Напряжения на наклонной площадке. Главные напряжения

НЫХ напряжений по наклонным площадкам представляются радиусами-век юрами, концы которых лежат на поверхности эллипсоида полуоси эллипсоида напряжений равны величинам оо, Эллипсоид напряжений может быть в виде шара (сг, = а2 = аз все площадки главные), эллипсоида вращения (два главных напряжения равны между собой) и переходит в плоский эллипс (плоское напряжённое состояние), отрезок прямой (линейное напряжённое состояние). [c.9]

Определим напряжения на наклонных площадках. Рассмотрим элемент (рис. 156), грани которого являются главными площадками и по ним действуют положительные напряжения п Gj, а третье главное напряжение Стз = О (главное направление, соответствующее ад, перпендикулярно к плоскости чертежа). [c.164]

Пример 3.1. Для элементарного кубика, изображенного на рис. 3.10, определить напряжения на наклонной площадке (при ф = 30°). Найти главные напряжения и положения главных площадок [c.75]

Наличие растягивающих и сжимающих напряжений в наклонных площадках нрн кручении можно наглядно проиллюстрировать и другим способом. На поверхности цилиндра, изготовленного из пластичного материала (рис. 88), краской было предварительно нанесено множество мелких кружочков. При закручивании бруса кружки превратились в эллипсы с главными осями, направленными гюд углом 45° к образующим. По направлению больших осей эллипса произошло удлинение, а вдоль малых осей — сжатие. [c.100]

Напряжения на наклонной площадке, нормаль к которой образует углы а, 3 нус нормалями к главным площадкам первой, второй и третьей соответственно [c.10]

Для определения экстремальных значений касательных напряжений и положения площадок, на которых они действуют, запишем формулы (4.25) для напряжений на наклонной площадке, взяв в качестве исходных главные направления [c.91]

Об — нормальное напряжение на наклонной площадке о ц О ,, Оз — главные напряжения [c.651]

Главными называются площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Можно сразу отметить, что в случае плоского напряженного состояния главной будет площадка г, поскольку на ней по условию = О и х у = Q. Для определения двух других площадок кубик необходимо поворачивать относительно оси z до тех пор, пока касательные напряжения на наклонных площадках не станут равными нулю. Угол, на который необходимо повернуть площадки, определим из условия [c.321]

Напряжения на наклонной площадке, расположенной под углом а к главным площадкам (рис. 7.3, б), определяются координатами точки А, представленной на рис. 7.9. Радиус этой точки составляет с осью а угол 2а ее абсцисса определяет напряжение еГд, а ордината — т как в формулах (7.33). [c.150]

Совокупность формул (9.18) — (9.21) дает возможность решать прямую задачу плоского напряженного состояния, т. е. по известным главным напряжениям находить нормальные и касательные напряжения в наклонных площадках. При этом следует иметь в виду, что угол а всегда отсчитывают от направления алгебраически большего главного напряжения (отличного от нуля), а значения главных напряжений подставляют в эти формулы со своими знаками. Последнее замечание указывает на возможность изменения индексов у главных напряжений в расчетных формулах, поэтому необходимо четко помнить правило их обозначения. [c.149]

И касательные напряжения на такой площадке не зависят от и целиком определяются величинами Стз и наклоном площадки. Напряженное состояние на таких площадках может быть изображено графически при помощи круга Мора L/ (рис. 166), построенного на главных напряжениях и 03. Совокупность всех точек этой окружности описывает напряженное состояние всех сечений, проведенных в элементе параллельно о . [c.173]

Вычислим нормальные и касательные напряжения на произвольной наклонной площадке, взяв в качестве исходных оси, совпадающие с главными направлениями 1, 2, 3 (рис. 4.8). Тогда, считая, что I, т я п являются косинусами углов между нормалью к рассматриваемой площадке и главными осями и учитывая, что на главных площадках касательные напряжения равны нулю, из (4.6) и (4.5) с помощью (4.3) и (4.2) получим [c.88]

