КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ У ТРЕЩИНЫ Комплексные переменные

Рассмотрим теперь уже реальную задачу о напряжениях в теле, содержащем трещину. Будем считать тело неограниченным на бесконечности задано Ti = 0, Тг = То. Трещина занимает отрезок действительной оси с] (рис. 9.4.1). Рассмотрим функцию комплексной переменной [c.285]

Величина K = ai/ l, являющаяся коэффициентом интенсивности напряжений, вводится Д. Ирвином при анализе напряженного состояния у края трещины ме тода-ми теории упругости с привлечением функций комплексного переменного. Этот анализ для растянутой напряжениями а пластинки с трещиной длиной 21 приводит к выражению для нормального напряжения по поперечному сечению в окрестности трещины [c.25]

Функция комплексной переменной Zi(z), называемая функцией напряжений Вестергарда [27], часто используется для решения двумерных задач в областях с трещиной. Индекс I у функций напряжений Эри и Вестергарда, связанных соотношением (2), означает, что эти функции будут построены для решения задачи о трещине нормального отрыва или типа I деформации трещины в окрестности ее вершины (рис. 3). [c.17]

Сущность метода функции напряжений, используемого для решения упругих задач, заключалась в выборе подходящей алгебраической или тригонометрической функции двух переменных Хх, или г, 0), удовлетворяющей условию совместности (V ) = О, из которого получаются напряжения, удовлетворяющие граничным условиям. Чтобы использовать этот метод при расчете напряжений у трещины, удобно функцию напряжений выбрать в виде комплексной функции двух переменных, что упрощает математические выкладки. [c.47]

В выражении (5.1) величина о ]Азх/ — = К представляет собой коэффициент интенсивности напряжений при плоской деформации [26], что вытекает из анализа напряженного состояния у края трещины, выполненного методами функций комплексного переменного [22]. Для пластинки, растянутой напряжениями а, с трещиной длиной 2/, этот анализ приводит к выражению для нормального напряжения в поперечном сечении в окрестности трещины [c.228]

Значения /-х и б, определяемые равенствами (5.8) и (5.10), являются приближенными в неконсервативную сторону это следует из более точного решения на основе модели Панасюка — Дагдейл [25, 44], представленной на рис.,3. Под нагрузкой в пластине, имеющей исходную трещину протяженностью 2/, на концах образуются участки пластической деформации протяженностью г , в пределах которых напряжения равны пределу текучести а = Сопоставляя решения, полученные методом функции комплексного переменного для пластины, равномерно растянутой напряжениями ст, с трещиной протяженностью 21- , и для той же пластины с такой же трещиной, нагруженной по своей поверхности на участках г- напряжениями а , можно получить более точные значения [c.232]

В данной главе исследуется взаимодействие упругих волн с препятствиями в виде прямолинейных разрезов и трещин. Теория трещин в настоящее время интенсивно развивается. Имеется обширная литература, посвященная в первую очередь исследованию статического распределения напряжений около трещин и разрезов, например [51, 76. 80, 97]. При этом базисным решением является решение задачи для упругой плоскости с эллиптическим отверстием, которая позволяет применить методы теории функций комплексного переменного. [c.126]

Суть метода состоит в том, что напряжения и перемещения представляются в виде функций комплексного переменного. При таком представлении уравнения равновесия удовлетворяются тождественно, и остается удовлетворить лишь граничным условиям и дополнительным условиям совместности для двухсвязной области, какой является тело с внутренней трещиной. При этом граничные условия на внешней границе тела удовлетворяются приближению, т.е. в конечном числе Точек, причем приближенное решение стремится к точному с увеличением числа точек коллокаций при правильном их выборе. [c.66]

Значения Гт и й, определяемые выражениями (2.13) и (2.16), являются приближенными, заниженными, что следует из более точного решения на основе модели В. В. Панасюка —Д. Даг-дейла, представленной на рис. 2.4. При напряжениях а в вершине трещины протяженностью 2/ образуются участки длиной Гт пластической деформации, в пределах которых местные напряжения будут а=стт- Упругопластическое решение задачи для рассматриваемой пластины получается на основе решения двух упругих задач для двух пластин с длиной трещины 2/т. Упругие решения методом функции комплексного переменного для первой пластины с трещиной 2/т, равномерно растянутой напряжениями сг, и для второй пластины с трещиной протяженностью 2/т, нагруженной на участках Гт напряжениями сгт, при наложении позволяют получить более точное значение для г [c.31]

