ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Версальные деформации и бифуркационные диаграммы из "Динамические системы - 8 " Глава 5. Деформации вещественных особениостей и локальные лаку ны Петровского. [c.8] В первом томе настоящего обзора [22] мы познакомили читателя с основными понятиями и методами теории особенностей гладких отображений и функций. Эта теория имеет многочисленные приложения в математике и физике, здесь мы приступаем к-описанию этих приложений. При этом настоящий том по существу не зависим от предыдущего все используемые понятия теории особенностей вводятся по ходу изложения, а ссылки на [22] в основном исчерпываются цитированием технических -результатов. [c.8] Хотя основной нашей задачей было единое изложение уже сформировавшейся теории, читатель встретит в томе и совсем недавние результаты, по-видимому, не нзБвстные еще даже специалистам. Отметим некоторые из этих результатов. [c.8] В главе 2 мы разбираем, следуя В. И. Бахтину, топологию четырех вариантов многообразия Максвелла особенности As, описываем типичные перестройки функций максимума при изменении одного параметра из четырех и применяем этот анализ к исследованию перестроек ударных волн, распространяющихся в трехмерном пространстве (следуя И. А. Богаевскому) здесь же приведена формула А. А. Вакуленко se -[-tg для числа компонент пространства функций Морса на прямой и его же формулы для числа компонент дополнений к стратам Максвелла. [c.9] Исторически первым результатом, основанным на теории монодромии, является теорема Ньютона о неинтегрируемости плоских овалов в 4.1 мы доказываем многомерные обобщения этой теоремы и приводим несколько новых формул Пикара—Лефшеца, естественно возникающих в этой задаче. 4.2 посвящен теории лакун Петровского, изучающей регулярнбсть фундаментальных решений гиперболических уравнений в частных производных вблизи волновых фронтов. Помимо прочего, здесь мы доказываем обращение локального критерия Петровского для гиперболических операторов общего положения. [c.9] В главе 5 мы перечисляем локальные лакуны (области регулярности) для многих табличных особенностей волновых фронтов, в том числе для всех простых и всех особенностей коранга 2 с числом Милнора, не превышающим 11. Значительная часть этих лакун была найдена с помощью машинного алгоритма, перечисляющего все неособые морсификацин сложных вещественных особенностей в 5.3 мы даем описание этого алгоритма. [c.9] Глава 1 написана В. В. Горюновым, главы 2 и 3, кроме 3.5, написаны В. И. Арнольдом, главы 4 и 5 — В. А . Васильевым. 3.5 написал Б. 3. Шапиро. Авторы приносят ему свою искреннюю благодарность. [c.10] В настоящей главе рассматриваются классификации относительно наиболее часто встречающихся и естественно возникающих групп эквивалентности. При этом основное внимание уделяется простым особенностям, а также топологии неособого слоя отображения и геометрии бифуркационных диаграмм. Многие свойства, на которых мы останавливаемся, аналогичны приведенным в [22] свойствам функций с изолированными критическими точками. Чтобы сделать изложение по возможности не зависимым от [22], мы в соответствующих местах напоминаем определения и конструкции, вводившиеся в [22] для изолированных особенностей функций и переносящиеся иа те особенности, к которым мы обращаемся в этой главе. [c.10] Вне нашего рассмотрения остался такой важный раздел теории особениостей, как эквивариантные отображения. Им предполагается посвятить отдельную статью в одном из последующих томов серии. [c.10] Многообразие с краем — это гладкое (вещественное или комплексное) многообразие. с фиксированной гиперповерхностью. Две функции на многообразии с краем считаются эквивалентными, если одна переходит в другую при диффеоморфизме многообразия, переводящем край в себя. Классификация функций на многообразии с краем тесно связана с группами Ли Bh, ft, 4, Gz, и группами Кокстера Яз, h p), диаграммы Дынкина которых имеют кратные ребра [112]. а связь аналогична связи, наблюдающейся между группами Л , л, Ек и особенностями функций на гладких многообразиях без рая [22, 2.5]. [c.10] Этот список приведен с точностью до стабильной эквивалентности (две функции различного числа переменных считаются стабильно эквивалентными, если они становятся эквивалентными после сложения с невырожденными квадратичными формами от дополнительных переменных). [c.11] Рассмотрим многообразие с гладким краем. Локально это росток в нуле пары (К , Я ) или (С , С ). [c.11] Под эквивалентностью функций разного числа переменных здесь понимается стабильная эквивалентность на многообразии с краем. [c.11] Замечание. Множество непростых функций имеет в пространстве функций, принимающих в точке 06R значение О, коразмерность п- -3. [c.11] Как показали более поздние исследования, приведенный список целиком или частично встречается во многих других-классификационных задачах. Это разбираемые в 3 проектирования на прямую и отображения плоскости в трехмерное пространство, а также линейные особенности из 4. [c.12] Напомним, что модальностью точки многообразия, на котором действует группа Ли, называется наименьшее из чисел т,. таких что любая достаточно малая окрестность этой точки пересекается лишь с конечным числом т-параметрических семейств орбит действия группы. Так, точки модальности О — этО в точности простые. Точки модальности 1 и 2 называются соответственно уни- и бимодальными. [c.12] Легко видеть, что классификация функций на многообразии с гладким краем л =0, не имеющих критических точек на объемлющем пространстве, эквивалентна классификации их ограничений на край. Нормальные формы таких функций получаются Добавлением функции х к нормальной форме ограничения (ср. особенности Вх я в абсолк)тном и краевом вариантах). Поэтому по сравнению с главой 1 [22], существенно новым моментом в классификации краевых особенностей является лишь классификация функций, имеющих критическую точку на объемлющем многообразии. С точностью до стабильной эквивалентности такие функции модальности 1 исчерпываются следующими двумя списками (о числе ц — в п. 1.2) [7], [77], [75]. [c.12] Унимодальные краевые особенности коранга 2. [c.12] Унимодальные краевые особенности коранга 3. [c.13] Вернуться к основной статье