Проводятся взаимно перпендикулярные оси и и наносятся точки Л и 5, координаты которых равны напряжениям, действующим на главных площадках и о,. На отрезке БА, как на диаметре, строится окружность с центром О,. Любая точка V окружности имеет две координаты, равные нормальному и касательному напряжениям и на наклонной площадке О, нормаль к которой образует с направлением угол ср. Угол (р получается между осью и прямой, соединяющей левую точку В круга с точкой О. Если элемент, в котором рассматриваются напряжения, вычерчен так, что большее (с учетом знака) главное напряжение о, параллельно оси то прямая ВО будет параллельна нормали п к площадке, проведенной в элементе, на которой напряжения и равны координатам точки О. Отрезок ОО дает величину полного напряжения на площадке с наклоном =р. [c.10]

Выражение напряжений по наклонным к главным осям плои адкам через главные напряжения. Как мы видели в предыдущем, в частных случаях, когда форма тела имеет определенный вид и внещние силы приложены к телу определенным образом, напряженное состояние может быть определено тремя главными напряжениями, из которых одно или два равны нулю. Можно показать (это будет сделано в п. 6 настоящего параграфа), что в любом случае в окрестности каждой точки тела найдутся три такие взаимно перпендикулярные площадки, на которых нет касательных напряжений (главные площадки). Но нормальное напряжение на каждой из этих трех площадок в общем случае отличается от нуля. Другими словами, в общем случае не равны нулю все три главных напряжения. Такое напряженное состояние называют объемным. [c.90]

Представляет интерес характер изменения напряжений, действующих на произвольно ориентированной площадке при ее повороте относительно главных осей. Рассмотрим напряжения О2 на наклонной площадке dF элементарного тетраэдра, направление нормалей к боковым граням которого совпадает с направлением главных осей (рис. 3). Пусть площадка сориентирована таким образом, что углы между нормалью On и координатными осями равны соответственно а, р и у. [c.15]

Если на рассматриваемом участке балки поперечная сила, а следовательно, и т положительны, то угол наклона площадки главного растягивающего напряжения, которая перпендикулярна к траектории, лежит во второй четверти. Действительно, угол наклона мо-жет быть определен по формуле [c.260]

Если напряженное состояние точки задано главными напряжениями, то напряжения в наклонных площадках выразятся на основании формул (3.3), (3.4), (3.5) и (3.6) весьма просто. Компоненты по осям координат [c.77]

Для балки прямоугольного поперечного сечения эпюры напряжений а и т приведены соответственно на рис. 253, бив. Кроме того, в каждой из этих точек по напряжениям о и т вычисляли главные напряжения растягивающие Tj и сжимающие Oj. Эти напряжения действуют на площадках, наклон которых к плоскости поперечного сечения изменяется от точки к точке. Изменение величины главных напряжений по высоте балки может быть представлено в виде эпюр Oj и g. Для той же балки эти эпюры приведены на рис. 253, г, д. [c.260]

Чистый сдвиг - это частный случай плоского напряженного состояния, при котором на четырех его гранях действуют только касательные напряжения г. Главные напряжения принимают следующие значения О) = т, Сто = О, 03 = -т. Главные площадки наклонены под углом 45° к граням исходного элемента [c.48]

Найдем главные напряжения по заданным компонентам упрощенного плоского напряженного состояния (рис. 2.128, а). Для этого рассечем элемент произвольной плоскостью и рассмотрим равновесие трехгранной призмы, изображенной на рис. 2.128, б. На рис. 2.128, в изображена проекция призмы на вертикальную плоскость. Площадь наклонной площадки обозначим через dA, тогда площади вертикальной и горизонтальной граней будут соответственно равны Л sin а и dA os а. [c.319]

Итак, с учетом направления вектора т у и правила знаков (см. рис. 5) имеем СГ , = 20 МПа а у = 50 МПа х у = = —20 МПа. Эти напряжения на двух взаимно ортогональных площадках определяют исследуемое плоское напряженное состояние. Но это не главные площадки, так как в них касательные напряжения не равны нулю. Наклон главных площадок найдем с помощью выражения (4) [c.11]

Каждой наклонной площадке соответствует своя точка М. на окружности. Их взаимосвязь удобно установить с помощью точки А, условно называемой полюсом круга Мора. Луч, проведенный из точки А под углом а, в пересечении с окружностью дает изображающую точку М (ст , т ). В частности, точки 1 а 2 соответствуют главным площадкам и напряжениям Oi и 02- [c.14]

