Теорема Коши, интеграл Коши

Теорема Коши, интеграл Коши. Рассмотрим сначала случай L-области внутри простого замкнутого контура значение 2 на Г обозначается t. [c.562]

Во всех рассматриваемых здесь задачах можно показать, что интеграл по большой окружности Г при R- > o в пределе равен нулю (дальнейшее изложение этого вопроса дано в приложении 1). Таким образом, согласно теореме Коши, интеграл (3.8) равен в пределе произведению 2та на сумму вычетов относительно полюсов его подынтегральной функции ). Этот случай обычно встречается в задачах теплопроводности в ограниченных областях. [c.298]

Для доказательства соединим уо и у1 гладкой линией Я, расположенной в О, и обозначим через О односвязную область, которая получится, если удалить X из О. Граница О состоит из уь кривой Уо, проходимой в отрицательном направлении, и кривой Я, проходимой дважды в противоположных направлениях (рис. 18). По теореме Коши интеграл по полной границе В равен нулю, но по элементарным свойствам интегралов он равен [c.78]

Интегральная теорема Коши. Интеграл функции комплексного переменного в пределах 2= а и z=b зависит не толь- [c.141]

Если S — односвязная область, то F (z) будет однозначной функцией. Это следует из того, что в силу известной теоремы Коши интеграл [c.659]

Здесь интегрирование ведется по линии L в положительном направлении. Интеграл, входящий в правую часть (6.126), называется интегралом Коши. Если точка z находится вне L, то в силу теоремы Коши [c.136]

Учитывая все вышесказанное, а также то, что точка Z, лежит внутри круга <1, из (6.177), на основании свойств интеграла Коши и теоремы о вычетах, получим [c.151]

Здесь изменение порядка интегрирования опиралось на равномерную сходимость интеграла Лапласа при s Sj > So и использовалась основная теорема Коши, в силу которой ф dp = О, [c.201]

Значение этого шага состоит в том, что он устанавливает связь с интегралами такого рода, используемыми в хорошо изв< стной интегральной теореме Коши—Гурса и интегральной формуле Коши ). Согласно этим теоремам (приводимым ниже в 70) первый интеграл в (102) определяется следующим образом [c.217]

Это выражение является аналитическим, так как продифференцированный ряд для ф ( ), полученный из (а) 70, является аналитической функцией, если находится вне 7, то есть если 1/ находится внутри 7, Очевидно, функция f( j) является аналитической по у. Следовательно, интеграл от нее по контуру у, то есть в (д), согласно теореме Коши, равен нулю, [c.224]

Для случая (t + 7 Z)/Z< r при помощи теоремы Коши можно показать, что величина интеграла в (52.21) равна величине интеграла, взятого вдоль замкнутого контура бесконечно большого радиуса плюс вычет в точке h = Сд . С другой стороны, при [c.415]

Этот интеграл вычисляется с помощью теоремы Коши о вычетах, в которой используется подстановка [c.425]

Последний интеграл по лемме Жордана равен нулю. Согласно теореме Коши о вычетах интеграл по замкнутому контуру равен сумме вычетов [c.181]

Вычисляя интеграл в правой части (IX.24) при использовании теоремы Коши о вычетах [17], получаем при [c.194]

Предположим, что функция ю(х, 0) ограничена и удовлетворяет условию (4.5), где 1 = х, 0 = 0, к=т—1, где Si — единичная сфера в П(х). Тогда при достаточной гладкости функции ю(х, 0) и функции ф(у) на Ге( ) в силу теоремы 4,3 существует в смысле Коши интеграл вида [c.47]

Таким образом, справедлива следующая основополагающая теорема Коши если функция / аналитична в односвязной области О, то интеграл от / по любой кривой у, лежащей в В, зависит лишь от концов, но не от вида у, или, что эквивалентно, интеграл от / по любому замкнутому контуру у, лежащему в О, равен нулю [c.75]

Функция и>о является однозначной в области, ограниченной контуром С, поэтому первый интеграл вследствие теоремы Коши обращается в нуль. Так как функция постоянна на линиях тока С, и С,, то последний интеграл сводится к интегралу вдоль кривой АВ + В А. На дуге АВ комплекс-яый потенциал имеет значение а)о, а на дуге ВА он имеет значение Шо — [c.224]

Теперь вычислим интеграл (4.62) для контура с угловой точкой. Для этого проведем вокруг точки Со (фиг. 4.7) окружность малого радиуса ро и обозначим через внешнюю половину окружности. Возьмем указанный выше интеграл но окружности К — Хо и по Хд. Согласно теореме Коши этот интеграл равен интегралу, взятому по любому контуру К1, охватывающему контур, образованный дугами К — Хо и Хо, если между этими контурами нет особых точек, как в нашем случае. [c.55]

Эти наблюдения обобщаются на случай полиномиальных интегралов произвольной степени для любого п 1 существует семейство аналитических потенциалов У х,1), 2тг-периодических по X, зависящее от п - 1 произвольной аналитической 2тг-периодической функции, для которых уравнение (3.1) имеет полиномиальный интеграл степени п с однозначными аналитическими коэффициентами. Доказательство основано на применении теоремы Коши — Ковалевской. Однако эту теорему непосредственно нельзя применить к системе (3.4). Преобразуем (3.4), поль- [c.381]

Первый интеграл левой части по теореме Коши равен Р (Р второй же интеграл на основании формулы (18) 76 равен [c.273]

Подставляя это выражение в уравнение (40.6) и вычисляя оставшийся интеграл с помощью теоремы о вычетах Коши, найдем, что [c.116]

