ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Напряжения на наклонной площадке. Главные напряжения из "Основы теории упругости и пластичности " Пусть твердое упругое тело находится под действием поверхностных сил, определеным образом распределенных по поверхности тела, и объемных сил (силы тяжести, инерционные и т. п.), распределенных по всему объему тела. Тогда в теле возникнут напряжения. [c.13] Напряжением называют интенсивность внутренних усилий, т. е. усилие, приходягцееся на единицу плогцади сечения. Для исследования напряженного состояния в точке О тела вырежем около этой точки элементарный параллелепипед, ребра которого равны йх, йу, dz (рис. 1.1). [c.13] За положительные направления касательных напряжений принимаются положительные направления осей х, у, z для тех граней, где растягивающие напряжения действуют в направлении положительных осей х, у, z (т. е. для граней АСС А, ВСС В, А С В О ). Для тех граней, где направление растягивающих напряжений совпадает с отрицательным направлением осей х, у, z (грани ОВВ О, ОАА О, ОАСВ), положительные касательные напряжения направлены также в сторону отрицательных значений соответствующих координат. [c.14] На рис. 1.1 показаны для примера положительные направления напряжений Оу, Хгу на гранях ВСС В и ОАА О. [c.14] На грани элементарного параллелепипеда, вырезанного около точки О, действуют три нормальные составляющие напряжений о , Оу, Ог и шесть касательных составляющих х у, Xxz, Xyz, Хух, Хгх, Xzy. В соответствии с законом парности касательных напряжений, доказательство которого приводится в курсах сопротивления материалов, касательные на-пряя енпя с одинаковыми индексами, действующие па двух взаимно перпендикулярных площадках, равны друг другу по величине, т. е. [c.14] По мере уменьшения размеров вырезанного элементарного четырехгранника наклонная грань АВС приближается к точке О, в которой исследуется напряженное состояние, и в пределе проходит через эту точку. Поскольку напряжения изменяются непрерывно, то в тхределе напряжения на грани АВС будут равны напряжениям на наклонной площадке, параллельной АВС и проходящей через точку О. [c.15] Пусть нам известны составляющие напряжений, действующих по граням, совпадающим с координатными плоскостями. Найдем напряжение /) , действующее на наклонной грани АВС. [c.15] Полное напряжение pv разложим на составляющие р, р . Pi, параллельные координатным осям. Если площадь грани АВС (см, рис. 1.2) обозначить через dF, то площади граней ОВС, ОАС и ОАВ будут соответственно равны IdF, mdF и ndF, где, как уже отмечалось, I, т, п — направляющие косинусы нормали V к площадке АВС. [c.15] Уравнения (1.1) позволяют вычислить составляющие полного напряжения р , на наклонной площадке, проходящей через данную точку, по известным значениям о , о , о , Ti , T12, составляющих напряжений в этой точке и направляющим косинусам нормали к площадке I, т, п. [c.16] Касательное напряжение на наклонной площадке т найдем из очевидного равенства 1 = р1 — где р1 = р1 -f + Ру + Рг, а Ov определяется выражением (1.2). Поскольку Рх, Ру, Pz определяются через щ, а , о ,. .., т г, то и касательное напряжение Tv также может быть определено через компоненты напряжений Ох, щ,. .., т х. [c.16] Следовательно, на любой наклонной площадке, проходящей через данную точку О, нормальное и касательное напряжения могут быть выражены через известные напряжения Ох, Оу,. .., Tyz пли, иначе говоря, эти напряжения полностью характеризуют напряженное состояние в данной точке тела, они являются элементами так называемого тензора напряжений. [c.16] В матрице в каждой строке составляющие (компоненты) тензора имеют одинаковое направление, а в каждом столбце — относятся к одной и той же плoщaдкeJ Нормальные напряжения располагаются по главной диагопалн матрицы. Из закона парности касательных напряжений следует, что матрица симметрична относительно главной диагонали. Такой тензор называется симметричным. [c.17] Для того чтобы система (1.4) имела отличные от нуля решения, необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю, т. е. [c.18] При Д О ДЛЯ решения кубического уравнения применяют так называемый тригонометрический метод. [c.19] Для последующего определения главных напряжений о,, Ог, щ найденные значения корней Хи Хг, х подставляются в выражение (1.7). [c.19] Вернуться к основной статье