ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Неприводимые представления пространственных групп из "Теория твёрдого тела " Ответом на этот вопрос является классификация собственных значений, похожая на классификацию состояний в свободном атоме на 5-, р-, й-,. ..-состояния. [c.115] Такая постановка вопроса аналогична вопросу о том, будет ли у атомной системы заданной симметрии сниматься вырождение при включении возмущения более низкой симметрии или останется прежним. [c.115] Для ответа на эти вопросы требуются некоторые сведения из теории групп, специально о неприводимых представлениях конечных групп. Мы рассмотрим методы теории групп и их применения в физике твердого тела в Приложении Б. В этом параграфе мы приведем только краткое резюме представлений, наиболее важных для теории зонных моделей. Для более глубокого обсуждения ср. Приложение Б и приведенные в литературе работы [84—88]. [c.115] С такими представлениями мы уже встречались в 18. Представление трансляционной группы там создавалось с помощью базиса из I вырожденных ортогональных собственных функций Мы видели, что с помощью преобразования базисных функций получаются новые эквивалентные представления. Среди них было отмечено одно представление, у которого все матрицы содержали только диагональные элементы. [c.116] Все матричные элементы, кроме блоков расположенных по диагонали, должны быть нулями, В этом случае матрицы сами по себе образуют также представления группы. Говорят О разлагается в прямую сумму О = D фD 0D 0. .. представлений меньшей размерности. которые дальше не могут быть разложены, образуют неприводимые представления группы. [c.116] Следовательно, для вопросов, поставленных в начале этого параграфа, важно знать неприводимые представления группы свойств симметрии, которые относятся к состоянию Е (к) при заданном Л. Для этого нам потребуется ввести еше два понятия. [c.117] Под классом будем понимать все элементы А группы, которые получаются из элемента А с помощью произведения А =Х А Х. При этом X должно пробегать все элементы группы. Можно показать, что всякая группа может быть однозначно разложена на классы. [c.117] НИЯ всех характеров всех неприводимых представлений и для определения свойств симметрии базисных функций, соответствующих неприводимому представлению. Теперь, в принципе, могут быть получены ответы на все вопросы, поставленные в начале этого параграфа. [c.118] Обратимся теперь к неприводимым представлениям пространственной группы. Ограничимся, однако, при этом только самыми главными фактами, которые понадобятся для общих утверждений. [c.118] В качестве примера назовем а) для произвольной точки в зоне Бриллюэна группа вектора к содержит только примитивные трансляции б) для Л = 0 группа к инвариантна по отношению ко всем а 0 и является полной пространственной группой. [c.119] Группа вектора к всегда является подгруппой пространственной группы. К векторам звезды k тогда будут относиться другие элементы пространственной группы, которые получаются из подгруппы применением вращения р,-. [c.119] Тем самым, матрицы (26.10) удовлетворяют тем же правилам перемножения, как и сама пространственная группа. Неприводимость представления следует из предположения о неприводимости D(P). Для Л-векторов на поверхности зоны Бриллюэна (Af 5ii=0) выражение (26.11) можно доказать, только если пространственная группа симморфна, т. е. не содержит непримитивных трансляций. Именно тогда Л-/ , =р- (Л-(-= Л-р/г, +=Л-р/ ,+ целое кратное 2л. [c.119] Для несимморфных групп возникают трудности, которые выходят за рамки настоящего рассмотрения. По этому и другим вопросам данного параграфа см. Костер [57.5]. [c.119] В твердом теле представления зонной структуры обозначаются символами (например, Г Л,,. .,). Буквы при этом обозначают группу вектора к (см. рис. 28 и 37), индексы обозначают соответственные неприводимые представления. Уже сами эти символы дают обширную ин( юрмацию о симметрии и вырождении волновых функций данного собственного значения. [c.120] Поясним это на примере гексагональной точечной решетки, которую мы уже использовали в качестве примера на рис. 17, 20, 21, 23 и 24. Теперь можно ответить на следуюшлй вопрос. На рис. 24 мы сравнили между собой зонные структуры гексагональной точечной решетки для свободных и почти свободных электронов. При этом мы нашли, что для случая свободных электронов потенциал решетки приводит к снятию вырождения. [c.120] Пространственная группа плоской гексагональной точечной решетки состоит из примитивных трансляций Е 10, + 20, , оба а, определены на рис. 17. К ним добавляются двенадцать операций точечной группы (обозначаемой С, ), при которых шестиугольник остается инвариантным. Непримитивные трансляции отсутствуют. Пространственная группа, следовательно, симморфна а / = = а 10 ]/ . [c.120] Все это составляет двенадцать операций. Так как пространственная группа симморфна, то мы должны интересоваться только неприводимыми представлениями точечной группы а 0 . Трансляции дают зону Бриллюэна, форму которой мы уже знаем. Точечная группа имеет шесть классов и, следовательно, шесть неприводимых представлений. [c.121] Группа Л-вектора для центральной точки зоны Бриллюэна Г (Л = 0) есть полная пространственная группа. Соответствующая ей точечная группа имеет представления от до которые мы теперь обозначим от Г, до Г,. Термы Е (Г) будут классифицироваться этими возможными типами симметрии. Уровни от Г, до Г — невырожденные, Г5 и Г, —дважды вырожденные. [c.121] Т к Т М Z г Рис. 41. Классификация по симметрии зон свободных электронов в гексагональной точечной решетке. [c.122] Вернуться к основной статье