Методы теории вычетов могут быть использованы и для задач, в каком-то смысле обратных рассмотренным выше. Часто оказывается полезным выразить какую-либо функцию через контурный интеграл. При этом интегральное представление сложной функции может оказаться удобным для исследования, если подынтегральное выражение в контурном интеграле имеет простой вид и содержит элементарные функции. Кроме того, деформируя контур в соответствии с теоремой Коши, можно получить различные приближенные оценки для интегралов, например их асимптотические оценки. В частности, если функция задана рядом, то представление суммы ряда через контурный интеграл позволяет в некоторых случаях найти сумму ряда в конечном виде. [c.550]

Из теоремы Коши следует, что если / (г)— функция, аналитическая в односвязной области О, а I — дуга, расположенная в этой области и соединяющая точки 2 и г, то интеграл [c.214]

I ется краевым значением функции, аналитической в й ", то на основании интегральной теоремы Коши можно утверждать, что интеграл [c.21]

Как и в разд. 3.7, мы находим, что лучший способ оценки этого интеграла — применение теоремы Коши. Для з > О [c.326]

По теореме Коши интеграл по такому замкнутому контуру равен произведению 2iri на сумму вычетов относительно полюсов внутри контура. Эти полюсы находятся в точках X — Вычет относительно полюса X гю равен [c.313]

Согласно теореме Гарнака соотношения (6.159) и (6.160) эквивалентны. Учитывая, что функции ф1(а) и il3i(a) являются граничными значениями регулярных внутри круга <1 функций ф[(0 и tl3i(Q, а fpi(a), ti( r)—граничными значениями функций, регулярных вне круга <1 и обраш,аюш,ихся в нуль на бесконечности, на основании свойств интеграла Коши окончательно найдем [c.145]

Следуя [38], воздействуем на обе части уравнения оператором Кощи при 1 1 < 1. Поскольку функция ф( ) аналитична в области 51< 1, то по интегральной теореме Коши получаем, что интеграл от первого слагаемого восстанавливает функцию ф( ). [c.387]

Первые два результата следуют сразу же из интегральной теоремы Коши для единичного круга, когда обозначает точку пне его. Выражение для третьего интеграла следует из теоремы Коши для внешней области или из теоремы о вычетах для внутренней области. Отсюда 1 fio)da [c.226]

В цлтированной выше работе А. А. Соколова указан метод применения теоремы Коши о числе корней аналитической функции в замкнутой области для решения задачи Гурвица путем непосредственного вычисления интеграла от логариц мической произв дной левой части уравнения по полуокружности, лежащей в правой полуплоскости изменения корней и указан прием определения радиуса этой полуокружности, вне ко юрой уравнение не может име1ь корней с положительной вещественной частью. [c.129]

По теореме Коши последний интеграл равен a osu)i, и условие при а = 0 выполняется. [c.224]

Рассмотрим интеграл в (1.7) вдоль замкнутого контура, показан ного на рис. 30 и состоящего из отрезка вещественной оси MN, дуг окружностей MQ и NP и петли L, обходящей точку ветвления. Поскольку подынтегральное выражение не имеет особенностей внутри указанного контура, то по теореме Коши [c.84]

Из теоремы Коши следует, что интеграл по замкнутому контуру равен произведению 2tzI на сумму вычетов относительно полюсов подынтегральной функции внутри контура. [c.307]

Рассматриваемая нами ситуация соответствует рис. 6.8, где единственный нолюс совпадает с точкой Zi = у или Z2 = у в зависимости от знака Re . Поскольку 1 > 5 > О, вклад в интеграл от участка Г стремится к нулю, если радиус этого участка стремится к бесконечности. Следовательно, интеграл в (6А.2) можно вычислить вдоль контура С", который охватывает нолюс. Согласно теореме Коши, имеем [c.81]

Интегральная формула Коши. Подчеркнем, что условие односвязности в теореме Коши существенно—если область течения О имеет дырку, как на рис. 18, то интеграл по замкнутому контуру у, охватывающему эту дырку, не обязан равняться нулю. (Это физически очевидно в дырке могут находиться источники и вихри, а потому циркуляция и расход на V могут быть отличными от нуля.) Легко, однако, понять, что при непрерывной деформации у внутри области О величина интеграла не меняется. Мы проверим этот факт в его простейшей математической постановке пусть область О ограничена двумя кусочно гладкими кривыми уо и Уь которые обходятся в одинаковом направлении (скажем, против часовой стрелки), и функция / аналитична в какой-нибудь области, содержащей замыкание О (так называется область вместе с ее границей) мы покажем, что в этих условиях [c.78]

В области, ограниченной замкнутым контуром АВСОЕРА, функция, стоящая под знаком интеграла (2.17), не имеет никаких особенностей, а поэтому по теореме Коши [c.310]

В силу теоремы Харнака ) соотношение (6) равносильно граничному условию (5). Первый интеграл в (6) равен функции Р г) в силу теоремы Коши, второй интеграл имеет постоянное значение [c.415]

Устремляя число профилей N к бесконечности, убедимся, что только что написанная сумма представит в пределе известное разложение гиперболического котангенса на простейшие дроби. Последнее слагаемое в правой части (149), по известной теореме теории функций комплексного переменного о предельном значении интеграла Коши от ограниченной функции по раздвигающемуся на бесконечность контуру, сведется в пределе при (Vоо к некоторой постоянной величине. Таким образом, будем иметь следующую обоби1енную формулу Коши [c.266]

Теорема Коши непосредственно неприменима к многосвязкой области. Однако она легко обобщается и на этот случай. Рассмотрим двухсвязную область, изображенную на рис. 15.3. Если взять интеграл по контуру, состоящему из С , и разрезов Сд и С4, то к такому контуру теорема Коши уже применима. Направления обхода различных частей полного контура подчиняются общему правилу и указаны на рис. 15.3. Интегралы по С3 и взаимно сокращаются, и мы имеем [c.527]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...