Точечные преобразования и предельные циклы

Точечные преобразования и предельные циклы [c.328]

ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 329 [c.329]

Тот же самый вид имеют и формулы точечного преобразования луча Х= 1, >0 в луч -1, < О, ибо фазовые траектории на листе (II) симметричны траекториям на листе (I) относительно начала координат. Поэтому и предельный цикл (если он существует) будет симметричным, а соответствующая ему неподвижная точка 5 определится из условия 5 =5,=5. Формулы (6.29) при = 5 дают единственную непод- [c.163]

Будем считать, что коэффициенты и Ц выбраны так, что в системе возможен автоколебательный процесс. Обычно для того, чтобы установить возможность суи],ествования устойчивого предельного цикла пользуются методом точечных преобразований. Допустим, что началу переходного процесса соответствует точ- [c.126]

Для выяснения устойчивости найденного предельного цикла построим на единой диаграмме кривые г = г ( ) и = г 1 ( ) (если по оси ординат откладывать не г и г 1, а и г ,, то мы получим две прямые, изображенные на рис. 147). Точка их пересечения является неподвижной точкой точечного преобразования. Зада- /и =г11 Г)Ц-1) димся любым V (на рис. 147 для определенности взято г г ) по прямой (3.43а) определим и затем по прямой (3.436) определим по как по новой, исходной точке преобразования найдем и и т. д. Построенная лестница Ламерея сходится к неподвижной точке в силу того обстоятельства, что прямая г/ = [c.221]

Как мы видели, этот предельный цикл может лежать только целиком в области 2 0. Поэтому необходимым и достаточным условием его существования является существование неподвижной точки 5 0 рассматриваемого точечного преобразования полупрямой 8 = 82, г 0 самой в себя, осуществляемого траекториями системы (7.4), [c.493]

Очевидно, задача отыскания предельных циклов, проходящих по всем трем областям (т. е. через области (/), (II), (III) и (II)), сводится к нахождению неподвижных точек этого полного точечного преобразования П, т, е. к решению системы (обычно трансцендентных) уравнений [c.506]

Рассмотрим фазовую траекторию, выходящую из некоторой точки 5 полупрямой 5. Эта траектория, пройдя по области (/), пересечет полупрямую в точке 5 и затем, если т. е. если фазовые траектории в области (//) являются спиралями, вновь выйдет на полупрямую 5 в некоторой точке (рис. 350). Тем самым фазовые траектории при 0< Й2< 1 осуществляют точечное преобразование полупрямой 5 самой в себя, ставя во взаимно-однозначное и непрерывное соответствие точки 5 и 51 этой полупрямой. Неподвижная точка этого преобразования, очевидно, является точкой пересечения предельного цикла с полупрямой 5. [c.509]

Для отыскания этого предельного цикла сведем задачу к точечному преобразованию. Так как предельный цикл является симметричным ), должен охватывать состояние равновесия (О, 0) и в то же время не может лежать целиком в области (/), то он должен проходить во всех трех областях линейности, пересекая, в частности, прямые дг = -)-1 х = —1. Исходя из этого, возьмем в качестве отрезка без контакта полупрямую х = у = К—1+5 (где я]>0), через точки которой происходит переход фазовых траекторий из области (Ш) в область (/), и найдем точечное преобразование П этой полупрямой самой в себя, осуществляемое траекториями системы (8.30). Так же как и в 3, преобразование [c.543]

Итак, точечное преобразование П полупрямой 5 в полупрямую имеет единственную и притом устойчивую неподвижную точку (5 = 51 = 5, 5 = ). Соответственно, на фазовой плоскости имеется единственный (симметричный и устойчивый) предельный цикл, к которому стремятся при все фазовые траектории (рис. 389),— в схеме при 1 и при любых начальных условиях устанавливаются автоколебания ). [c.550]

Подробное рассмотрение показывает, что и в этом случае существует устойчивое периодическое движение, состоящее из двух движений с конечной скоростью и двух скачков и устанавливающееся при любых начальных условиях (это утверждение может быть доказано, например, путем построения и исследования соответствующего точечного преобразования). Эти движения представляющей точки по предельному циклу и отображают разрывные автоколебания в мультивибраторе. Амплитуда этих колебаний может быть определена сразу именно, изменения переменного х происходят в пределах от х. до —Xj, т. е. амплитуда автоколебаний переменного х равна х.2 = = 2k — 1 (тогда амплитуда колебаний напряжения и на сетке лампы Л, Ui) = (2k—1) о)- Что же касается периода автоколебаний, то его можно определить, взяв интеграл по t вдоль участков предельного цикла, по которым происходит медленное движение изображающей точки. [c.816]

Для исследования границ притяжения и устойчивости предельных циклов А. А. Андронов предложил в теории нелинейных колебаний метод точечных преобразований. Этот метод особенно удобно применять, если системы содержат элементы с кусочно-линейными [c.158]

Рассмотрение нескольких задач об автоколебаниях кусочно-линейных систем при помощи метода точечных преобразований было уже проведено в 4—6 гл. III. В этих задачах нахождение предельных циклов и исследование их устойчивости сводились к построению некоторого точечного преобразования полупрямой самой в себя (к вычислению соответствующей функции последования), к отысканию неподвижных точек полученного точечного преобразования и исследованию их устойчивости, причем во всех рассмотренных задачах мы [c.504]