Влияние свободных поверхностей учитывают с помощью функций в виде полиномов в сочетании с техникой конформных отображений. При этом комплексная переменная г, соответствующая геометрии трещины, выражается как функция другой комплексной переменной g, соответствующей геометрии единичного круга или полуплоскости в бесконечном теле. Иллюстрация этого метода дана Парисом и Си [7], рассмотревшими действие единственной сосредоточенной силы F, направленной под произвольным углом к поверхности трещины. Для представления полей растягивающих и сдвиговых напряжений у вершины трещины, возникающих благодаря этой силе, ими был использован комплексный коэффициент интенсивности напряжений К = К — iK , и после формального вывода Стц и сГзг из полной комплексной функции напряжений Вестергаарда с использованием переменной т] = (z—вместо действительного расстояния г = (Xi — а) [как в выводе уравнения (115) из (ПО)] они смогли записать [c.75]

В данной главе описаны различные методы расчетов распределения напряжений вокруг острых концентраторов напряжений или трещин. Все аналитические решения включают использование в той или иной форме комплексных переменных. Функции напряжений Вестергаарда обычно позволяют получить основные параметры полей напряжений у вершины трещины, но в более сложных случаях, относящихся к реальным образцам, необходимо использовать функцию напряжений в виде полинома или конформные отображения. Для моделирования трещин могут быть использованы и ряды дислокаций. Метод конечных элементов применяется все шире, вытесняя постепенно метод уравнений в конечных разностях, тем самым широко привлекая вычислительную технику для решения большого числа совместных линейных уравнений, представленных матрицей жесткости. Для моделирования упруго-пластической деформации по типу I при плоском [c.88]

Поля напряжений и перемещений в окрестности движущейся трещины. Исследование распределения полей напряжений и перемещений в окрестности фронта трещины имеет важное значение при формулировке критериев разрушения с использованием силового подхода Дж. Ирвина и при решении других задач механики разрушения [320, 399 и др.]. В статических задачах механики разрушения эта задача решена в работах [492, 572]. Там же показано, что напряжения и перемещения могут быть представлены в виде (1.3). Этот результат имеет место и при динамическом действии нагрузки для стационарных (нераспространяющихся) трещин [550, 551]. Если трещина распространяется, то ситуация усложняется. В этом случае напряжения и перемещения в окрестности фронта движущейся трещины зависят от скорости ее движения. Впервые эта задача в случае распространения, трещины с постоянной скоростью решена в работе [574], где, в частности, показано, что если скорость распространения фронта приближается к некоторому критическому значению, то может произойти, ветвление трещины. Задача о распространении трещины с пострянной скоростью в плоскости относится к классу стационарных смешанных задач динамической теории упругости [265, 313]. К этому же классу относятся задачи о движении штампа вдоль границы полуплоскости с постоянной скоростью, меньшей скорости распространения поперечных упругих волн. Такие задачи рассматривались в [68,i541] с помощью методов теории функций комплексного переменного. Разработанные методы можно использовать и при изучении распространения трещин, [62, 294, 530 и др.]. [c.15]

Следует вспомнить, что для пространственных задач линейной теории упругости (исключая случаи полупространства и шара) неизвестен способ эффективного представления решения второй краевой задачи при произвольном задании массовых и поверхностных сил. Это исключает возможность разыскания напряженного состояния уже для эффектов второго порядка, определимы лишь некоторые его интегральные характеристики. Доступнее плоские задачи, так как применимость приемов решения задачи линейной теории упругости методами теории функций комплексного переменного не ограничена спецификой задания массовых и поверхностных сил для обширного класса областей. Это позволило получить решения нелинейных задач не только для эффектов второго порядка, но довести их для ряда примеров до величин четвертого порядка (в многочисленных работах Ю. И. Койфмана и др.). Здесь же следует отметить исследование в рамках нелинейной плоской задачи поведения материала в окрестности конца прямолинейной трещины (J. К. Knowles, Е. Sternberg, 1975). [c.134]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...