Векторы и тензоры в -мерном пространстве

Геометрическое (векторное) представление тензоров второго ранга в евклидовом линейном ге-мерном пространстве. В аналитической геометрии в основу рассуждений всегда кладется определенная координатная система. С другой стороны, при построении векторного исчисления координатную систему стараются игнорировать, ставя в соответствие каждому вектору геометрический образ в виде направленного отрезка. При исследовании более сложных физических величин, таких, как тензоры второго и более высоких порядков, геометрическое представление возможно уже лишь в абстрактном л-мерном линейном пространстве. Такое геометрическое представление имеет большое значение для установления физических законов и их экспериментальной проверки. [c.20]

Таким образом, для представления девиаторов всех п элементов конструкции размерность пространства должна быть равна 5и. Соответственно введем бя-мерное пространство с базисом gj ( = = 1, 2,. .., 6п), в котором первые 5п векторов gj совпадают с векторами а остальные п векторов gs используются для представления шаровых частей тензоров в (7.40). Тогда вектор е можно представить в виде [c.156]

Если рассматривать симметричные тензоры как векторы в 6-мерном пространстве, то (9) означает, что tr B[D]D) представляет собой положительно определенную квадратичную форму от таких векторов. [c.326]

I. Диадное произведение. Двухвалентные тензоры.Пусть каждой паре векторов СС,6 исходного трехмерного пространства соответствует единственным образом некоторый элемент а6 (9-мерного пространства), называемый диадным (тензорным) произведением (или просто диадой) векторов а и 6. Пусть это соответствие является билинейным [c.10]

Векторы и тензоры в п-мерном пространстве [c.183]

Симметричному тензору Z= zij) в соответствие поставим 6-мерное линейное пространство Ев ортогонального вектора z в репере ( = 0, 1,.,.,5 причем так, чтобы 5-мерное [c.139]

Множество всех симметричных тензоров изоморфно Ч2п(п + 1)-мерному подпространству пространства всех тензоров множество антисимметричных тензоров изоморфно подпространству размерности ,п(п— 1). Базисами этих двух подпространств служат соответственно следующие наборы линейных комбинаций тензорных произведений векторов базиса (еь. ......en) [c.506]

Мы будем в основном рассматривать аппроксимации различных непрерывных функций, определенных на компактных подмножествах А-мерного точечного пространства Более точно, пусть 3 — некоторое множество элементов Т, и, V,. . в значительной мере произвольных. Почти во всех наших приложениях величины Т будут действительными или комплексными числами, векторами или тензорами заданного порядка. Нами будут рассматриваться отображения F , которые ставят в соответствие каждой точке X некоторого компактного подмножества пространства элемент 1( 3. Для обозначения таких функций мы будем использовать запись Т = Р (X), где Т — значение функции в точке X. Область есть область определения функции Р (X). Предполагается, что Р непрерывна на М, т. е. для каждой точки Хо принадлежащей Р (X) Р (Хо) при г (X, Хо) 0. Отсюда следует, что образ Р Ц) тоже компактен. Если при этом Р — взаимно однозначная функция, то существует Р 1 и Р называют тогда топологическим отображением или гомеоморфизмом. [c.43]

Символы g 0 gj, gi 0 g ,. . ., g 0 gj используются для обозначения тензорных произведений базисных векторов g и gi (г, / = 1, 2,. . . . . ., к). Каждое из множеств диад g 0 gj, gf 0 gi, gi 0 gj, gi 0 g служит базисом соответствующего f -мерного векторного пространства тензоров второго ранга. [c.59]

На основании общих физических представлений о поведении материала под нагрузкой его сопротивление деформированию определяется мгновенными условиями нагружения (температурой, скоростью деформации и другими ее производными в момент регистрации), а также структурой материала, сформированной в процессе предшествующего деформирования, который в п-мерном пространстве характеризуется траекторией точки, проекции радиуса-вектора которой — составляющие тензора напряжений (или деформаций) и время (начальная температура является параметром, характеризующим исходное состояние материала, и изменяется в соответствии с адиабатическим характером процесса деформирования). Специфической особенностью процессов импульсного нагружения является сложный характер нагружения (составляющие тензора напряжений меняются непропорционально единому параметру) и влияние времени. Невозможность экспериментального исследования материала при различных процессах нагружения (траекториях точки указанного выше л-мерного пространства) вынуждает исследователей использовать упрощенные модели механического поведения материала. Это обусловило развитие исследований по разработке теорий пластичности, учитывающих температурновременные эффекты [49, 213, 218] наряду с изучением физических процессов скоростной пластической деформации [5, 82, 175, 309]. Так, для первоначально изотропного материала исходя из гипотезы изотропного упрочнения связь тензоров напряжений и деформаций полностью определяется связью их инвариантов соответственно Ei, Ег, Ез и Ii, h, h- С учетом упругого характера связи средних напряжений и объемной деформации для металлических материалов (а следовательно, независимость от истории нагружения первых инвариантов тензоров напряжений и деформаций Ei, А) процесс нагружения определяется связью четырех оставшихся инвариантов и величины среднего давления. В классической теории пластичности [c.11]

Наряду с представленным здесь вариантом часто используется также 4-мериое описание, в к-ром временная координата (обычно с индексом 0) берётся действительной, но 4-мерному пространству приписывается гиперболич. сигнатура (-f-, —, —, —) в таком пространстве приходится различать ко- и контравариантные компоненты векторов и тензоров (см. Ковариантность и кантравариантность). [c.37]

При этом напряжённости поля должны преобразовываться как антисимметричный тензор в четырёхмерном пространстве, а определяемые выражения (17) величины -Си, именно (—Э), как четырёх-. > > —> —> мерный вектор, вместе с 1с(, и наконец, + [c.315]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...