Качественное исследование системы (П.22) состоит в изучении основных элементе фазового портрета - особых точек, сепаратрис и предельных циклов. Но замкнутые фазовы траектории (в частности, предельные циклы) на фазовом цилиндре могут быть двух типов охватывающие и не охватывающие цилиндр. Для изучения замкнутых траекторий второ типа пригодны все методы и результаты, изложенные выше для систем на фазовой плоскости Отыскание предельных циклов, охватывающих цилиндр, можно проводить с помощь точечного преобразования какой-либо образующей цилиндра 0 = бц в себя. Если через точки некоторого отрезка образующей 0 = Оц проходят фазовые траектории, охватывающие цилиндр (рис. П. 9), то эти точки имеют последующие на том же отрезке, и можно пытаться построить функцию последования у = / у) данного точечного преобразования. (Как и в случае фазовой плоскости, вычисление функции последования наиболее просто Щ)оводигся для кусочно-линейных систем.) Неподвижные точки у, определяемые уравнением у = / у), являются точками пересечения [c.337]

Следовательно, при любом движении балансира в последовательности его скоростей V, Юх, г, , г з,. .. в моменты смены контактирующей палетты каждая последующая скорость определяется предыдущей найденной функцией последования. Это дает возможность проследить за ходом любой выбранной фазовой траектории. Неподвижная точка V точечного преобразования, т. е. точка, для которой г) = г = гi, очевидно, соответствует симметричному предельному циклу, являясь точками пересечения этого предельного цикла с полупрямыми (г ) и V ). Для неподвижной точки имеем [c.220]

Соотношения (3.51 а) и (3.51 б) являются функцией последования для рассматриваемого точечного преобразования, записанной опять в параметрической форме функция последования для точечного преобразования полупрямой (г ) в полупрямую (г>), осуществляемого фазовыми траекториями на листе (II), имеет тот же вид в силу указанной выше симметрии фазовых траекторий на листах (/) и (11). Эта функция последования определяет в последовательности точек пересечения любой выбранной фазовой траектории с полупрямыми (г ) и (г ) (в последовательности V, , г 2,. ..) каждую последующую точку по предыдущей. Неподвижная точка преобразования г (для нее г = г , = ) Соответствует симметричному предельному циклу (рис. 151). [c.225]

Как мы видели в гл. III, 3 —5, один из способов нахождения предельных циклов и определения их устойчивости состоит в сведении задачи к некоторому точечному преобразованию, к вычислению соответствующей так называемой функции последования. [c.328]

Условие устойчивости неподвижной точки я точечного преобразования, выражаемого функцией последования 5==/(5), а следовательно, и условие устойчивости соответствующего предельного цикла дается теоремой Кенигса [168, 169] ) [c.333]

Отыскание самих предельных циклов, охватывающих цилиндр, определение их числа и устойчивости могут быть проведены путем построения точечного преобразования какой-либо образующей цилиндра 8 = 8о самой в себя. Если через точки некоторого отрезка ( ) образующей 8 = 8о проходят фазовые траектории, охватывающие цилиндр (рис. 320), то эти точки имеют последующие на том же отрезке, и мы можем построить функцию последования [c.482]

Точечное преобразование. Предельные циклы, если они существуют, должны охватывать начало координат (единственное состояние равновесия) и, с другой стороны, не могут лежать целиком в области (/) (или в области (//)). Следовательно, они обязательно будут пересекать прямую у = Ь и, в частности, выделенную нами полупрямую 5. Поэтому для отыскания предельных циклов уравнения (8.26) нам достаточно рассмотреть точечное преобразование полупрямой 5 самой в себя, осуществляемое траекториями этого уравнения (с функцией последования я1=/( ) (см. рис. 370). Обозначим это преобразование через П. Назовем также преобразованием П1 переход изображающей точки из точки (—5, Ь) полупрямой 5 по соответствующей траектории в области (/) в точку (я, Ь) полупрямой 5 и преобразованием Пз — переход из точки (я, Ь) по траектории в области II) обратно на полупрямую 5 (в точку (—Я1, Ь) рис. 370). Тогда, очевидно, полное преобразование [c.531]

Строгое доказательство существования предельного цикла и стремления к нему всех остальных траекторий может быть сделано, например, для кусочно-линейной характеристики ламповой группы путем построения и исследования точечного преобразования прямой и =-[-м в прямую = — осучнествляемого траекториями системы, [c.824]

Однако этот предельный цикл неустойчив, в чем можно убедиться, в частности, с помош,ыо построения Кенигса — Ламерея. То же построение позволит обнаружить и странный аттрактор в рассматриваемой системе. Для этой цели будем исходить из точечного преобразования [c.239]

Излагаемый материал разбит на три части. Сначала даны основные оп ределения метода, затем получены условия устойчивости предельного цикл и в заключение показано, как можно изучать автоколебательные систем с помощью метода точечных преобразований. Метод излагается прим нительно к системам второго пордцка. Для более общих систем разверн изложение метода см. в работе [19]. [c.148]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...