Притяжение треугольника

О и С. Докажем, что сила притяжения прямою АВ точки О равна силе притяжения той же точки дугою ОС. Отложим для этого элемент /5, концы которого соединим с О прямыми аО и ЬО, пересекающими дугу Ос в точках й и проведем через с прямую с/ параллельно аЬ. Из подобных треугольников О/с и ОаЬ следует соотношение [c.727]

Обратимся теперь к точкам 4 и Ьь, образующим вместе с Землей и Луной два равносторонних треугольника. Сообщим в этих точках спутникам скорости по касательным к орбите Луны, в точности равные скорости Луны. Как мы сейчас выяснили, эти скорости будут больше местной круговой скорости, и, казалось бы, спутники 4 и Ьь, обладая ничтожной массой, должны двигаться, в отличие от Луны, по эллипсам. Но ничуть не бывало Притяжение Луны заставляет их двигаться все с той же неизменной скоростью по орбите Луны один — на 60° впереди Луны, другой — на 60° позади. [c.104]

В некоторый момент, когда Луна находится в точке Ло (рис. 82, а), с Земли стартует космический аппарат, получив на высоте 200 км почти горизонтальную начальную скорость, на 0,092356 км/с меньшую местной параболической скорости (что всего лишь на 0,5 м/с превышает начальную скорость, соответствующую полуэллиптической траектории). Через 2,9 сут полета аппарат, двигаясь по эллипсу, достигает в точке границу сферы действия Луны, движущейся ему наперерез (Луна находится в этот момент в точке Л1). Если бы Луна была неподвижна, то наш аппарат пролетел бы через окраину сферы действия, едва испытав на себе притяжение Луны. Но, поскольку Луна движется, селеноцентрическая скорость оказывается направленной в глубь сферы действия. Ее направление может быть найдено с помощью треугольника скоростей (рис. 82, б), в котором абсолютная , геоцентрическая, входная скорость (она задана по величине и направлению и равна примерно 0,6 км/с) представляет собой векторную сумму относительной , селеноцентрической, входной скорости и переносной скорости Луны Ул (она равна 1,02 км/с и известна по направлению). [c.221]

Введем теперь понятие прицельной дальности [47]. Когда О 0 пред, направление движения спутника практически совпадает с асимптотой гиперболы. Предположим теперь, что спутник движется к притягивающему центру на достаточно большом расстоянии ( О — О пред). Если бы в этот момент сила притяжения исчезла, то спутник, продолжая двигаться по асимптоте гиперболы, пролетел бы на расстоянии F N от точки F (рис. 2.5). Расстояние F N называют прицельной дальностью. Вычислим прицельную дальность. С этой целью рассмотрим прямоугольные треугольники OUD и ONF. Согласно (2.4.26) у них одинаковые гипотенузы OD = OF = ), а в силу симметрии асимптот гиперболы равны острые углы ( nOZ) = = зх — О пред). Следовательно, указан- [c.50]

Обсудим также некоторые другие понятия, связанные с гиперболическими орбитами. Величину 8 = FiQ/FiN (см. рис. 2.5) называют поджатием орбиты под действием притяжения центрального тела. Здесь F N = 6, а из прямоугольного треугольника OF N следует, что [c.52]

Отсюда следует, что либо три точки лежат на одной прямой, либо р I = = р + . Если /г = —1, то это есть закон притяжения, согласно которому сила изменяется пропорционально расстоянию. Если fe —1, то имеем р = р", и треугольник должен быть равносторонним. [c.248]

Лагранжевы решения задачи трех тел. В т. I, гл. IV было показано, что если три точки расположены в вершинах равностороннего треугольника и определенным образом приведены в движение, то под действием сил взаимного притяжения они будут двигаться так, что всегда будут оставаться в вершинах равностороннего треугольника. Нашей целью является исследование того, будет ли это движение устойчивым или неустойчивым. [c.90]

Выходит, что эксперимент Майера [36] - [39] поколебал интуитивно правильное убеждение Кельвина. В этом эксперименте шестерка одинаковых магнитов располагалась в вершинах правильного треугольника и в серединах (или около середин) его сторон (см. рис. 2). Объяснение противоречия опыта Майера и теории устойчивости вихрей мы, однако, находим в той же статье Кельвина. Он указал, что полная аналогия вихрей с магнитами получается лишь при определенном распределении намагниченности вдоль иголок, которая, однако, в опыте Майера не контролировалась. К этому можно добавить, что устойчивость по Раусу выдерживает малые возмущения приведенного гамильтониана, когда на заданном стационарном режиме его второй дифференциал положительно определен. Ясно, однако, что ограничение малости возмущений тем жестче, чем мы ближе к критическому случаю вырождения этого второго дифференциала. Этот критический случай возникает при п = 7, но довольно ясно, что уже при п = 6 отклонение потенциала притяжения магнитов от вихревого оказывается недостаточно малым. [c.275]

