Уравнения Г амильтона

Любая функция S (q, a, t), обращающая уравнение (132) в тождество, зависящая от п констант а и удовлетворяющая условию (133), называется полным интегралом уравнения (132). Для наших целей достаточно найти любой полный интеграл уравнения Г амильтона — Якоби. [c.323]

Функции qi (() и Pi (t) (i = = 1,. .., п), задающие прямой путь, удовлетворяют уравнениям Г амильтона [c.112]

На основании уравнений (50 ) путем рассуждений, аналогичных рассуждениям п. 35 предыдущей главы, мы непосредственно увидим, что функция S ( 1 q , если в ней рассматривать в качестве независимых переменных аргументы t н q, 2. ъ качестве произвольных постоянных — начальные значения q , удовлетворяет уравнению Г амильтона — Якоби [c.439]

Мы должны указать здесь, что все наше рассмотрение годится лишь в (наиболее часто встречаюш,емся) случае, когда гамильтониан не содержит времени явно. Если же время явно содержится в гамильтониане, мы должны ввести время как и воспользоваться уравнением Г амильтона [c.155]

Уравнение Г амильтона — Якоби не содержит явно функцию V, поэтому полный интеграл этого уравнения можно искать в виде [c.483]

Цля решения задачи о движении достаточно найти полный интеграл уравнения Г амильтона—Якоби [c.493]

Движение точки описывается уравнениями Г амильтона [c.26]

Эти уравнения, однако, не являются настоящими уравнениями Г амильтона ввиду вырожденности скобки , . Пусть — [c.29]

Здесь Ф, 7 и С — пока неизвестные функции от х и у. При этом движение частиц жидкости описывается уравнениями Г амильтона [c.57]

Покажем, что уравнение (9.2) является уравнением Г амильтона на симплектическом многообразии (5 ,П) с гамильтонианом Я = = -(е, Действительно, П(г>, ) = (е, (е х ш) х ( )) = ( , е х (е х [c.60]

Дифференциальные уравнения, в том числе уравнения Г амильтона, принято разделять на интегрируемые и неинтегрируемые. Если, однако, мы попытаемся сформулировать точное определение интегрируемости, то оказываются возможными многие различные определения, каждому из которых присущ известный теоретический интерес (Дж. Биркгоф [18]). В этой главе мы дадим обзор различных подходов к проблеме интегрирования гамильтоновых систем. [c.62]

Пусть yV" — конфигурационное многообразие, Н х, у, t) T yV X Ri -+ IR — функция Гамильтона. Предположим, что уравнения Г амильтона с п степенями свободы [c.67]

Самым простым и эффективным методом точного интегрирования уравнений Г амильтона является метод разделения переменных. Согласно Якоби, задача интегрирования канонических уравнений [c.97]

В частности, при условиях теоремы 2, и только в этом случае, уравнения Г амильтона допускают дополнительный интеграл в виде ряда по е с многозначными коэффициентами. Аналогичное утверждение справедливо и для интегралов обратимой системы с гамильтонианом Но -Ь Н , являющихся полиномами по импульсам 2/1, 2/2 с многозначными на пространстве положений Т = = х mod 2тг коэффициентами. [c.216]

Теорема 4 является следствием теоремы 3. Действительно, уравнения Г амильтона допускают А + 1 независимых интегралов [c.225]

Выпишем уравнения Г амильтона [c.236]

Предположим, что матрица Q не имеет чисто мнимых собственных чисел. 1 огда, согласно результатам п. 3, любые ш+1 интегралов рассматриваемой системы уравнений Г амильтона зависимы в точках т-мерного тора Y = Z = 0. [c.236]

Вводя импульс у = X, уравнение (П.П) можно представить в виде канонических уравнений Г амильтона с гамильтонианом [c.251]

Теорема 3 [1076]. Пусть уравнения Г амильтона с гамильтонианом (6.5) допускают полиномиальный по импульсам интеграл F, независимый от интеграла Н. Тогда [c.407]

Канонические преобразования и уравнения Г амильтона-Якоби [c.328]

Теорема 1. а) Автономный симплектический диффеоморфизм сохраняет форму уравнений Г амильтона. [c.329]

Новые переменные а, р удовлетворяют уравнениям Г амильтона с гамильтонианом, определяемым согласно формуле (24) [c.337]

Рассмотрим преобразование (33) как замену переменных р, q Ро, qo в уравнениях Гамильтона. В результате такой замены мы приходим к уравнениям Г амильтона [c.339]

