Вариация функции, выражающей связь

Зависимые вариации выражаются линейными функциями от k независимых вариаций в результате решения системы (3). Подставим их значения в уравнение (1), представляющее собой общее уравнение статики. Так как это уравнение после указанной подстановки будет содержать лишь k независимых вариаций, то оно должно удовлетворяться при произвольных значениях последних каждый из k коэффициентов при этих вариациях должен поэтому в отдельности обращаться в нуль. Таким способом мы получаем k уравнений равновесия между координатами точек системы и проекциями прямо приложенных сил. Эти k новых уравнений в соединении с Зи — А уравнениями связей (2) определяют значения координат для положений равновесия, если известны прямо приложенные силы в случае же неизвестных сил, эти силы могут быть определены из тех же уравнений и выразятся, следовательно, как функции от координат точек системы. Тогда говорят, что силы позиционны. [c.306]

Когда дело идет о вариациях, которых требует принцип наименьшего действия, то должна существовать не зависящая от времени силовая функция и, если должно удовлетворяться уравнение (12). Условие варьирования (8) может быть тогда выражено тем, что величина Т — и должна иметь одно и то же значение для двух соответствующих положений действительного и варьированного движений. Если, кроме того, время не входит в уравнения связей, будь то дифференциальные уравнения вида (1) или конечные уравнения, то при действительном движении величина Т — и остается постоянной ). Тогда —и называется потенциальной энергией, Т — и — полной энергией, и можно видеть, что полная энергия вообще не меняется ни во время движения, ни при варьировании. Таким путем получается более узкая форма принципа наименьшего действия. Эта форма принципа предполагает известным, что действительное движение подчиняется предложению о постоянстве энергии, и определяет точнее это движение тем, что оно, будучи сравнено с другим движением, мало от него отклоняющимся и протекающим с той же постоянной энергией, удовлетворяет условию [c.547]

Переход от соотношений (1.12) к дифференциальным уравнениям движения можно осуществить либо с помощью так называемого метода неопределенных множителей (или множителей Лагранжа), либо при помощи непосредственного исключения зависимых вариаций, выражая их через т каких-нибудь независимых вариаций. В первом случае мы придем к системе п дифференциальных уравнений, содержащих, кроме п искомых функций Qi, п — т неизвестных множителей. Совместно с (1.16) эти уравнения образуют полную систему 2п — т уравнений для 2п — т неизвестных. Во втором случае мы получим т уравнений, которые вместе с (1.16) образуют полную систему. Интегрирование этих дифференциальных уравнений позволяет найти движение рассматриваемой механической системы из ее любого, наперед заданного начального состояния. Кроме того, в первом случае одновременно находятся также и силы реакций связей, наложенных на систему. [c.95]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

Выше отмечалось, что основная задача механики голономных систем становится определенной для класса идеальных связей. Действительно, пусть на систему из N точек наложено к голономных идеальных связей. Число проекций виртуальных перемещений точек на координатные оси, или, иначе говоря, число вариаций координат точек, равно ЗЫ. Так как вариации координат подчинены уравнениям (5.12), то к вариаций являются зависимыми, а ЗК—к вариаций — независимыми. Зависимые вариации могут быть единственным образом выражены через независимые, поскольку детерминант из коэффициентов при зависимых вариациях в системе (5.12) по предположению отличен от нуля (в противном случае среди связей будут такие, которые являются следствием остальных). Учтем далее, что кроме требований голономности связей выполняется требование их идеальности (см. (5.13)). В этом условии к зависимых вариаций с помоиц>ю (5.12) можно выразить через ЗМ—к независимых вариаций. После такой подстановки (для того чтобы удовлетворить требованию идеальности) следует приравнять нулю коэффициенты при независимых вариациях. Тем самым можно получить ЗК—к соотношений между реакциями связей и радиусами-векторами точек. Таким образом, основная задача динамики несвободной системы с голономными идеальными связями является определенной, поскольку число уравнений и число неизвестных функций в этом случае совпадают. [c.206]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...