Во всем предыдущем мы не делали никаких предположений о форме Земли. Мы предположили только, что вертикаль РМ находится в плоскости РМР. Посмотрим, во что обратятся полученные формулы, если принять следующие предположения, дающие лишь первое приближение. Предположим, что Земля имеет форму шара, и допустим, ЧТО сила притяжения А направлена к центру С и имеет одинаковую величину A = Aq во всех точках Земли. Тогда, обозначая через ро радиус Земли, имеем в треугольнике MQ р — — Po Os(X — а), и из формулы (2) получаем [c.251]

Треугольные решения задачи трех тел. Если три массы т , rrti, Шц занимают вергпины Ро> Л, равностороннего треугольника, то результирующая ньютонианского притяжения, которому подвергается одна какая-нибудь из них, например ttii, со стороны двух других проходит через центр тяжести и имеет величину [c.216]

Это простое замечание (к нему можно прийти прямым геометрическим путем, принимая во внимание элементарные свойства центра тяжести) позволяет установить существование класса частных решений згдачи трех тел. К этому классу можно прийти, замечая вместе с Лапласом, что достаточно заставить вращаться равносторонний треугольник в его плоскости вокруг центра тяжести трех масс с подходящей угловой скоростью ш, чтобы центробежная сила для каждой из трех м сс уравновесила притяжение этой массы двумя другими. [c.216]

П. В. Воронец опубликовал новый метод преобразования дифференциальных уравнений динамики, который позволил значительно расширить известные ранее результаты в области задачи п тел. Развивая идею Э- Рауса об игнорировании координат , он показал, что в случае, когда уравнения движения системы допускают линейные относительно скоростей интегралы, из этих уравнений можно исключить циклические координаты и соответствующие им скорости и ускорения. Этот метод дал возможность П. В. Во-110 ронцу сравнительно просто получить известные результаты Ж. Лагранжа, К. Якоби, Э. Бура, А. Бриоши и Р. Радо при произвольном законе притяжения. П. В. Воронец подробно исследовал задачу четырех тел и указал случай интегрируемости в квадратурах для закона притяжения обратно пропорционально кубам расстояний. В случае сил взаимодействия, пропорциональных любой степени расстояний, он установил возможность двух типов движений. Исследуя дифференциальные уравнения задачи трех тел Ув форме Лагранжа, Воронец изучил случай аннулирования кинетического момента, а также случай пространственного движения, при котором образуемый телами треугольник остается равнобедренным и массы точек, расположенных в его основании, равны. [c.110]

Т. Банахевич показал, что в случае закона притяжения обратно пропорционально кубам взаимных расстояний пространственная задача трех тел допускает решение. Новый интегрируемый случай в задаче п тел при том же законе притяжения нашел А. Д. Билимович . Плоское и пространственное движение трех тел, при котором образованный телами треугольник остается равнобедренным, в случае ньютоновых сил притяжения рассмотрел Е. Виль-чинский Он показал, что необходимым условием таких движений, называемых равнобедренными , или симметрическими , является равенство двух масс, расположенных в вершинах основания треугольника. [c.110]

Из теоремы Лапласа вытекает одно весьма важное следствие. Пользуясь этой теоремой, можно составить компоненты по осям координат силы притяжения бесконечно тонким эллиптическим слоем точки лежащей на его внешней поверхности. Будем рассматривать слой относительно прямоугольных осей Oxyz (фиг. 471), имеющих Качалов центре эллипсоида. Замечаем, что толщина Е слоя может быть выражена с помощью длины перпендикуляра, опущенного из центра эллипсоида на касательную к нему плоскость в точке М. Проведем через М касательную плоскость к внешней поверхности слоя и опустим из начала координат О перпендикуляр О А на эту плоскость, длину которого назовем через h. Этот перпендикуляр будет лежать в одной плоскости с нормалью так как обе прямые параллельны. Вследствие этого легко убедиться в подобии прямоугольных треугольников ОАМ и N KMf имеющих по равному острому углу. Из их подобия следует соотношение МК MN = ОА ОЖ, откуда [c.761]

