Векторы и тензоры на криволинейной поверхности

В этой книге мы часто будем оперировать понятием вектора в элементарном геометрическом пространстве, а также производить линейные преобразования векторов эти линейные преобразования называют тензорами. Поэтому сначала приведем логические доводы и рассуждения, которые впоследствии будем Использовать. Эти рассуждения, с одной стороны, связаны с трехмерным геометрическим пространством, в частности, с криволинейными поверхностями, а с другой стороны, с кинематикой деформации. [c.10]

Векторы и тензоры на криволинейной поверхности [c.20]

Как уже упоминалось ранее, голография рассматривает явления, которые происходят на нескольких поверхностях. Этими поверхностями, например, могут быть поверхности одного и того же объекта в деформированном и недеформированном состояниях или поверхности голограмм во время записи и восстановления. Рассмотрим разложение векторов и тензоров относительно криволинейной поверхности. Поверхность зададим векторной функцией [c.20]

Это А представляет собой теорему Гаусса для криволинейной поверхности. Она действительна не только для векторов, но и для тензоров, причем в случае последних скалярные произведения заменяются на линейные преобразования. Для произвольного тензора Т получаем [c.158]

Согласно постановке краевой задачи необходимо найти в трехмерной области У, ограниченной замкнутой поверхностью S, тензорное поле Q (г), где г — радиус-вектор, определяющий положение произвольной точки внутри области V в глобальной криволинейной системе координат <7, где = 1, 2, 3 (рис. 2.26). При решении задачи теплопроводности Q = t тензор ранга О, температура, скаляр при решении задачи теории упругости в перемещениях Q- и - тензор ранга 1, вектор перемещений при решении этой же задачи в напряжениях Q = = о - тензор ранга 2, тензор напряжений. [c.48]

В задачах установившейся дифракции упругих волн точные решения получают только в круговой цилиндрической и сферической системах координат (см. 1 настоящей главы). Этим исчерпываются возможности метода разделения переменных в его классической формулировке применительно к задачам дифракции для тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями. Для тел, ограниченных достаточно гладкими цилиндрическими поверхностями, в предыдущем параграфе решение задачи дифракции сведено к решению бесконечных алгебраических уравнений. Большинство числовых результатов [59—62] получено с помощью приближенного метода возмущения формы границы , предложенного в работе [31]. Заметим, что метод применяется для приближенного вычисления компонентов тензоров, векторов и скаляров различной физической природы в криволинейной цилиндрической системе координат. Сущность метода состоит в получении последовательности краевых задач в цилиндрической системе координат, причем в каждом приближении решаются в круговых координатах одинаковые однородные уравнения, а поправки входят в краевые части граничных условий. Тем самым исключается необходимость построения частных решений, что далеко не всегда удается реализовать. [c.58]

Если (р д) = О, то траекторию частицы называют геодезической линией в двумерном пространстве. Поскольку эта линия лежит на поверхности, то она не является прямой , а реальное движение частицы не будет прямолинейным равномерным. Понятие геодезической связано с производной вектора по направлению. Следует отметить, что в криволинейных координатах производная вектора ОА /дд не является тензором. Величина Г д, также не образует тензора. Тензором является конструкция [c.108]

Поверхность отнесена к криволинейной системе координат и , и задана радиусом-вектором r(ui,u ). Векторы образуют на поверхности ковариантный базис, вектор единичной нормали к поверхности есть п. Метрический ковариантный тензор есть кривизна поверхности задается тензором bij = r yra = = f itij. Любой вектор может быть задан в локальном базисе [c.423]

Из всего вышеизложенного видно, что при общих расчетах можно применять обычные обозначения с суммированием по индексам и с записью ко- или контравариантных компонентов в виде или использовать соответствующие символические Л0бозначения Tu. Однако, поскольку в голографии часто прихо Садится менять систему координат, особенно при переходе от про-ст()анства к криволинейной поверхности предмета или к плоскости фотографической пластинки, то более предпочтимы абстрактные символические обозначения кроме того, большое число индексов, появляющихся при последовательных линейных преобразованиях, заслоняет физическую сущность, которая в действительности не зависит ни от каких специфических координат [2.2, с. 31]. Правила расчета на самом деле очень просты и выявляют геометрический смысл-, это относится и к вычислению производных, которые рассмотрим далее. Для удобства будем использовать следующие принятые в механике обозначения латинские курсивные буквы — для скаляров, строчные буквы, напечатанные полужирным шрифтом — для векторов прописные латинские или греческие буквы, напечатанные полужирным шрифтом — для тензоров второго порядка. [c.15]

При условии расслоеппости поля собственных векторов тензора напряжений, отвечающих наибольшему (или наименьшему) главному напряжению, найдены такие канонические криволинейные координаты, нри преобразовании к которым уравнения равновесия, сформулированные для ребра поверхности текучести, приводятся к трем уравнениям, допускающим при некоторых ограничениях точные интегралы. Найдены инварианты, сохраняющие свои значения нри продвижении вдоль лпнпй главных напряжений в среде с повреждениями. Построены капонические координаты плоской задачи и найдены инвариантные отношения, устанавливающие баланс главных напряжений, повреждений и кривизн линий главных напряжений. [c.440]

В Э рассматриваются различные скалярные z(x, t), векторные z(x, t), тензорные z(x, t) функции поля, которые все преобразуются к Л на основании (9.1). Декартовы в момент t = to вмороженные в вещество координаты (л г) образуют криволинейную пространственную систему координатных линий и поверхностей с непрерывно меняющейся во времени t>to геометрией. Вещество не может сходить с линий и проникать сквозь эти поверхности. Три вектора репера Эг (х, t) при х = onst в Э показывают всю кинематику защемленной в нем физической частицы, а метрический тензор gij 9i9j — относительные смещения по t непроницаемых граней косоугольного параллелепипеда, заключающего частицу. [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...