Группа (ft) канонического вектора

При составлении второй группы канонических уравнений следует учитывать зависимость векторов п п от углов ф и [c.510]

Рассмотрим звезду к. Для канонического вектора к звезды определяется группа к). Затем методом проективных представлений или методом малой группы находится полный набор допустимых неэквивалентных неприводимых представлений (т) группы . Из каждого отдельного представления методом индуцирования, выражаемым равенством (36.14), получается отдельное неприводимое представление )( полной пространственной группы . [c.121]

Выполнение расчета методом полной группы включает построение по формулам (37.3) или (49.3) набора таблиц характеров полной группы. Это предполагает, что выполнено приведение в каждой группе к) канонического вектора к каждой звезды. После того как построены таблицы и выполнено разложение, мы получим все неприводимые представления, содержащиеся в прямом произведении 0 < > В общем случае конечный результат содержит полные представления, относящиеся к нескольким разным звездам. [c.168]

Резюмируя, видим, что мы исследуем представление для которого, как обычно, некоторый волновой вектор к выбран в качестве канонического вектора. Индекс ст представителя смежного класса фиксирован, как это указано в (36.2). Индекс р произволен и пробегает значения, соответствующие любым представителям смежных классов в группе Тогда для фиксированного к и соответствующего набора ст вклад в сумму в [c.253]

Обозначая канонический вектор через Х, имеем следующий набор операций поворота, играющих роль представителей смежных классов в группе (Xi), т. е. 0 [c.112]

В соответствии с результатами т. 1, 104, мы начнем обсуждение симметрии фононов с построения колебательного, или Д-представления, порождаемого смещениями (описываемыми в декартовых координатах) каждого из атомов кристалла. Затем мы осуществим приведение этого представления и определим тем самым типы фононов, т. е. содержащиеся в нем неприводимые (физические неприводимые) представления. Мы рассмотрим примеры вычислений типов симметрии нормальных колебаний для звезд Г, Х и L в случаях каменной соли и алмаза. Вначале исследуется группа канонического волнового вектора звезды, например (Г), (Xi), (Li), а затем строится полное представление. [c.149]

Каноническими параметрами, например евклидовой группы, называются параметрические представления твердых движений при помощи векторов, так что движение твердого тела, которому соответствует вектор t = ( ь . 4), представляет собой конечное преобразование [c.222]

Х, примененное к каноническому волновому вектору к, дает независимый волновой вектор. В этом случае звезда к имеет столько лучей, сколько преобразований поворота в группе 5Р, поэтому 5 = др, к называется звездой общего типа . Во втором случае, когда < др, звезду к называют звездой специального типа он будет рассмотрен в следующих параграфах. [c.99]

Полезно резюмировать рассуждения двух последних параграфов. Для нахождения допустимых неприводимых представлений /Х ) " ), соответствующих каноническому волновому вектору к (которые будут затем использованы для построения индуцированных неприводимых представлений группы ), была построена абстрактная группа П(й). Однако при рассмотрении П(й) как некоторой абстрактной группы возникают как допустимые представления запрещенные представления 0 И. Было показано, что последние, являясь неприводимыми представлениями абстрактной группы операторов [c.105]

Напомним, что, согласно теории Шура, расширение наименьшего порядка ip (fe) абелевой группы А с помощью группы SP является накрывающей группой, если полный набор неприводимых, не ассоциированных и не р-эквивалентных проективных представлений группы Sp можно получить путем ограничения всех векторных представлений D группы SP (fe). По этой терминологии группа n(fe) представляет собой достаточно расширенную группу . Ее неприводимые векторные представления при ограничении включают в себя все неприводимые проективные представления группы SP(fe), однако эти представления входят более одного раза, с различными, но ассоциированными системами факторов. Это и понятно, так как переход от канонического волнового вектора k представления к какому-либо другому вектору, входящему в набор векторов, полученных из вектора к, соответствует просто калибровочному преобразованию с системой факторов вида ехр — i p — р ) к (к), равных по модулю единице. [c.115]

Вообще говоря, векторы к и й, не являются каноническими волновыми векторами своих звезд в слу е, когда вектор к" является таким вектором.) Рассмотрим далее всю совокупность независимых векторов ка и ка> сумма которых приводит к за-ланному к . Эти векторы можно получить, действуя на данный вектор кд из (62.1) всеми поворотами из группы к"). Тогда [c.162]

Рассмотрим теперь выбирая 11 в качестве канонического волнового вектора. Поворотные элементы, оставляющие Х инвариантным, перечислены в (9.21). Здесь имеются существенные различия между 0 и 01, обусловленные наличием нетривиальной трансляции Ть Пожалуй, наиболее удобно продолжить изложение, сопоставляя структуру группы (Х1)/5 (Х1) для Он Он и используя для этого абстрактный метод образующих элементов и соотношений [70]. Напомним, что группа [c.131]

