Эндоморфизм отображения

Композиция отображений К и Н задает эндоморфизм и—Н°К второго касательного расслоения х ТМ), называемый вертикальным эндоморфизмом. Его локальное выражение [c.56]

Отображение Ad дифференцируемо. Рассмотрим его производную в единице группы. Эта производная есть линейное отображение из алгебры в пространство линейных операторов на ней. Построенное отображение обозначается через ad, а его образ при действии на элемент из алгебры через ad . Таким образом, adg есть эндоморфизм алгебры, мы имеем [c.285]

Алгебраически это отображение представляет собой эндоморфизм группы 5 ==R/Z на себя. С геометрической точки зрения оно является двулистным накрытием S. [c.53]

Конструкция примера из этого раздела может быть обобщена, например, так. Пусть L R R — некоторая целочисленная (гтг х т)-матрица с определителем + 1 или —1 и без собственных значений, по модулю равных единице, т. е. гиперболическая матрица. Тогда LZ = Z и отображение L обратимо на Z , так что L определяет обратимое отображение т-тора которое имеет свойства, очень сходные с рассмотренными ранее свойствами Fj . Мы будем называть такое отображение гиперболическим автоморфизмом тора. Если опустить ограничение на определитель L, возникающее в результате отображение все еще может рассматриваться как отображение тора, хотя и не обратимое. Такие отображения называются гиперболическими эндоморфизмами тора. Для m = 1 это просто растягивающие отображения окружности. [c.60]

Среди гиперболических эндоморфизмов тора, описанных в конце 1.8, также имеются растягивающие отображения. Кроме декартовых произведений отображений окружности Е х E ) z ,z2) = z ,z ) можно взять [c.84]

Введем следующий удобный способ записи наших уравнений. Любое отображение тора в себя может быть поднято на универсальное накрытие кроме того, отображение 3 является поднятием отображения тора тогда и только тогда, когда существует такой эндоморфизм Л 1 - 1 , что 3 х- -т) = Зх-ьАт для любых xeШ. ,meZ . В частности, легко видеть, что для поднятия отображения, гомотопного тождественному, А = 1с1, т. е. 5 — И — дважды периодическое отображение. [c.100]

Эта операция непрерывна относительно топологии произведения. Структура группы в определяется аналогично. Сдвиги сг и оказываются автоморфизмом и эндоморфизмом группы соответственно, что усиливает аналогию с автоморфизмами тора и линейными растягивающими отображениями. [c.167]

Другой класс динамических систем с четко выраженной алгебраической структурой представлен растягивающими линейными отображениями окружности ( 1.7), а также автоморфизмами и эндоморфизмами торов ( 1.8). В силу единственности вероятностной меры Хаара на коммутативной компактной группе любой автоморфизм такой группы сохраняет эту меру и эндоморфизм умножает ее на константу. В последнем случае мера Хаара все еще инвариантна в смысле определения, приведенного в конце п. 4.1 б. В упражнении 17.1.2 рассматривается интересный пример автоморфизма компактной коммутативной группы, отличной от тора. [c.241]

Наконец, существует естественный алгебраический класс динамических систем, включающий в себя и сдвиги на однородных пространствах, и автоморфизмы, а именно аффинные системы, которые представляют собой проекции аффинных отображений группы С на однородное пространство с конечным объемом. Аффинное преобразование группы — это композиция эндоморфизма и сдвига. Самые простые нетривиальные примеры аффинных преобразований, которые обладают свойствами, отличными от свойств сдвигов и автоморфизмов, — это преобразования на двумерном торе, встречающиеся в упражнениях 1.4.4, 3.2.6 и 4.2.3. Последующие упражнения из 4.2 показывают тесную связь между динамическими свойствами этих отображений и их естественных многомерных обобщений и равномерным распределением дробных долей значений полиномов. Это первое проявление исключительно плодотворной взаимосвязи между динамикой алгебраических систем (сдвигов и аффинных преобразований) и теорией чисел. [c.241]

Если (М, ц) = (М, // ), то ip называется эндоморфизмом (mod 0). Если отображения ip и ip являются гомоморфизмами (mod 0), то ip называется изоморфизмом (mod 0) если при этом совпадают (М, /i) и (М, // ), то — автоморфизм (mod 0). [c.123]

Ч Эндоморфизм — однозначное, но необязательно взаимно однозначное, отображение. [c.50]

Если Го — точный эндоморфизм, то его естественное расширение есть /С-автоморфизм. Понятие точного эндоморфизма играет важную роль в теории одномерных отображений (см. [c.35]

Рациональные отображения с гиперболическим множеством Жюлиа структурно устойчивы. Для полиномиальных эндоморфизмов с гиперболическим множеством Жюлиа с помощью марковских разбиений строится символическая динамика (см. [48J и библиографию к этой статье). [c.225]

