствуют. Таким образом, мы получаем следующую картину (см. рис. 7.3.4). [c.309]

Пример. Теперь рассмотрим отображение д —> 5 , z>- 2 /(2)zl), продолженное на оо по правилу д оо) = оо, так что g w) = 2w / w вблизи W —0. Таким образом, оо — (негладкая) отталкивающая точка, в то время как нуль — сжимающая неподвижная точка. Отметим, что под действием д все точки, отличные от оо, стремятся к О, поскольку g(z) = z /2. Следовательно, в полной противоположности с рассмотренным ранее примером, отображение имеет только две периодические точки — нуль и оо. С другой стороны, д покрывает 5 дважды н д = ho f, гце h — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм z z/ 2 / z ). Таким образом, deg(p) = deg(/i о /) == = deg( h) deg(/) = deg(/) = 2. Так как единственные инвариантные меры для д — атомарные меры, сосредоточенные в нуле и в оо, то согласно вариационному принципу 4.5.3 hf g) = 0. [c.322]

Идея итерационного процесса, позволяющего найти решение, заключается в том, чтобы по заданной паре ( , w ) построить пару (х +1, уу +л) = Г(х , уу ) таким способом, при котором отображение Т становится сжимающим, а его неподвижная точка будет удовлетворять системе из второго уравнения (6.1) и уравнения [c.137]

К указанным методам примыкают некоторые общие итерационные методы, основанные на непосредственном рассмотрении нелинейной системы (17.1) или на ее последовательных линеаризациях. К ним относятся мощный метод Ньютона — Рафсона и методы продолжений типа метода последовательных нагружений. Заметим, наконец, что большинство итерационных схем можно считать видоизменениями давно известного метода последовательных приближений, который органически связан с фундаментальным понятием неподвижной точки оператора и принципом сжимающих отображений. [c.297]

Метод вспомогательных оторЗажений. Опнсанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а ииогд ) и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. Применение принципа сжимающих отображений позволяет установить существование и единственность вынужденных колебаний в системе с т 1к называемым конструкционным демпфированием. Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [c.301]

Следующий очень важный и общий критерий существо-ва1п я неподвижной точки широко известен как принцип сжимающих отображений С. Банаха. Этот критерий позволяет установить не только существование неподвижной точки, но и ее единственность. По существу он дает достаточные условия существования единственной глобально устойчивой неподвижной точки. [c.300]

Основное утверждение принципа сжимающих отображений применительно к конечной области G многомерного евклидова пространства состоит в том, что если сжимающее отображение Т преобразует эту область G в себя, то в ней имеется единственная неподвижная точка х и вся область G при иеограннченном повторении отображения Т [c.300]

Отметим очень существенное различие между отображениями из всех предыдущих примеров и растягивающими отображениями. В большинстве примеров возвращение либо было очень простым, т. е. имелись только неподвижные точки, как в случаях сжимающих отображений, гиперболических линейных отображений и градиентных потоков, либо, если нетривиальное возвращение имело место, все возвращающиеся орбиты вели себя одинаково, как в случаях сдвигов и линейных потоков на торах. Нужно оговориться, что для общих вполне интегрируемых систем различные орбиты ведут себя по-разному и в то же время нетривиальное возвращение имеет место. Однако фазовое пространство таких систем распадается на инвариантные множества (торы), и все орбиты на таком торе имеют одинаковую структуру. Орбиты же растягивающих отображений с различным поведением (периодического типа, плотные или с замыканием типа канторова множества) переплетены и не могут быть отделены друг от друга. Это делает структуру орбит очень сложной, асимптотическое поведение отдельной орбиты неустойчивым и очень чувствительным к начальному условию. Более того, любые две орбиты будут расходиться друг от друга с экспоненциальной скоростью, пока они не разойдутся на достаточно большое расстояние 6. Следовательно, невозможно предсказать поведение орбиты в течение длительного времени, если начальная позиция известна только с ограниченной точностью. Например, выполнение итераций Е2 на ЭВМ будет, очевидно, давать всего лишь столько осмысленных итераций, сколько есть значащих двоичных цифр в начальных данных. Кроме того, любое увеличение точности будет давать весьма скромное увеличение времени, в течение которого можно делать какие-либо предсказания о поведении данной орбиты удвоение числа значащих цифр в начальных данных и вычислении не более чем удвоит диапазон времени, в течение которого эти предсказания возможны. Аналогично, сокращение ошибки в измерении начальных данных вдвое даст всего лишь возможность произвести еще одну осмысленную итерацию. [c.55]

Сначала рассмотрим случай, когда единица является собственным значением. Самая простая бифуркация появляется, когда график отображения имеет невырожденное касание с диагональю в точке бифуркации, локально не пересекая ее для любого большего близлежащего значения параметра, в то время как для меньших значений график пересекает диагональ трансверсально в двух близлежащих точках. Динамически это значит, что сжимающая и растягивающая неподвижные точки, существующие при каждом меньшем значении параметра, сливаются в точке бифуркации, образуя полуустойчивую точку (т. е. точку, притягивающую с одной стороны и отталкивающую с другой). Для больших значений параметра вблизи вовсе нет неподвижных точек. Конкретным примером этой ситуации служит семейство [c.306]

Ростки с гиперболической особой точкой исследуются теоремой Гробмана—Хартмана. Ростки, линейная часть которых — поворот на угол, не соизмеримый с 2я, являются сжимающими или растягивающими, за исключением множества вырожденных ростков коразмерности бесконечность (в это множество попадают, впрочем, такие важные классы, как конформные и сохраняющие площадь отображения, линейная часть которых в неподвижной точке — поворот). [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...