Подобное мы уже видели. На предыдущей лекции мы определяли октаэдрические напряжения, т. е. напряжения в площадках равного наклона к главным. [c.50]

Принимая в качестве исходных осей х, у, z главные оси Хо,. Тз, из соотношения (1.5) найдем нормальное напряжение на произвольной наклонной площадке с направляющими косинусами [c.15]

На рисунке изображен круг Мора. Известно, что каждая точка, лежащая на его окружности, соответствует некоторой наклонной площадке. Например, точка / соответствует главной площадке с напряжением Oj = Омакс- Точка К соответствует вертикальной исходной площадке, точка Ki — горизонтальной. Построить площадку и указать действующие на ней напряжения, соответствующие полюсной точке А ау, т). [c.49]

Исследование напряженного состояния в данной точке можно продолжить. Из бесчисленного множества наклонных площадок, построенных в обследуемой точке, можно выделить те — их называют главными площадками для данной точки, на которых отсутствуют касательные напряжения, и потому v, т. е. полное напряжение для главной площадки совпадает по величине и направлению с нормальным напряжением. [c.15]

Если же по заданным главным напряжениям 02 требуется найти величины а , , на площадках с нормалями х и причем нормаль х наклонена к первому главному напряжению под углом у, то можно пользоваться формулами (4.7) и (4.7а), опуская в них члены, содержащие касательные напряжения [c.116]

Построенный круг Мора полностью описывает напряженное состояние элемента, изображенного на рис. 160. Если менять угол а в пределах от —90° до +90°, то наклонные площадки (а) и (р) займут последовательно все возможные положения, а точки Da и Dp опишут полный круг. В частности, при а = 0, когда грани ef и ет станут главными площадками и по ним будут действовать те же [c.182]

При изгибе балки (рис. 257, а) в точках определенного поперечного сечения п — п, взятых на различных расстояниях от нейтральной оси, мы находили нормальные напряжения а и касательные т. Для балки прямоугольного поперечного сечения эпюры напряжений а и т приведены соответственно на рис. 257, бив. Кроме того, в каждой из этих точек по напряжениям а и т вычисляли главные напряжения растягивающие О и сжимающие Оз- Эти напряжения действуют на площадках, наклон которых к плоскости поперечного сечения изменяется от точки к точке. Изменение величины главных напряжений по высоте балки может быть представлено в виде эпюр 0 и 03. Для той же балки эти эпюры приведены на рис. 257, г, д. [c.279]

С центром в точке = (а -f Оу)/2, Xv = О в осях Оа г (рис. 6.5). Так как на главных площадках Tv = О, то при выходе точки В на ось Ои координаты этой точки дадут значения главных напряжений, совпадающих с определенными из формулы (6.14). Эта же формула следует из равенства ( ) при tv = 0. Угол наклона к оси Ох определяют по формуле (6.17). [c.120]

Если совместить координатные оси х, у, z с направлениями главных осей, то определение напрял<ений на любой наклонной площадке становится очень простым. Касательные напряжения 2Х ху в этом случае равны нулю, и уравнения (108) принимают вид [c.232]

По заданным главным на1грякениям определить аналитически или графически напряжения на наклонной площадке [c.23]

Объемное напряженное состоянне. Выберем в точке, в которой анализируется напряженное состояние, координатные оси, совпадающие с главными направлениями, и в этих осях определим касательное напряжение на наклонной площадке с ортом v. Для полного напряжения согласно формулам (6.2), (5.31) [c.120]

Формулы для напряжений на наклонных площадках, для главных напрях<ений для наибольших касательных напряжений [c.6]

