Интегралы по вещественной переменной

Приведем интеграл (34.8а) к интегралу по вещественной оси. Для этого выполним замену переменных sin 9 = и. В результате формула (34.8а) запишется в виде [c.253]

Таким образом получена сумма интегралов от вещественных функций трех переменных, взятых по объему в трехмерном пространстве во втором из них значениям х, у, z должна быть отнесена система значений х°, у°, z°. [c.82]

Сущность методов вычисления интегралов, основанных на применении теоремы о вычетах, состоит в следующем. Пусть требуется вычислить интеграл от действительной функции fix.) по какому-либо (конечному или бесконечному) отрезку [я, Ь оси . Дополним отрезок некоторой кривой С, которая вместе с отрезком а, Ь] составит замкнутый контур С, ограничивающий некоторую область G, и возьмем некоторую вспомогательную функцию /(г), аналитическую в области G, кроме конечного числа особых точек, причем такую, чтобы на отрезке я, 1 значения вспомогательной функции были равны значениям интегрируемой функции вещественного переменного. К вспомогательной функции применим теорему [c.200]

Преобразуем сингулярный интеграл, содержащийся в правой части равенства (2.2), с помощью приема [1]. Проинтегрируем функцию ( - а) exp[(a - /г) )] комплексной переменной = X, ч- /т) по замкнутому контуру, состоящему из отрезка [О, а - р] вещественной оси, полуокружности радиуса р, с центром в точке а, лежащей при х > О в верхней полуплоскости, а при j < О - в нижней, отрезка [а р, / ] вещественной оси, четверти окружности радиуса R, с центром в начале координат, лежащей при х > О в верхней полуплоскости, при х < О - в нижней, и замыкающего контур отрезка мнимой оси. При таком выборе контура рассматриваемый интеграл будет равен нулю. Переходя к пределам р +0, R +°< п воспользовавшись леммой Жордана, найдем выражение для интеграла от рассматриваемой функции по вещественной полуоси Л, > О, понимаемого в смысле главного значения, не содержащее особенностей в подынтегральном выражении. Поскольку действительная часть этого интеграла совпадает с интегралом в правой части равенства (2.2), получим [c.80]

Можно показать, что на прямой. s = 1 /2 + is в плоскости комплексного переменного s знаменатель выражения для функции K (s, а) вида (7) не имеет нулей. В связи с этим примем в интеграле (5) с = 1/2 и перейдем к интегрированию по s (штрих далее опускаем). В результате формулы (5), (7) примут вещественный вид [c.199]

Подробные сведения о свойствах эллиптических функций можно найти в работах [29, 66-68]. Эллиптические функции зависят от переменной 2 и вещественного параметра (модуля) к, который удовлетворяет условию О /г 1. Дополнительный модуль к — (1 — к ) . Здесь мы перечислим основные свойства эллиптических функций зп г, к), сп х, к), 6т х, к) (или сокращенно 8п(2г), сп г), п х)) в действительной области переменной 2 . Эллиптические функции определяются как функции, обратные по отношению к интегралам, представленным в лежандровой нормальной форме [c.381]

Подчеркнем еще раз, что функции и D (и. следовательно, 0 ° и должны удовлетворять граничным условиям (3.21) или эквивалентным им дисперсионным соотношениям (4.10). (Естественно, речь идет здесь, как и в 9, о граничных условиях по переменной ( = Хд—л . ) Условие (3.21) можно сформулировать как условие периодичности по мнимой температуре и соответственно разлагать искомые функции в ряды Фурье [26], [27]. Нам представляется более удобным пользоваться непосредственно дисперсионными соотношениями (аналогичная методика используется в квантовой теории поля [19]). Это позволяет, разлагать искомые функции в интегралы (а не ряды) Фурье по частотам. Так делалось, например, в 9 при построении функций Грина из решений эффективного волнового уравнения. Иногда оказывается вообще достаточным определять из уравнений Дайсона только мнимую часть соответствующей функции Грина, восстанавливая затем вещественную часть непосредственно по дисперсионным соотношениям. Заметим в связи с этим, что, как мы видели в 4, именно мнимые части функций Грина и нужно знать для вычисления спектральных функций и всех связанных с ними характеристик системы. Поэтому в некото- [c.92]

