Нормальные колебания непрерывных систем

Конечно, само изменение числа степеней свободы может происходить только скачком, поскольку число степеней свободы — это целое число однако изменение свойств системы, в частности характера нормальных колебаний, при переходе от системы с одним числом степеней свободы к системе с другим числом степеней свободы может происходить непрерывно. [c.698]

ЧИСЛО степеней свободы бесконечно. При математическом рассмотрении вопроса иногда оказывается возможным перейти от одного из этих классов явлений к другому при помощи некоторого предельного процесса, как это сделал Д. Бернулли (1732), рассмотревший колебания висящей цепи как предельный случай задачи о большом числе одинаковых частиц, прикрепленных на равных расстояниях к натянутой струне, массой которой можно пренебречь. Во всяком случае не может быть никакого сомнения в том, что сохраняется справедливость изложенных общих законов. Следует обратить внимание на то, что непрерывные системы обладают бесконечным числом нормальных типов колебаний. Обычно принято располагать их в восходящем порядке частот наиболее медленное колебание по-прежнему можно назвать основным оно обычно является наиболее важным колебанием системы. [c.74]

Стоячие волны являются нормальными модами. Моды непрерывных систем называются стоячими волнами, или нормальными модами, или просто модами. В соответствии с тем, что было сказано выше, непрерывная система имеет бесконечное число независимых движущихся элементов, несмотря на то что занимает конечный объем. Поэтому она обладает бесконечно большим числом степеней свободы и соответственно бесконечным числом мод. Это не может быть абсолютно верным для реальных материальных систем. Один литр воздуха имеет не бесконечно большое число движущихся элементов, а только 2,7-10 молекул, у каждой из которых три степени свободы (движения вдоль х-, у- и г-направлений). Поэтому 1 л воздуха, заключенный в бутылку, не имеет бесконечно большого числа мод колебаний это число не может быть больше, чем - в.ЫО . Каждый, кто пытался дуть в бутылку или играть на флейте, заметил, что легко возбудить лишь несколько первых мод. (В дальнейшем мы будем нумеровать моды в порядке возрастания частоты. Таким образом, моде 1 соответствует самая низкая частота, моде 2 — следующая, более высокая, частота и т. д.) На практике мы будем иметь дело с небольшим числом первых мод (или в крайнем случае с несколькими десятками или тысячами мод). Мы увидим, что первые моды ведут себя так, как если бы система была непрерывной. [c.58]

Подходы, применявшиеся к решению задач, излагавшихся в предыдущих параграфах, обнаруживают известное сходство с методом нормальных форм колебаний, с помощью которого исследовались в гл. 4 системы со многими степенями свободы. Теперь применим метод нормальных форм колебаний к исследованию призматических стержней с непрерывно распределенной массой и бесконечным числом степеней свободы. Хотя метод будет сформулирован применительно к частной задаче о продольных колебаниях призматических стержней, общие положения рассматриваемого здесь метода нормальных форм колебаний можно распространить на исследование произвольных упругих тел. [c.338]

Такой непрерывный переход, например от системы с п степенями свободы к системе с /г/2 степенями свободы (п — четное), можно мысленно осуществить следующим образом. В нашей дискретной системе будем отделять от одних грузов (положим, с нечетными номерами) малые доли, имеющие массу Ат, и переносить их на грузы с четными номерами. Повторяя эту операцию переноса достаточно большое число раз, мы достигнем того, что массы нечетных грузов обратятся в нуль, массы четных станут равными 2т, а расстояния между ними — равными 2а. Этой систем с п12 степенями свободы свойственны п/2 нормальных колебаний с угловыми частотами, определяемыми выра-исением [c.698]