Вследствие того что v = , получаем[го / ] = onst dt это обозначает, что площадь треугольника, построенного на г ъ dr (на фнг. 101 обозначено штриховкой), для одного и того же элемента времени dt постоянна и независима от положения точки на ее пути. Этот результат можно выразить следующим образом радиус-вектор г из центра притяжения к материальной точке покрывает в одинаковые времена одинаковые площади (2-й закон Кеплера). Из этого особого случая вытекает наимевовавие. закон пло> щадей. [c.308]

Пусть р, р, р" — длины сторон Р Р , Р Р, РР треугольника, образованного точками, и пусть закон притяжения есть масса (расстояние) . Тогда, поскольку резульгирующая сил притяжения массы т массами /и, т проходит через точку О, то [c.248]

Точка движется внутри треугольника АВС под действием сил притяжения его сторон, длины которых в Ьц раз больше расстояний точки от сторон треугольника. Показать, что движение точки описывается двумя выражениями вида Р sin (t YЦ1 + с Л, где X определяется из уравнения (к — ) (Я — 2) + 2 os А os 5 os С = 0. Показать, что корги этого, квадратного уравнения вещественны и положительны. [c.426]

Если четырехугольник таков, что каждая из четырех точек находится вне треугольника, образованного тремя другими, то все площади А (т), А (т ),. .. в уравнениях (1)—(4) положительны. Из этих уравнений видно, что если массы положительны, то числовое значение Р (т. е. п /У,т) должно находиться между значениями F, О и А, В, С, О. Поскольку обе диагонали не могут быть меньше, чем каждая из сторон, то отсюда следует, что если сила притяжения пропорциональна отрицательной степени расстояния, то каждая из величин А, В, С, О должна быть больше, чем F и G. Из уравнений (8), кроме того, сразу вытекает, что наибольшая и наименьшая стороны противолежат друг другу и что каждая диагональ длиннее любой стороны. [c.456]

В последнее время в связи с интенсивным изучением и освоением космического пространства значительно возрос интерес к знаменитой классической задаче трех тел (точек), движущихся под действием их взаимного гравитационного притяжения. Так как эта задача в общем виде неинтегрируема, то большой интерес престав-ляет изучение ее частных решений. В 1767 году Л. Эйлер [124] обратил внимание на то, что задача трех тел имеет три частных решения, для которых гравигирующие точки во все время движения расположены на одной прямой. Через пять лет, в 1772 г., Ж. Лагранж показал [148], что существуют еще два частных решения, соответствующие таким движениям, для которых три тела образуют равносторонний треугольник. Для пяти этих частных решений притягивающие тела движутся по подобным орбитам относительно своего барицентра, образуя во все время движения неизменную конфигурацию. [c.9]

В 1889 году А. М. Ляпунов рассмотрел задачу об устойчивости в линейном приближении треугольных точек либрации для случая неограниченной пространственной задачи трех тел при притяжении тел, обратно пропорциональном w-й степени расстояния между ними. Стороны треугольника, образованного тремя телами в невозмущенном движении, А. М. Ляпунов не считает постоянными, а они могут периодически изменяться. Результаты исследования А. М. Ляпуаовл опубликованы в его замечательной работе [48]. Результаты, полученные Рауссом, следуют из результатов Ляпунова как частный случай. В недавних работах А. Л. Куницына [34, 147] дана интересная геометричв ская интерпретация условия устойчивости (2.3) в линейном приближении и сделана попытка получения некоторых строгих выводов об устойчивости в нелинейной задаче. [c.124]

Можно сделать также вывод, что результаты, изложенные в 346, не имеют места для силовой функции (П). Действительно, из (IV) видно, что неплоское решение (IX) таково, что треугольник, образованный тремя телами, является при любом t равнобедренным, в основании которого находятся равные Л1ассы (П1). Вместе с тем угол ш(г), определяемый согласно (XII), не сохраняется постоянным, так что фиксированная ось или плоскость симметрии, суш,ествующие в случае ньютонианского притяжения (см. 346), в данном случае не существуют. [c.360]

Рассмотрим векторный треугольник (рис. 6.2), связываю щий центр притяжения О, космический аппарат К и пункт на блюдения П. Из рисунка видно, что г — текущий радиус-вектоЕ КА, О — вектор наклонной дальности (от пункта наблюдения дс КА). Эти три вектора связаны векторным соотношением [c.156]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...