Общее решение с помощью разделения переменных

Всюду (за исключением разд. 13 и 14) будет использоваться метод разделения переменных, уже описанный в общих чертах в разд. 6—8 гл. IV. На первом шаге этого метода строится полная система решений с разделенными переменными ( элементарных решений ) и общее решение представляется линейной комбинацией найденных элементарных решений. На втором шаге при помощи граничных и начальных условий определяются коэффициенты, входящие в эту комбинацию. [c.320]

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ [c.84]

Мы подробно рассмотрим метод разделения переменных, кратко изложенный в 7 гл. 6. При решении задачи этим методом надо, во-первых, найти полный набор решений уравнений с разделенными переменными (элементарных решений) и затем представить общее решение в виде суперпозиции этих решений и, во-вторых, с помощью граничных и начальных условий найти коэффициенты в общем решении. В то время как первую проблему для модельных уравнений, которые обсуждались в гл. 6, можнО решить, вторую можно точно решить лишь в некоторых случаях. Тем не менее метод полезен даже тогда, когда вторая проблема неразрешима или только приближенно разрешима, потому чтО он дает возможность получить решение в аналитическом виде [c.172]

Уравнение Буссинеска нелинейно и строгое его решение получить в общем случае не удается. Самому Буссинеску удало ь найти с помощью метода разделения переменных лишь одно автомодельное решение уравнения (3.12). [c.617]

Особыми аналитическими приемами, позволившими найти разделение переменных для ряда задач динамики твердого тела, включая неголономные системы, в совершенстве владел С. А. Чаплыгин. Известные работы С. В. Ковалевской [86, 87] также до сих пор остаются образцом непревзойденного аналитического мастерства. В двадцатом столетии техника точного интегрирования нахождения разделяющих преобразований была частично утеряна, а ее место заняла общая процедура интегрирования с помощью методов обратной задачи рассеяния и нахождений представлений Лакса. В этом подходе считается, что задача является решенной, если предъявлено коммутационное представление Лакса (см. [31]) со спектральным параметром, позволяющим в принципе получить общее решение в тэта-функциях. С точки зрения алгебраической геометрии здесь идет речь о возможной линеаризации потока на многообразиях Прима (Якоби) и, исходя из анализа полюсных разложений дивизоров), делается вывод о возможности представления решения в функциях Римана, Бейкера - Ахиезера и пр. [c.83]

Решение в экспоненциальных функциях. Как уже говорилось выше, решения могут быть получены путем разделения переменных и последующего построения аналитического решения. Так, можно взять функццю р как произведение неизвестной функции QT Z на экспоненциальную функцию от х или на функцию, которая может быть представлена с помощью эксцоненци-альной функции, такую, как тригонометрическая или гиперболическая функции,, так как производные от всех этих функций имеют ту же общую форму, что и исходная ( кция. Неизвестная функция от Z-Может быть, затем найдена путем решения обыкновенного дифференциального уравнения, jtoTopoe получается после сокращения на функцию от х. [c.154]

Эллиптические цилиндры. Разделение переменных с помощью функций Матье впервые было выполнено Зигером (1908) и Айчи (1908). Из-за дополнительного параметра окончательные уравнения значительно сложнее, чем уравнения для кругового цилиндра, хотя их общая структура та же. Так же, как для шаров и круговых цилиндров, решение имеет вид ряда с бесконечным числом коэффициентов. Для полностью отражающих эллипсоидальных цилиндров произвольного размера и для излучения, падающего в направлении, перпендикулярном оси цилиндра иа плоскую сторону , т. с. перпендикулярно большой оси образующего эллипса, оно было получено в статье Эпштейна. Числовой результат дан для предельного случая плоской полосы с цшриной много меньше А. С тех пор численные расчеты для плоской полосы были значительно расширены (разд. 16.23). Задача, рассмотренная Синклером (1951), а именно вывод диаграмм антенн, помещенных вблизи цилиндров эллиптического поперечного сечения, эквивалентна задаче нахождения полей на таких цилиндрах, обусловленных падающей плоской волной. [c.383]

Заметим, однако, что, хотя эти методы в своей основной форме довольно ограничены по типу граничных условий задачи, при известной модификации их можно применять и к более общим задачам. Рассмотрим сначала случай прямоугольной области с граничным условием Дирихле = f x,y), где всюду f ф 0. Введем вспомогательную функцию я] , которая определяется как точное решение уравнения с граничными условиями я] = О на всей границе. Затем введем вторую вспомогательную функцию i] , которая определяется как точное решение конечно-разностного уравнения Лапласа = О с граничным условием я] = f x,y). Точное решение получается при помощи метода разделения переменных, разработанного для дифференциальных уравнений в частных производных (см., например, Вейнбергер [1965]) и применяемого к конечноразностному уравнению. (Необходимые разложения по собственным функциям уже известны из разложения, которое требуется при решении уравнения Пуассона.) Тогда в силу линейности задачи окончательное решение получается суперпозицией. Поскольку у2я з> = и У я] " = О, имеем у2(я15 + я] ) = и, поскольку на границах ф == О и я " = f (х, (/), имеем я15 + я15 = = f(x,y). Поэтому функция я15 = я]з я удовлетворяет уравнению у2я з = и граничному условию я] = f(x,y). [c.205]

В работах [39Ь, 40а] решения задач термоупругости строятся с помощью функций напряжений Галёркина. Функции напряжений в случае плоской задачи рассмотрены в работе [39а], где было показано, что для уравнений термоупругости, выраженных в напряжениях, напряжения аи, 022 и температура 0 могут быть определены через три функции напряжений Фг, /=1, 2, 3, для которых получены раздельные уравнения. В случае общей задачи сопряженной термоупругости проблеме разделения уравнений посвящена работа [31], где для переменной Q, введенной по формуле Q = Q — Ь опк, й = соп5 получено отдельное уравнение вида [c.238]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...