Некоторые основные уравнения и формулы теории упругости

Как следует из уравнения (8), мы пришли к первой основной задаче плоской теории упругости для круга при некоторых, действующих на его границе внешних силах, определяемых правой частью формулы (12). [c.179]

НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.13]

Основное предположение линейной механики разрушения состоит в том, что трещина распространяется тогда, когда величина коэффициента интенсивности достигает критического значения, характерного для данного материала. Совершенно эквивалентная формулировка этого предположения состоит н том, что сила G, движущая трещину, превосходит критическое значение — сопротивление распространению трещины. Формула (19.4.4) утверждает эквивалентность двух этих формулировок. Что касается механического содержания принятой гипотезы и всей теории в целом, на этот вопрос можно ответить по-разному, а в рамках формальной теории вообще его можно не ставить. Тем не менее некоторые соображения могут быть высказаны. В оригинальной работе Гриффитса предполагалось, что освобождающаяся при росте трещины упругая энергия расходуется на увеличение поверхностной энергии если есть поверхностная энергия на единицу площади, то сила сопротивления движению трещины G = Анализ Гриффитса в течение долгих лет считался безупречным, хотя в нем содержится некоторый органический дефект. Энергия поверхностного натяжения вводится в уравнения теории как нечто данное и постороннее по отношению к упругому телу. На самом деле, поверхностная энергия есть энергия поверхностного слоя, свойства которого в той или иной мере отличаются от свойств остального материала и при решении задачи теории упругости этот поверхностный слой нужно как-то моделировать. Простейшая схема будет состоять в том, чтобы рассматривать поверхностный слой как бесконечно тонкую пленку с постоянным натяжением 7. Если контур свободного отверстия имеет кривизну, то поверхностное натяжение дает нормальную составляющую силы на контуре. При переходе к разрезу, в вершине которого кривизна становится бесконечно большой, поверхностное натяжение создаст сосредоточенные силы. В результате особенность у кончика трещины оказывается более высокого порядка, а именно, вида 1/г, а не 1/У г. На это обстоятельство было обращено внимание Гудьером, однако полное решение задачи было опубликовано много позже. В связи с этим можно выразить сомнение, связанное с тем, в какой мере пригодно представление о поверхностном натяжении в твердом теле как о натянутой бесконечно тонкой пленке, а особенно в какой мере эта идеализация сохраняет смысл при переходе к пределу, когда отверстие превращается в бесконечно топкий разрез. [c.664]

Однако сперва мы пойдем по пути, использованному самим Сен-Вена-ном, который исходил из основных уравнений теории упругости, и сперва будем искать только точные решения. Конечно, мы должны тотчас же предостеречь читателя от переоценки точности этих решений. Хотя математическая задача о нахождении интеграла основных уравнений, удовлетворяющего требуемым граничным условиям, в некоторых случаях может быть решена совершенно строго, но из этого еще не следует, что такое решение безусловно надежно н с физической точки зрения. Это было бы действительно так, если бы предположения, на которых основан вывод основных уравнений, выполнялись строго. Однако обычно об этом не может быть и речи мы предполагаем, что материал изотропен, но материал, из которого изготовляют рассчитываемые стержни, обычно обнаруживает в разных направлениях разные упругие свойства, что как раз может быть довольно отчетливо замечено при испытании на кручение ). Это видно уже из того, что значение модуля сдвига G, найденное из опытов над кручением, не особенно точно согласуется со значением, выражаемым через упругие постоянные и /и по формуле (29) 2, как это должно было бы иметь место для изотропного тела. Точно так же и предположение об однородности материала или об одинаковости свойств его в разных точках оправдывается не всегда, например в двутавровых балках часто можно заметить довольно резко выраженную разницу между внутренней частью и наружным слоем. [c.51]

Мы не будем выписывать здесь дифференциальные уравнения равновесия элемента оболочки произвольной формы, поскольку они ничем не отличаются от уравнений, принятых в теории упругой устойчивости оболочек, и ограничимся лишь некоторыми замечаниями. В общем случае это система пяти дифференциальных уравнений первого порядка относительно сил STi, ЗГз, 85, моментов оМ , 8Я и перерезывающих сил oN , первые три уравнения получаются из условия равновесия проекций силЗГ,, ЬТ , 85, 8A/j, на направления осей X, у, г основного трёхгранника (рис. 90) последние два уравнения суть уравнения равновесия моментов сил относительно осей X, у. Ввиду того, что компоненты деформации ej, е , и искривления Zj, выражаются по известным формулам Лява [c.291]

Форма решения (3.4), имеющая вид произведения экспоненты на функцию Эйри, аргументами которых являются бесконечные ряды по степеням (о 7з, и основные вычисления первых четырех параграфов главы взяты из статьи В. С. Булдырева [4]. В асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений прообраз рядов (3.4) был предложен Черри [1]. Наряду с асимптотикой в форме Черри известна асимптотика в форме О л-в е р а [1] (сумма двух асимптотических рядов, из которых один умножен на функцию Эури, а другой — на ее производную). Форма Олвера позволила Р. Льюису и др. [1] получить интересные асимптотические разложения, из которых можно как частный случай вывести некоторые формулы 5 гл. 6. Построения этой работы во многом аналогичны построениям главы 2. Другие применения методики Олвера можно найти в работах И. В. Мухиной и И. А. Молоткова [1] и Н. Я. Кирпичниковой [1], посвященных теории упругих поверхностных волн [c.442]

В дальнейшем пользуемся упрощенной моделью, в которой предполагается, что взаимодействие тела с преградой происходит в течение всего времени пребывания тела в области л >0. Ясно, что это время больше значения t из предыдущей задачи, и для моментов времени t>f получаем физически абсурдную картину стенка удерживает тело т, когда оно двил<ется от стенки в отрицательном направлении. Таким образом, вторая модель не претендует на физическое обоснование теории удара. Однако (какпоказано ниже) в результате некоторого предельного перехода она также приводит к модели удара с трением, изложенной во введении, а простота получающихся при этом формул позволяет развить эффективный метод решения ряда задач устойчивости движения в системах с неудерживающими связями (см. гл. 3). Идея метода состоит в следующем односторонние связи заменяются средой Кельвина — Фойгта, и в решениях полученных уравнений движения совершается предельный переход, при котором коэффициенты упругости и диссипации некоторым согласованным образом устремляются к бесконечности. В пределе получается движение системы с неупругим ударом, причем характеристики среды Кельвина —Фойгта определяются по заданному с самого начала коэффициенту восстановления. Такой подход позволяет при решении задач о движении систем с ударами использовать обычные дифференциальные уравнения динамики с дополнительными силами определенного вида. Основным результатом здесь являются теоремы [c.41]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...