Гаусса граничных элементов

Для решения системы (4.30) на каждом шаге по времени можно, например, использовать метод Гаусса, Граничные условия могут быть записаны по способу, указанному в работе [118], Согласно этому способу, если перемещение какого-либо узла известно, то в общей матрице жесткости в строке, соответствующей этому перемещению, все недиагональные элементы приравниваются нулю. Элемент вектора нагрузки, относящейся к данному перемещению, полагается равным диагональному элементу матрицы жесткости, умноженному на известное перемещение. Из остальных уравнений известное перемещение исключается. [c.96]

Уравнения (4.22) и (4.23) можно использовать для получения окончательной системы алгебраических уравнений, но сначала нужно вычислить интегралы, стоящие в квадратных скобках. Если точка поля Хо не лежит где-либо внутри нагруженного граничного элемента (в противном случае интегралы становятся сингулярными), то это делается просто по формуле интегрирования Гаусса (см. приложение В). [c.109]

Тем не менее необходимо вычислить ряд сложных интегралов. Для подавляющего их большинства фх и т поэтому соответствующие подынтегральные выражения содержат лишь гладкие функции, и интегралы можно вычислить при помощи обычной квадратурной формулы Гаусса. В сингулярных случаях (т. е. когда точка приложения нагрузки и точка наблюдения, принадлежащие граничному элементу или объему ячейки, совпадают) интегралы нужно вычислять аналитически. Приведенные ниже результаты [2] позволяют вычислить все слагаемые, обусловленные сингулярными интегралами. [c.262]

Для исключения нулевых ведущих элементов переставляем строки матриц А и В. Далее методом Гаусса получаем значения граничных термоупругих усилий и перемещений. При этом начальные параметры [c.123]

Подматрицы Ян отражают свойства отдельных подсхем, Ян, Ян — связи между подсхемами, Яи — изменение граничных переменных. Здесь 1=1, 2,...,/—1 (I—1)—число подсхем. Можно показать, что применение метода Гаусса для решения систем ЛАУ с матрицей коэффициентов блочно-диагонального вида с окаймлением приводит к выполнению арифметических операций только с ненулевыми подматрицами, поэтому метод подсхем можно рассматривать как разновидность методов разреженных матриц. Существенное отличие метода подсхем — возможность организации автономных вычислений для каждой отдельной подсхемы в процессе выполнения прямого и обратного хода в методе Гаусса, что позволяет хранить в оперативной памяти только подматрицы Яге, Ян, Ян и Яи, а не всю матрицу Якоби. Алгоритмы формирования ММС зависят от выбранного координатного базиса V и конструируются на основании простых логических правил, разработанных для схем, содержащих многополюсные элементы (фактически происходит переход от подсхемы к многополюснику). Основной особенностью этих алгоритмов является автономное формирование уравнений моделей подсхем. [c.148]

Далее, методом исключения Гаусса находим значения всех неизвестных граничных параметров. Они сведены в таблицу 2.7. Там же приведены результаты расчета рамы по обычному графу (рисунок 2.40), при котором матрица А имеет размер 40x40 элементов, и результаты, полученные С.А.Рогицким. Сравнение данных таблицы 2.7 показывает, что результаты по МГЭ и по методу С.А.Рогицкого практически совпадают. Причем в работе [274] определены только изгибающие моменты, а по МГЭ получена полная информация о напряженно-деформированном состоянии рамы в форме начальных параметров. При этом [c.119]

Элементы матриц А В вьшисляем по формулам (3.11). Далее методом Гаусса по программе примера 2.7 определяем граничные параметры (после перестановки строк матриц Л, В). В таблице 3.6 приведены результаты по МГЭ ( с учетом и без учета сил инерции свободных стержней) и по МКЭ ( с учетом сил инерции). [c.174]

Заметим, что форма (1.40) есть аналитическое решение линейной задачи, а схема решения краевой задачи (1.46) — численное определение начальных и, если требуется, конечных параметров. Теоретически определение граничных параметров линейной системы из уравнения (1.46) можно выполнить аналитически, но целесообразней применять численный метод исключения Гаусса, т.к. трудности аналитического решения резко увеличиваются с ростом порядка матригцз А. Поэтому данное сочетание задачи Копти и численного решения краевой задачи позволяют определить предложенный одномерный вариант МГЭ как численно-аналитический метод решения дифференциальных уравнений независимо от физического содержания задачи. Если требуется решить задачу для линейной системы, состояние каждого элемента которой описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, то всегда можно применить предложенный выше алгоритм. Если состояние элементов описывается дифференциальными уравнениями в частных производных(пластинчатые и оболочечные системы), то для применения одномерного варианта МГЭ нужны дополнительные преобразования, сводящие дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальных уравнениям. В математике, как известно, возможность понижения мерности исходной задачи существует. В механике такую процедуру выполняет вариационный метод, предложенный с разных позиций вьщающимися советскими учеными академиком Л.В. Канторовичем и членом-корреспондентом АН СССР В.З. Власовым, который носит их имя. [c.390]

Эту систему можно решить методом конечных разностей, который эффективен при получении численных решений эллиптических уравнений в частных производных [4]. При использовании этого метода область непрерывного материала заменяется системой дискретных точек, где должны определяться дискретные значения зависимых переменных задачи. Уравнения в частных производных выражаются в каждой точке материала в пределах выбранной области в виде алгебраических уравнений, в которых частные производные аппроксимируются конечно-разностными операторами. В работе [3] для точек материала внутри выбранной области использовались центральноразностные операторы, тогда как для точек, попадаюших на границы области, применялись восходящие и нисходящие разностные операторы. Когда уравнения в частных производных и граничные условия записаны в приближенной форме, как конечно-разностные уравнения, получается линейная неоднородная система алгебраических уравнений, число которых равно произведению числа точек материала в выбранной области и числа зависимых переменных. Записывая в память ЭВМ только те элементы матрицы коэффициентов системы, которые попадают в пределы полуширины ненулевых коэффициентов, можно использовать метод исключения Гаусса для решения системы алгебраических уравнений с максимальной экономией памяти ЭВМ. Типичные матрицы коэффициентов размером 1200 х 1200 с полушириной порядка 60—80 решались на компьютере IBM 360-65 в 1969 г. при мерно за 2 мин. [c.16]

Что касается граничных условий, налагаемых на механические величины, то они могут формулироваться по-разному в зависимости от свойств соприкасающихся сред и характера контакта между ними. Наиболее простой вид эти условия имеют на свободной поверхности кристалла, т. е. когда кристалл граничит с вакз умом и внешние силы на границе отсутствуют. Замечая, что правая часть уравнений теории упругости (1.2.1) имеет вид дивергенции тензора, интегрируя по малому объему, окружающему элемент поверхности кристалла, и используя теорему Гаусса— Остроградского, получаем [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...