Лагранжево многообразие особое)

В лагранжевой динамике особый интерес представляет частный случай рассмотренного выше построения, когда в качестве ц берется касательное расслоение х М) многообразия М . В этом случае имеет место диаграмма [c.55]

Далее, оказывается, что п — 1-мерное многообразие простейших особых точек расположено на лагранжевом многообразии двусторонне, а именно можно следующим образом согласовать ориентации нормалей во всех его точках. [c.412]

Рассмотрим какую-либо простейшую особую точку на лагранжевом многообразии. [c.412]

Рассмотрим систему координат. . ., в окрестности проекции этой точки на конфигурационное пространство. Пусть Р1,. . ., Рп — соответствующие координаты в слоях кокасательного расслоения. В окрестности нашей особой точки лагранжево многообразие можно рассматривать как график вектор-функции (9и Рг > р ) от переменных (р , д ,. . ., (или вектор-функции аналогичного вида, в которой роль вьщеленной координаты исполняет не первая, а какая-либо из остальных). [c.412]

Особые точки вблизи данной определяются тогда из условия дд др = 0. Для лагранжевых многообразий общего положения эта производная меняет знак при переходе с одной стороны многообразия особых точек на другую в рассматриваемой окрестности простейшей особой точки. Мы выбираем за положительную сторону ту, где эта производная положительна. [c.412]

Рис. 52. Особое лагранжево многообразие

Раскрытый ласточкин хвост был первым обнаруженным нетривиальным примером особого лагранжева многообразия и играет важную роль в теории особенностей каустик и волновых фронтов он связан с икосаэдром, спрятанным в точке перегиба границы препятствия на евклидовой плоскости. [c.12]

Особые лагранжевы многообразия (1) и (2) диффеоморфны (они называются раскрытыми ласточкиными хвостами размерности г, так как дифференцирование многочленов из (2) отображает это многообразие в обычный г-мерный ласточкин хвост в пространстве многочленов степени 2г). [c.104]

Простейшим из таких классов является класс Маслова, двойственный многообразию, состоящему иэ всех особых точек проекции лагранжева многообразия на базу лагранжева расслоения. В 1.3 это многообразие обозначалось через Аг. [c.124]

Компонента особого лагранжева многообразия, задаваемого вырожденным производящим семейством [c.153]

Эта конструкция может даже сохранять точность многообразия если исходное лагранжево многообразие является проекцией лежандрова, то прикрепление ручки может быть произведено таким образом, что полученное лагранжево многообразие также является образом проекции особого лежандрова многообразия. [c.154]

Особые лагранжевы многообразия появляются таким же образом. Экстремали, соединяющие точку многообразия с другими точками, образуют лагранжево подмногообразие пространства экстремалей. Эти лагранжевы многообразия гладки, если конфигурационное многообразие не имеет края, и могут быть особыми в противном случае. [c.195]

Это особое лагранжево многообразие является раскрытым ласточкиным хвостом. Из предыдущих теорем вытекает [c.206]

Система экстремалей обычной вариационной задачи образует гладкое лагранжево подмногообразие симплектического многообразия экстремалей. Мы видим, что в задачах с односторонними ограничениями система экстремалей образует не гладкое, а особое лагранжево многообразие. [c.207]

Особенности лагранжевых многообразий, определённых таким образом, очень специальны это особенности лагранжевых подмногообразий особой гиперповерхности касательных лучей . [c.207]

Определение особых лагранжевых многообразий, возникающих в задаче об обходе препятствия, далеко от абстрактной аксиоматической конструкции, продолжающей понятие лагранжева многообразия на особый случай. Например, можно изучать лагранжевы идеалы (замкнутые по отношению к взятию скобки Пуассона) или особые многообразия, определяемые производящими семействами, для которых не удовлетворяются условия трансверсальности. Эти аксиоматические конструкции ведут к другой иерархии особых лагранжевых многообразий. Мне кажется, что первое определение (особого лагранжева многообразия как подмногообразия особого многообразия касательных лучей ) является правильным, и что полукубическая парабола на плос- [c.207]

Соответствующая каустика (образованная проекцией особых точек раскрытого ласточкина хвоста, так как в зтом случае лагранжево многообразие нигде не касается слоёв) является обычным ласточкиным хвостом размерности п — 1 (это проектирование эквивалентно кратному дифференцированию многочленов). [c.264]

Раскрытый ласточкин хвост размерности к есть образ в пространстве характеристик проекции многообразия многочленов степени га-1-1, имеющих нулевой корень кратности к- -2. Симплектическая форма объемлющего (2А - -2)-мерного симплектического пространства равна нулю на этом гладком -многообразии (так как это многообразие есть координатная 9-плоскость в координатах Дарбу, введённых в 1.1). Следовательно, его проекция в 2А Мерное пространство характеристик является лагранжевым подмногообразием (в общем случае особым). [c.229]

Замечание. Здесь слово простое значит, что лагранжево отображение Ь М- Т В -и- В, где Ь — фиксированное многообразие (быть может особое), не имеет модулей (т. е. все лагранжевы проекции этого многообразия, достаточно близкие рассматриваемому отображению, локально (в некоторой окрестности произвольной точки) эквивалентны проекции из некоторого конечного списка). [c.255]