Легко заметить, что уравнения теории моментов инерции имеют совершенно ту же структуру, что и уравнения теории сложного напряженного состояния, рассмотренного в главе IV. Так, например, уравнения (44) и (45а), определяющие нормальное и касательное напряжения по наклонной площадке, аналогичны уравнениям (151) и (155), определяющим моменты инерции, для повернутых осей. Также аналогичны между собой уравнения для определения положения и главных o eii [уравнения. (46) и. (156)J или уравнения для главных напряжений (47) и главных моментов инерции (158), (159). Эта аналогия распространяется н.на рассмотренные свойства так, если сумма экваториальных моментов инерции для перпендикулярных осей, проходящих через заданное начало координат, иостояниа, то постоянна и сумма нормальных напряжений но двум перпендикулярным площадкам, ировсденньш через данную точку. [c.182]

Усталостная зона изломов имеет грубо складчатую, сильно шероховатую поверхность, состоящую из пересекающихся под разными углами, наклонных по отношению к направлению главных растягивающих напряжений, площадок (рис. 117,а). Такое строение наблюдается как непосредственно в очаге, так и в зоне развития усталостной трещины. С уменьшением уровня напряжения уменьшается количество наклонных площадок в очаге, излом часто приобретает вид косого излома на рис. 117,6 показана траектория усталостной трещины при 20°С. На наклонных площадках регулярно расположены борозды, гребни, ступени, образующиеся по множественным полосам и плоскостям скольжения. В ряде случаев у одного из краев наклонных площадок располагается небольшой гладкий участок (или несколько таких участков) —локальный фокус разрушения. На площадках, представляющих собой очаг излома и расположенных в большинстве случаев у поверхности образца (детали), гладкий начальный участок разрушения Рыражен наиболее четко. [c.147]

Недостатком теории наибольших касательных напряжений, бросающимся сразу в глаза, является то обстоятельство, что она совершенно не учитывает влияния на работу материала среднего по величине главного напряжения. Выходит, что при постоянных наибольшем ffi и наименьшем сгз главных напряжениях мы можем, не изменяя условий работы материала, как угодно менять величину среднего напряжения лишь бы оно было меньше Oi и больше Стз. Это обстоятельство представляется сомнительным, и опыты подтверждают, что величина напряжения все же оказывает влияние на прочность материала. Недооценивается этой теорией и опасность наруитения прочности элементов, испытывающих примерно равные растягивающие напряжения в трех главных направлениях. К этому нужно добавить, что в соответствии с этой теорией напряженные состояния в элементарных объемах, выделенных у наклонных плош,адок (см. рис. 54, а и б), должны быть равноопасны, если касательные напряжения на этих площадках равны друг другу. С увеличением текучесть и разрушение материала в этих элементах объема должны начинаться одновременно. Опыты показывают, что для материалов, у которых сопротивление сжатию выше сопротивления растяжению, напряженное состояние в случае а, когда на площадке, где возникает касательное напряжение, имеется растягивающее нормальное напряжение, будет более опасным, чем в случае б, когда на площадке с т нормальное напряжение оказывается сжимающим. Элемент. материала при росте напряжения То начнет течь или разрушаться в случае а раньше, чем в случае б. Таким образом, на прочность материала влияет не только касательное наиряженне, но и действующее по той же площадке нормальное напряжение. Это обстоятельство учитывается рассматриваемой ниже теорией Мора (1900 г.). [c.137]

Определим напряжения, возникающие в наклонном сечении 1ЩП1П 1т (рис. 98, а), перпендикулярном к плоскости чертежа. Положение наклонной площадки определяется углом между направлением главного напряжения и внещней нормалью Пц к площадке (рис. 98, б). Этот угол принимают положительным, если его отсчитывают против часовой стрелки от направления Наклонную площадку обозначают углом, определяющим ее положение. Так, для принятого на рис. 98, б обозначения угла имеем а-площадку. [c.146]

Построенный круг Мора полностью описывает напряженное состояние элемента, изображенного на рис. 159. Если менять угол а в пределах от —90 до +90°, то наклонные площадки (а) и (Р) займут последовательно все возможные положения, а точки и Оц опишут полный круг. В частности, при а = О, когда грани е/ и ет станут главными площадками и по ним будут действовать те же напряжения, что и на гранях элемента abed, точка D совпадет с А (рис. 160), а Dji — с В. [c.169]

Наибольпше касательные напряжения действуют на площадках, наклонных к главным под углом 45 и находятся по формулам СГ [c.18]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...