Эндоморфизм

Дифференциальное исчисление на многообразиях. Пусть р четно. Дифференцированием алгебры А степени р называется эндоморфизм (1 векторного пространства Л, обладающий следующими свойствами [c.53]

Композиция отображений К и Н задает эндоморфизм и—Н°К второго касательного расслоения х ТМ), называемый вертикальным эндоморфизмом. Его локальное выражение [c.56]

В частности, определяется эндоморфизм векторных полей [c.56]

Вертикальным оператором в А ТМ) называется эндоморфизм внешней алгебры Л(7М), определяемый эндоморфизмом v модуля векторных полей. Его локальное выражение [c.56]

Отображение Ad дифференцируемо. Рассмотрим его производную в единице группы. Эта производная есть линейное отображение из алгебры в пространство линейных операторов на ней. Построенное отображение обозначается через ad, а его образ при действии на элемент из алгебры через ad . Таким образом, adg есть эндоморфизм алгебры, мы имеем [c.285]

Лемма, П1/сгб 7 — эндоморфизм вероятностного пространства (X, 8, р), а 5 и 3 —конечные разбиения. Тогда [c.41]

Алгебраически это отображение представляет собой эндоморфизм группы 5 ==R/Z на себя. С геометрической точки зрения оно является двулистным накрытием S. [c.53]

Конструкция примера из этого раздела может быть обобщена, например, так. Пусть L R R — некоторая целочисленная (гтг х т)-матрица с определителем + 1 или —1 и без собственных значений, по модулю равных единице, т. е. гиперболическая матрица. Тогда LZ = Z и отображение L обратимо на Z , так что L определяет обратимое отображение т-тора которое имеет свойства, очень сходные с рассмотренными ранее свойствами Fj . Мы будем называть такое отображение гиперболическим автоморфизмом тора. Если опустить ограничение на определитель L, возникающее в результате отображение все еще может рассматриваться как отображение тора, хотя и не обратимое. Такие отображения называются гиперболическими эндоморфизмами тора. Для m = 1 это просто растягивающие отображения окружности. [c.60]

Покажите, что периодические орбиты любого гиперболического эндоморфизма тора Fr плотны. [c.60]

Среди гиперболических эндоморфизмов тора, описанных в конце 1.8, также имеются растягивающие отображения. Кроме декартовых произведений отображений окружности Е х E ) z ,z2) = z ,z ) можно взять [c.84]

Введем следующий удобный способ записи наших уравнений. Любое отображение тора в себя может быть поднято на универсальное накрытие кроме того, отображение 3 является поднятием отображения тора тогда и только тогда, когда существует такой эндоморфизм Л 1 - 1 , что 3 х- -т) = Зх-ьАт для любых xeШ. ,meZ . В частности, легко видеть, что для поднятия отображения, гомотопного тождественному, А = 1с1, т. е. 5 — И — дважды периодическое отображение. [c.100]

Итак, определим сначала чисто алгебраическое понятие энтропии эндоморфизма произвольной конечно порожденной группы. Пусть тг — такая группа, Г = 7р. .., 7, — система образующих тг и F тг тг — эндоморфизм. Рассмотрим все возможные представления элемента 7 е тг следующего вида [c.125]

Поскольку Р —эндоморфизм, можно получить представления " + "7, подставляя представление F y в любое представление F" 7 вида (3.1.19). Таким образом, X (F + "7, Г) I,(F "7, Г)I, (F, Г), поэтому [c.126]

Определение 3.1.9. Число/гд(F) =/гд(F) для произвольной системы образующих Г называется алгебраической энтропией эндоморфизма Р. [c.126]

Как вытекает непосредственно из определения, алгебраическая энтропия не меняется при переходе от данного эндоморфизма к сопряженному, т. е. если 5 тг тг — изоморфизм и F тг —+ тг — эндоморфизм, то [c.126]

Предложение 3.1.10. Для любого эндоморфизма Р конечно порожденной группы тг и любой образующей % тг выполнено равенство [c.126]

Каждый растягивающий эндоморфизм Е , т 2, является перемешиванием относительно меры Лебега. [c.163]

Эта операция непрерывна относительно топологии произведения. Структура группы в определяется аналогично. Сдвиги сг и оказываются автоморфизмом и эндоморфизмом группы соответственно, что усиливает аналогию с автоморфизмами тора и линейными растягивающими отображениями. [c.167]

Другой класс динамических систем с четко выраженной алгебраической структурой представлен растягивающими линейными отображениями окружности ( 1.7), а также автоморфизмами и эндоморфизмами торов ( 1.8). В силу единственности вероятностной меры Хаара на коммутативной компактной группе любой автоморфизм такой группы сохраняет эту меру и эндоморфизм умножает ее на константу. В последнем случае мера Хаара все еще инвариантна в смысле определения, приведенного в конце п. 4.1 б. В упражнении 17.1.2 рассматривается интересный пример автоморфизма компактной коммутативной группы, отличной от тора. [c.241]

В некоторых специальных случаях автоморфизмы и эндоморфизмы некомпактной локально компактной группы определяют преобразования компактного однородного пространства этой группы. Примеры такого рода рассматриваются в 17.3, где С — нильпотентная, но не коммутативная группа Ли. [c.241]