Значения этих частот зависят от свойств решетки, В эйнштейновской модели решетки принимается, что все частоты равны между собой. Усовершенствованием этой модели является модель Дебая, который принял, что для определения частот (12.24), и только для этой цели, можно приближенно рассматривать твердое тело как упругий континуум объемом V. Частоты (12.24) являются в этом случае ЗЛ нижними нормальными частотами такой системы. Поскольку упругий континуум имеет непрерывное распределение нормальных частот, нас интересует число нормальных колебаний, частоты которых лежат между (й и (й- - (й. Чтобы найти это число, надо знать граничные условия для звуковой волны в упругой среде. Вбтбирая граничные условия периодичности, находим, как обычно, что к = (2я/ )п, где а вектор п имеет компоненты О, 1, 2,. .. Интересующее нас число нормальных колебаний с частотами между (о и равно [c.284]

Все это выглядит несколько таинственно. Дело же заключается в том, что динамическая индивидуальность системы в значительной степени определяет ее поведение при возбуждении колебаний. Механические системы ведут себя так, как если бы они стремились непрерывно совершать свободные колебания по собственным формам с соответствующими собственными частотами. В нормальных условршх это невозможно из-за наличия трения, однако при действии некоторого возбуждения колебания будут поддерживаться. Как мы увидим, здесь имеются две возможности система может либо получать возбуждение извне, либо сама обеспечивать необходимое возбуя -дение за счет стремления совершать свободные колебания с собственной частотой. [c.53]

Такого рода собственные колебания (гармоники, модаг) присущи любому упругому тепу, хотя их форма и спектр частот могут быть весьма сложными. По смыслу они аналогичны нормальным колебаниям в связанных системах (см. о. 120-122) в обоих случаях произвольное колебание системы является их суперпозицией. В связанной системе масса системы сосредоточена в телах (пружины невесомы), а упругость - в пружинах (тела абсолютно твердые) поэтому ее называют системой с сосредоточенными параметрами. Такая система состоит из конечного числа тел, она имеет конечное число колебательных степеней свободы и, соответственно, конечное число нормальных колебаний. В сплошном массивном упругом теле (стержень, струна) упругие и инертные свойства, характеризуемые, соответственно, модулями упругости и плотностью вещества, распределены по телу непрерывно. Его можно рассматривать как совокупность бесконечного шсла бесконечно малых элементов соответственно, оно имеет бесконечное число колебательных степеней свободы и как следствие - бесконечное число собственных колебании, как показано на примере закрепленной струны. [c.139]

Кроме того, при определении главных напряжений нормальное напряжение Ог полагается равным нулю. Дифференциальные уравнения и граничные условия получены из вариационного принципа Лагранжа. Для решения задачи на собственные значения применяется метод разделения переменных в сочетании с методом кусочных полиномов, согласно которому искомые функции для произвольного малого интервала вдоль меридиана аппроксимируются полиномами третьей степени с непрерывными функциями и их первыми производными в концах этого интервала. В конечном итоге авторы получают систему 14(Л -М) однородных алгебраических уравнений относительно 14(Л -Ы) неизвестных, где N — число интервалов деления меридиана. Равенство нулю определителя этой системы дает условия для определения собственных частот, а затем и форм колебаний. Описанная вььше методика была применена к исследованию неосесимметричных (т=1 и м = = 2,3,4 п и т — число окружных и продольных полуволн) по- [c.197]

Если при прямолинейном полете магнитная система датчика отклонилась вследствие каких-либо причин от своего первоначального положения на угол р, система потенциометр датчика—потенциометр гироагрегата так же, как и в первом случае окажется рассогласованной. Если этот угол рассогласования превышает порог чувствительности усилителя, на выходе последнего- появится напряжение, достаточное для вращения двигателя и установки щеток потенциометра гироагрегата в согласованное положение. При этом силуэт-самолетик указателя также отклонится в соответствующую сторону на угол, равный углу поворота щеток. Возвращение щеток лотенциометра гироагрегата в согласованное положение при отклонении магнитной системы датчика, а с нею и щеток потенциометра датчика от первоначального положения произойдет в случае, если угол этого отклонения и время пребывания магнитной системы в отклоненном положении значительны. Нормальные же колебания. картушки магнитного датчика, совершающиеся непрерывно в процессе полета, не сказываются на показаниях указателя, так как скорость этих колебаний значительно превышает скорость отработки щеток электродвигателем. [c.468]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...