Интегралы по вещественной переменной. Часто встречаются интегралы вида (11,1), в которых контур у представляет собой вещественную ось НИИ ее часть. Примером их служат интегралы Лапласа, где у — отрезок [а, Ь, а функция / принимает на зтом отрезке вещественные значения. Нас по-прежнему будет интересовать асимптотика интегралов при р - В сущности, мы имеем здесь вырожденный а>учай задачи, рассмотренной в п. 11.1 исходный контур интегрирования совпадает с путем быстрейшего спуска. Поэтому на интегралы Лапласа переносятся все полученные выше результаты. Для их вывода не требуется дефор мировать контур интегрирования в комплексной плоскости. Следовательно, можно отказаться от требования аналитичности функций, считая бунк-ции [ к Р бесконечно дифференцируемыми в окрестностях точек а, о к максимумов /(и>), и кусочно-непрерывными и ограниченными на интервале (а, Ь). Если ( к Р или их производные терпят разрыв в конечном числе точек а,-, / = 1то асимптотику интеграла легко получить, разбивая отрезок [а, Ь на интервалы (а, й]), (а аг),..., (а/, Ь) и суммируя известные асимптотики интегралов по этим интервалам. Так удается рассмотреть и а1учаи, в которых / достигает максимума в точке разрыва. [c.225]

Исследуем теперь подробнее смешения и поля, создаваемые акустическим источником [формулы (7.4) и (7.5)]. Обсудим интегрирование по переменной к. Интегралы по к, рассматриваемые как функции параметра р, регулярны всюду в правой полуплоскости комплексного переменного р. Удобно поэтому преобразовать интегралы, считая сначала р вещественным и полонгитель-ным числом. Рассмотрим сначала интеграл, входящий в Еу. [c.219]

Интегралы берутся по контуру Го, проходящему в плоскости комплексного переменного х через точку т=0 в направлении быстрейшего возрастания вещественной части функции ost. Так как.контур Го симметричен относительно точки т=0, то U и и суть нечетные функции osi O, терпящие разрыв при osfl =0. Если os =7 0 и X— оо, то функции и и и стремятся к нулю. [c.157]

Металлический круговой цилиндр -поляризация, ряд Ватсона. Члены рядов Релея в отдельности не удовлетворяют граничным условиям на поверхности цилиндра — это приводит к ленной сходимости рядов при больших ка. Существует способ преобразования рядов Релея—преобразование Ватсона, в результате которого получаются другие ряды, удобные для анализа именно при больших ка. Преобразование Ватсона состоит в том, что ряд (5.10) рассматривается как сумма вычетов некоторого интеграла, взятого в плоскости комплексной переменной V по петле, окружающей вещественную полуось, от функции, отличающейся от величины, стоящей под знаком суммы в (5.10), заменой индекса суммирования т на переменную V и дополнительным множителем l/siпvя. Такое представление суммы интегралом возможно, так как интеграл имеет полюса именно при целочисленных V = т. Затем производится деформация контура в плоскость V в петлю, окружающую все полюса, расположенные в первом квадранте. Для -поляризации эти полюса — нули знаменателя Ат, рассматриваемого как функция индекса [c.47]

Однако следует учитывать, что аналитическая гамильтонова система может иметь интегралы класса С", но не иметь интегралов из класса " + (мы не исключаем значение г = 0 neripe-рывную функцию назовем интегралом, если она локально непостоянна и принимает постоянные значения на каждой траектории). Покажем это на примере неавтономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы с функцией Г амильтона Н = ау + -j- f x,t), где а — вещественный параметр, / — аналитическая 2тг-периодическая функция переменных х и t. Так как Н периодична по X и i, то естественно принять прямое произведение IR х = [у X, t mod 2тг в качестве расширенного фазового пространства. [c.64]

Условия отсутствия полного набора инволютивных интегралов многомерных гамильтоновых систем указаны С. В. Болотиным [28]. Рассмотрим неавтономную гамильтонову систему с аналитическим гамильтонианом Я = Но г) + Н1 г,Ь) + о ), периодическим по времени. Здесь 2 = (х,у) — набор 2п симплектических переменных. Предполагается, что невозмущенная система имеет два гиперболических положения равновесия с различными вещественными собственными значениями, а также, что точки соединены двоякоасимптотическим решением t — Zo(t), I е Е. [c.264]

В таком интеграле путь интегрирования в плоскости комплексной переменной г проходит под точкой г = 6 при б— -О это эквивалентно интегрированию вдоль вещественной оси с обходом полюса 2 = 0 по бесконечно малой полуокружности снизу. Вклад в интеграл от этого обхода определяется полувычетом подынтегрального выражения, и в результате получим [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...