Таким образом, дополнительное вырождение отсутствует. Для W мы рассматриваем представление )( > ) ( j). Канонический волновой вектор li i = (2я, О,—я) (1/а). Характеры этого представления можно найти в табл. 33. Обратим внимание на тот факт, что характеры для классов Сз, С4, Сд, .С12 комплексны. В этом случае, однако, мы должны использовать правило (17.3). Для наших целей нет необходимости применять всю таблицу, достаточно проверить условие (17.3) для одного элемента, в качестве которого мы выберем ф = 042. Выбор этого элемента позволяет проверить поведение комплексных характеров 0 ) и 0 ). Элемент пространственной группы I 0 обладает свойством [c.140]

Обратимся теперь к случаю звезды Х в алмазе. В 14 [см. (14.23)] мы выбрали в качестве канонического волнового вектора. Но для сравнения с таблицами Ковалева более удобно выбрать в качестве такового вектор ЛСз(0, О, 2я/а). Технику, используемую в этом приложении, легко преобразовать к прежнему виду, построив соответствующую сопряженную подгруппу (см. табл. 2 в работе [23]). При построении представлений полной группы не имеет значения, какой из векторов звезды выбран в качестве канонического в этом можно убедиться, если индуцировать представления с помощью приводимых [c.291]

Пусть теперь 0=50(3)—группа поворотов вокруг некоторой точки о. Дуальное пространство =( о(3)) можно канонически отождествить с алгеброй векторов трехмерного ориентированного евклидова пространства, в которой коммутатор задается обычным векторным произведением. Тогда, очевидно, /во(З), будет соответствовать кинетическому моменту системы относительно точки о. Д [c.94]

Следующий шаг нашей программы — определение пространственной группы каждого из канонических волновых векторов к. Поскольку группа 0 симморфна, ясно, что все ее подгруппы, являющиеся частными группами волновых векторов к), также симморфны. Следовательно, в каждом случае фактор-группа любого к [c.105]

Для иллюстрации рассмотрим для рещетки каменной соли [66, 67] вычисление системы характеров неприводимых представлений полной группы, соответствующей звездам Г, Х, Ь. Благодаря особым свойствам правил отбора для этих звезд оказывается возможным изучить целый ряд процессов, используя только эти системы характеров. Для изучения оптических процессов, связанных с другими звездами, канонические векторы которых перечислены в табл. 3, нам понадобятся при вычислении различных матричных элементов также полные матрицы этих неприводимых представлений. Для таких случаев мы представим результаты в форме таблиц правил отбора. [c.106]

Сравнивая (44.12) с (43.6), видим, что это соотношение действительно определяет каноническую калибровку, требуемую для проективных представлений группы Поэтому допустимые неприводимые представления группы П(й) являются проек-тивными представлениями группы 5(5, имеющими требуемую каноническую калибровку, соответствующую волновому вектору к. [c.114]

Таким методом можно получить все неприводимые представления симморфной группы для заданной звезды и выбранного канонического волнового вектора этой звезды. Соответственно определяются неприводимые векторные пространства [c.119]

ПО отношению к полной пространственной группе , а также гомоморфизм остальных представлений, входящих в соотношение приведения Достоинство этого метода (в случаях, когда возможно его применение) состоит в том, что он допускает проверку коэффициентов с помощью соотношения ортонормированности. Как и в случае более пр0С10Г0 метода малой группы, состоящего в определении неприводимых представлений группы (3 к) по неприводимым представлениям группы П(Л), оказывается, что метод группы приведения полезен в случае звезд высокой симметрии, т. е. канонических волновых векторов высокой симметрии. [c.152]

В дальнейшем при изучении задачи квантования обобщенной цепочки Тода потребуются явные выражения для так называемых векторов Уиттекера, введенных Костантом. Канонически они определяются как собственные векторы оператора сдвига основной серии унитарных представлений полупростой (или редуктивной) группы Ли С, [c.110]

Уравнения Эйлера—Пуассона имеют интеграл <Л, е>=с, порожденный группой симметрий 50(2). Зафиксируем его постоянную и рассмотрим четырехмерный интегральный уровень Л с= <1), е <Ло), е) = с, <е, е> = 1 , диффеоморфный (ко)каса-тельному расслоению сферы Пуассона 5 = е6/ <е, е> = 1 . Положим о) = (й + се1(,Ае, е> вектор является горизонтальным касательным вектором в канонической связности главного расслоения (50(3), 5, 50(2)), порожденной инвариантной римановой метрикой <Л , й)>/2. Проекция 50(3)- -5 позволяет отождествить горизонтальные векторы с касательными векторами к сфере Пуассона. Пусть < , > — факторметрика на 5 [c.110]

Следствие. Пусть ф — экстремальное состояние на G, инвариантное относительно действия а усреднимой группы G. Если вектор Ф из Жщ, канонически ассоциированный с ф, является в то же время циклическим относительно Яф(Я), то 1) система (Я, [c.244]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...