До сих пор остается нерешенной следующая задача, сформулированная еще Фату является ли множество эндоморфизмов с гиперболическим J R) плотным в пространстве всех рациональных эндоморфизмов Эта гипотеза не доказана, в частности, и для семейства квадратичных отображений z z - -a (и для действительного семейства ху- х - -а, a6R). [c.225]

Теперь рассмотрим непрерывное отображение / компактного связного многоооразия М, и пусть р М. Зафиксируем непрерывный путь а, соединяющий точку р с ее образом /(р), т. е. такое отображение а [О, 1] —+ М, что а(0) = р, а(1) = /(р). Тогда мы можем определить эндоморфизм / фундаментальной группы тг = тг,(М, р), где образ элемента, определяемого петлей 7 [О, 1]-+М, 7(0) = 7(1) = й представляется петлей а/(7)а , состоящей из пути а, петли / о 7 и затем снова из пути а, но проходимого в противоположном направлении. [c.127]

Пусть F ->Т — необратимый и иерастягнвающий гиперболический эндоморфизм тора, т. е. отображение, задаваемое целочисленной матрицей с определителем, абсолютное значение которого больше единицы, ио одно из собственных значений по модулю меньше единицы. Покажите, что отображение Р не является структурно устойчивым. [c.575]

Сперва доказывается, что некоторая итерация f = h диффеоморфизма /6J допускает следующую цепную модель . Существуют такие конечно порожденный свободный цепной комплекс = "-° и его эндоморфизм Ф= Фг , что матрицы коэффициентов суть матрицы виртуальных перестановок, а пара (С, Ф) гомотопически эквивалентна (в том смысле, как это понимается для цепных комплексов) С К), h n), где К — клеточное разбиение М, h — гомотопное h клеточное отображение. Затем доказывается, что диффеоморфизм h, допускающий такую цепную модель , изотопен некоторому диффеоморфизму М.—-С. g (при указанных выше условиях на М и при дополнительном условии, что i = i=0, выполнение которого можно обеспечить). Как известно, сложная часть теории ручек устанавливав, что при известных условиях заданный конечно порожденный свободный цепной комплекс С, гомотопически эквивалентный С (К), может быть реализован с помощью некоторого разбиения М на ручки, т. е. С изоморфен (ii i), где клеточное разбиение Ki получается при стягивании ручек на срединные диски. Построение же g связано с некоторым допол-нением к,этой теории, посвященным, реализации-не -т0№К0- ценного комплекса но и заданного эндоморфизма Обеспечиваемые прн этом построении дополнительные свойства реализации таковы, что в рассматриваемом случае g оказывается диффеоморфизмом М.—С. [c.200]

Пусть теперь Т — групповой эндоморфизм группы М, т. е., такое однозначное непрерывное отображение М на себя, что-T(xj+X2) =Txi + Tx2 для всех хихгбм. В этом случае из единственности меры Хаара р, на ЛГ вытекает, что ji. инвариантна относительно Т. [c.12]

Свойства отображений, лежащих на устойчивом многообрази 4 Рациональные эндоморфизмы сферы Римана..... [c.114]

Римана были посвящены глубокие исследования Жюлиа (О. Julia) и Фату в начале этого века (см. книгу [83]). Как и для действительных одномерных отображений, в случае рационального эндоморфизма точки фазового пространства могут иметь как асимптотически устойчивое, так и стохастическое поведение. Описание различных типов динамики использует следующую классификацию периодических траекторий (иначе циклов) эндоморфизма R. Цикл а = [Оо, ai,...,a i] называется притягиваю- [c.223]

Эргодические и размерностные свойства множества Жюлиа. Исследование эргодических свойств рациональных эндоморфизмов, т. е. инвариантных мер, сосредоточенных на множестве Жюлиа, было начато Бролиным (Н. ВгоИп), который доказал, что для полиномиального отображения zm-P z) прообра- [c.226]

Таким образом, в пространстве параметров рациональных эндоморфизмов сферы Римана, также как для отображений отрезка, имеется два подмножества с противоположными свойствами. С одной стороны, открытое, гипотетически всюду плотное, подмножество, состоящее из структурно устойчивых эндоморфизмов, для которых почти все точки в смысле меры Лебега сходятся к конечному числу притягивающих циклов и множество неблуждающих точек гиперболично. С другой стороны, множество положительной меры, состоящее из эргодических относительно меры Лебега эндоморфизмов. Естественно задать вопрос образует ли объединение устойчивых и стохастических эндоморфизмов множество полной меры в пространстве параметров [c.226]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...