Наконец, существует естественный алгебраический класс динамических систем, включающий в себя и сдвиги на однородных пространствах, и автоморфизмы, а именно аффинные системы, которые представляют собой проекции аффинных отображений группы С на однородное пространство с конечным объемом. Аффинное преобразование группы — это композиция эндоморфизма и сдвига. Самые простые нетривиальные примеры аффинных преобразований, которые обладают свойствами, отличными от свойств сдвигов и автоморфизмов, — это преобразования на двумерном торе, встречающиеся в упражнениях 1.4.4, 3.2.6 и 4.2.3. Последующие упражнения из 4.2 показывают тесную связь между динамическими свойствами этих отображений и их естественных многомерных обобщений и равномерным распределением дробных долей значений полиномов. Это первое проявление исключительно плодотворной взаимосвязи между динамикой алгебраических систем (сдвигов и аффинных преобразований) и теорией чисел. [c.241]

Замечание 8.7. Понятие перемешивание для динамических систем (М, //, ср) можно определить и в том случае, когда ip — эндоморфизм (см. приложение 6), не будучи автоморфизмом (см. приложение 14). [c.28]

Таким образом, ip индуцирует гомоморфизм (р Se измеримых алгебр. Если М = М, то (р называется эндоморфизмом. Если ip — биекция М на М, то (р называется изоморфизмом если, кроме того, М = М, то ip называется автоморфизмом. [c.123]

Если (М, ц) = (М, // ), то ip называется эндоморфизмом (mod 0). Если отображения ip и ip являются гомоморфизмами (mod 0), то ip называется изоморфизмом (mod 0) если при этом совпадают (М, /i) и (М, // ), то — автоморфизм (mod 0). [c.123]

Приложение 14 Пример эндоморфизма с перемешиванием [c.141]

Метрические свойства эндоморфизмов п-мерного тора, Докл. АН СССР, 1961, 138, с. 991-993. [c.270]

Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и эндоморфизмов пространств Лебега, Докл. АН СССР, [c.272]

Точные эндоморфизмы пространства Лебега, Изв. АН СССР, Сер. мат., 1961, 25, с. 499 530. [c.275]

В этом--параграфе число вращения исследуется как функция параметров определяются и исследуются множества вращения для эндоморфизмов окружности . [c.50]

Ч Эндоморфизм — однозначное, но необязательно взаимно однозначное, отображение. [c.50]

Эндоморфизмы окружности ([74]). Пусть А — эндоморфизм окружности, то есть А у) =у+а у), а(у+2я) =а(г/), на условие взаимной однозначности а >—1 может быть нарушено. [c.51]

Пусть д нечетно. Антидифференцированием алгебры А степени q называется эндоморфизм й векторного пространства А, обладающий следующими свойствами [c.53]

Определенный эндоморфизм 1х является антидифференцированием степени —1, обладающим следующими свойствами [c.54]

В 1.D мы определили число h T, 0) в случае, когда Т — эндоморфизм вероятностного пространава, а — конечное измеримое разбиение. Определим энтропию Т по мере [х равенством [c.40]

Теперь рассмотрим непрерывное отображение / компактного связного многоооразия М, и пусть р М. Зафиксируем непрерывный путь а, соединяющий точку р с ее образом /(р), т. е. такое отображение а [О, 1] —+ М, что а(0) = р, а(1) = /(р). Тогда мы можем определить эндоморфизм / фундаментальной группы тг = тг,(М, р), где образ элемента, определяемого петлей 7 [О, 1]-+М, 7(0) = 7(1) = й представляется петлей а/(7)а , состоящей из пути а, петли / о 7 и затем снова из пути а, но проходимого в противоположном направлении. [c.127]

Исследование асимптотических свойств (как топологических, так и метрических) описанных выше классов алгебраических динамических систем (сдвигов, потоков, эндоморфизмов, аффинных преобразований) является хорошо развитой областью, где общие методы эргодической теории, тополо- [c.241]

Пусть F ->Т — необратимый и иерастягнвающий гиперболический эндоморфизм тора, т. е. отображение, задаваемое целочисленной матрицей с определителем, абсолютное значение которого больше единицы, ио одно из собственных значений по модулю меньше единицы. Покажите, что отображение Р не является структурно устойчивым. [c.575]

Подобно тому как вращения окружности и сдвиги на торе являются частными примерами сдвигов на компактных абелевых группах, автоморфизмы и эндоморфизмы тора являются простейшими примерами автоморфизмов и эндоморфизмов компактных абелевых групп. Топологический сдвнг Бернулли, обсуждаемый в следующем параграфе, и аттрактор Смейла, который обсуждается в 17.1, также могут рассматриваться как автоморфизмы компактных абелевых групп. Изучение динамики к эргодической теорнн автоморфизмов компактных абелевых групп связано с вопросами, относящимися к коммутативной алгебре, алгебраической геометрии и в особенности алгебраической теории чисел. Эта взаимосвязь хорошо представлена в книге Шмидта [287], [288]. [c.723]

Определение 1. Множеством вращения эндоморфизма А окружности на себя называется замыкание ц(- ) множества ц 1(Л,у)1убН . [c.51]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...