В общей точке это отображение является локальным диффеоморфизмом, однако в некоторых точках лагранжева многообразия ранг дифференциала падает. Такие точки называются особыми. При проекции лшожества особых точек в конфигурационном пространстве образуется видимый контур , который в лагранжевом случае называется каустикой. [c.417]

Ж. Задача об обходе препятствия. Рассмотрим в евклидовом лространстве препятствие, ограниченное гладкой поверхностью. Задача об обходе препятствия состоит в исследовании особенностей кратчайшего расстояния от переменной точки пространства до фиксированного начального множества в обход препятствия. (См. Гивенталь А. Б. Особые лагранжевы многообразия и их лагранжевы отображения // Современные проблемы математики. Новейшее достижения.— 1988.— Т. 33, ВИНИТИ. С. 55—112). [c.460]

Отметим, что лагранжева теория дает самый хороший из известных списков простых особенностей. Ои возникает в задаче о классификации ростков устойчивых лагранжевых отображений (особых) многообразий, локально диффеоморфных прямым произведениям (особых) кривых. Оказывается, простые особенности в этом случае находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с неприводимыми группами Кокстера ([22, п. 2.5.1] график многозначной производящей функции такого ростка диффеоморфен многообразию нерегулярных орбит группы (см. статью А. Б. Гивенталя в (86]). [c.101]

Многочлены такого вида, имеющие вещественный корень кратности 3, образуют (особую) поверхность в симплектическом 4-пространстве (рис. 10). Эта поверхность (называемая раскрытпьш ластпочкиньш хвостом) является лагранжевым многообразием, то есть симплектическал структура на этой поверхности равна нулю. [c.12]

Естественная проекция (определяемая кратным дифференцировав нием многочленов) отправляет 2тп-мерное пространство многочленов степени 2т - - 1 в (т - - 1)-мерное пространство многочленов степени т + 2. Этой проекцией раскрытый ласточкин хвост размерности т отображается на обычный тп-мерный ласточкин хвост (образованный многочленами, имеющими кратный корень). Это отображение однозначно везде, за исключением линии самопересечения ласточкина хвоста (при п = 2). Каждая точка этой линии, за исключением вершины ласточкина хвоста, имеет 2 прообраза на раскрытом ласточкином хвосте. Топологически раскрытый ласточкин хвост гомеоморфен евклидову пространству. Этот гомеоморфизм сохраняет все особенности обычного ласточкина хвоста, за исключением самопересечений. Таким образом, поднятие обычного ласточкина хвоста на раскрытый (топологически эквивалентное нормализации в алгебраической геометрии) упрощает топологическую структуру и разрезает некоторые петли в точках самопересечения. Название раскрытый как раз и отражает этот факт. Как мы увидим ниже, раскрытые ласточкины хвосты управляют особенностями систем лучей на препятствии. Здесь же мы используем эти тп-мерные особые лагранжевы многообразия для определения раскрытых зонтиков. Забудем про симплектическую структуру объемлющего 2т-мерного пространства. Конормальйое расслоение т-мерного раскрытого ласточкина хвоста лежит в 4тп-мерном симплектическом пространстве кокасательного расслоения над пространством многочленов. Это многообразие лагранжево, чётной размерности 2т, оно является образом лагранжева включения. [c.152]

Из этой формулы вытекает, что точка самопересечения или 2 вершины раскрытых зонтиков могут рассматриваться как антиручка . Действительно, в некоторой окрестности любой точки вложенного лагранжева многообразия мы можем приделать малую лагранжеву ручку, на которой есть либо точка самопересечения, либо 2 раскрытых зонтика. Получившееся особое лагранжево многообразие также вложено (в случае зонтиков ручка нарушает ориентацию). [c.154]

Примеры индекс Маслова и первый класс Понтрягина. Пусть N — лагранжево иммерсированное подмногообразие в пространстве кокасательного расслоения многообразия W. Если эта иммерсия T W — общего положения, то особое множество проекции имеет в N коразмерность 1. Ока- [c.205]

Отображение Р Q есть квазиоднородный диффеоморфизм на пространство многочленов степени п с фиксированным (ненулевым) старшим коэффициентом. Подпространство многочленов с нулевым коэффициентом при члене степени п — 1 (т. е. Ai = 0) отображается в пространство многочленов с нулевым коэффициентом при члене степени п — 1. Многообразие (1) отображается в многообразие многочленов, пропорциональных многочленам из (2). Таким образом строится диффеоморфизм между многообразиями (1) и (2). Локальная эквивалентность симплектических структур, в которых они лагранжевы, следует, по существу, из теоремы Гивенталя ( 1.2), точнее иэ её обобщения на неприводимые квазиоднородные особые многообразия (более подробно см. [8]). [c.105]

Естественным путём определения особых лагранжевых многообра зий является рассмотрение изотропных отображений многообразий, имеющих подходящую размерность (равную половине размерности объемлющего симплектического многообразия). Такое отображение называется лагранжевым включением, если его особые точки образуют подмногообразие меньшей размерности. [c.150]

Каустика этого лагранжева отображения цилиндра имеет две компоненты. Одна из них является образом множества особых точек ла гранжева многообразия, другая — множеством критических значений проектирования. Из предыдущих теорем вытекает [c.265]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...