Таким образом, если надо приближенно найти полный интеграл уравнения этого вида, то можно составить уравнения Гамильтона с функцией Я(р, q, О и применить численное интегрирование. В общей теории уравнений в частных производных интегральные кривые соответствующих уравнений Г амильтона называются характеристиками. [c.341]

Очевидно, уравнения Г амильтона и их общее решение имеют вид [c.342]

Полный интеграл уравнения Г амильтона-Якоби [c.352]

Однако поскольку функция 5 удовлетворяет уравнению Г амильтона-Якоби (7), то [c.357]

Из уравнений Г амильтона имеем [c.367]

Теорема Лиувилля о локальной интегрируемости системы уравнений Гамильтона. Рассмотрим автономную систему уравнений Г амильтона [c.367]

Пример 120. Составить канонические уравнения Г амильтона для сво-адной материальной точки массы т, движущейся в центральном ньютонов-<ом поле сил, определяя ее положение сферическими координатами. [c.455]

Рассмотрим первое из этих условий. В силу каноническю уравнений Г амильтона будем иметь [c.482]

В гамильтоновой механике особую роль играют группы симметрий, порождаемые гамильтоновыми системами если функции Я и F находятся в инволюции, то фазовый поток гамильтоновой системы с гамильтонианом F переводит решения уравнений Г амильтона с гамильтонианом Н в решения тех же уравнений. Таким образом, задача о группах симметрий уравнений Гамильтона содержит как частный случай задачу о первых интегралах. Нётеровы симметрии порождаются линейными интегралами F = р - v q). [c.14]

Уиттекер, Черри и Биркгоф получили впоследствии (1916-1927 гг.) аналогичные результаты для гамильтоновых систем в окрестности положений равновесия и периодических траекторий. Они показали, что в общем случае существует каноническое преобразование, задаваемое формальными степенными рядами, после которого уравнение Г амильтона просто интегрируется. Г амильто-новы системы со сходящимся преобразованием Биркгофа иногда называются интегрируемыми по Биркгофу. В этом случае также существует полный набор независимых коммутирующих интегралов специального вида. [c.15]

Плодотворная постановка задачи об интегрируемости уравнений Г амильтона и первые нетривиальные результаты в этом направлении принадлежат Анри Пуанкаре. В работе О проблеме трех тел и об уравнениях динамики (1890 г.) он исследовал задачу о полной интегрируемости основной проблемы динамики . Речь идет о гамильтоновых системах, возникающих в теории возмущений функция Гамильтона разлагается в ряд по степеням малого параметра Н = Но + еН - - , причем гамильтони- [c.16]

Если дифференциальные уравнения, представленные в некоторых локальных координатах на гладком многообразии не имеют канонического вида уравнений Г амильтона, то это еще не означает, что они не гамильтоновы локальные координаты могут не быть симплектическими. Приведем примеры динамических систем, гамильтоновость которых априори не очевидна. [c.59]

Обратно, пусть Н = рх +Р2/2 - дхд2 - 2д - Можно показать, что все решения уравнений Г амильтона с этим гамильтонианом являются мероморфными функциями, но не существует интеграла в виде полинома по р, д, независимого от Я (см, [83], гл. V), [c.328]

Отметим, что сумма рх р2= Н--1 не зависит от степени квазиоднородности интеграла. Это не случайно показатели Ковалевской для квазиоднородных гамильтоновых систем разбиваются на пары, сумма которых равна /1—1. Это утверждение является аналогом известной теоремы Пуанкаре — Ляпунова о возвратности характеристического уравнения для мультипликаторов периодического решения уравнений Г амильтона. Доказательство основано на простом замечании о том, что уравнения в вариациях (3.5) в рассматриваемом случае будут гамильтоновыми [c.343]

Практическое применение развиваемой теории в механике идет точно в обратном направлении. Для того чтобы избежать интегрирования системы уравнений Гамильтона, пытаются найти какой-либо полный интеграл уравнения Г амильтона-Якоби. Хотя, по суш,еству, эти задачи эквивалентны, практика показывает, что определение полного интеграла, если это возможно, реализуется прош,е. При этом и объем вычислений на таком принципиальном шаге оказывается обычно меньше, чем при прямом интегрировании уравнений Гамильтона. Поскольку читатель понимает, что чудес не бывает, то следует указать, куда переходят аналитические сложности. Часто трудно перейти от неявного вида решения (29), полученного с помогцью произво-дягцей функции, к явному виду р = р (а, р, /), q = Ч( , Р, О- Однако здесь уже не приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями. [c.340]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...