Принцип подчинения и параметр порядка

Принцип подчинения и параметр порядка [c.121]

НОЙ (71 очень большого числа переменных позволяет суш,ественно упростить сложную задачу вместо большого числа переменных для различных д мы можем рассматривать лишь одно уравнение для а затем воспользоваться принципом подчинения и выразить все <7 через q . В таких случаях переменная называется параметром порядка. Разумеется, в действительности мы можем столкнуться с более сложной ситуацией. Тогда уравнения (1.13.5) и [c.62]

Как и прежде, мы можем выделить параметры порядка для которых Re Я/j > 0. Воспользуемся принципом подчинения и запишем уравнение для параметров порядка. Удерживая в (1.16.4) главные члены, т. е. только параметры порядка s Uj, мы получаем скелет возникающих структур. Например если Re (Я/) > О, то скелет выглядит так [c.76]

Параметр порядка и принцип подчинения. [c.33]

Г. Хакен [15] назвал параметр порядка информатором порядка, т.к. при реализации принципа подчинения в системе устанавливается порядок. Следует отметить, что эволюция синергетической системы связана с иерархией информационных уровней первоначально обмен информацией носи случайный характер, затем возникают конкуренция и кооперация, завершающиеся новым коллективным состоянием, которое качественно отличается от ранее существовавшего неупорядоченного состояния, или их набором [6]. [c.35]

С точки зрения Хакена [17], параметр порядка является его информатором, так как при реализации принципа подчинения в системе устанавливается порядок. Отмечается иерархия информационных уровней. Первоначально обмен информацией носит случайный характер, затем возникает конкуренция и кооперация, завершающиеся новым коллективным состоянием, которое качественно отличается от ранее существовавшего неупорядоченного состояния. Это новое состояние описывается Одним параметром порядка или их набором [17]. [c.20]

Приведенные оценки показывают, что наибольшим значением обладает время релаксации деформации, величина которой е определяет значения г, 4 в уравнениях (3.94)- 3.96). В синергетике принято обозначать переменную е как параметр порядка, величину й как поле, сопряженное этому параметру, а напряжения т, уровень которых фиксируется внешним значением как управляющий параметр (см. 1). Указанная иерархия времен релаксации позволяет применить принцип подчинения эволюции управляющего параметра т 1) и сопряженного поля ( ) параметру порядка е 1). Математически это выражается в пренебрежении скоростями т, й ь уравнениях (3.94), (3.95), после чего величины т,с1 выражаются через е равенствами [c.257]

Так как а = —а>0, и (/) возрастает экспоненциально. Это свидетельствует о том, что состояние <7о = О неустойчиво. В гл. 2 и 3 мы изложим анализ устойчивости по линейному приближению в общем виде. В частности, мы рассмотрим случай, когда неустойчивым становится не только константа-решение <7о, но и движение по предельному циклу или по тору. Последняя проблема приводит нас в весьма странную область квазипериодических движений, где было сделано еще больше открытий (в число которых вносит свой вклад и эта книга). После того как анализ устойчивости произведен, возникает очередной вопрос в какие новые состояния перейдет система. При ответе на него для синергетики наибольшее значение имеют два понятия параметр порядка и принцип подчинения. Для того чтобы пояснить их, рассмотрим два дифференциальных уравнения [c.61]

При достаточно малых g мы можем воспользоваться принципом подчинения (гл. 7), позволяющим исключить все подчиненные переменные с А = 3, 4,. .., и вывести уравнения только для параметров порядка [c.288]

Мнимая часть со2 может обращаться в нуль, если вещественная часть Х и остается при этом дважды вырожденным собственным значением. Применив принцип подчинения, мы снова получим уравнение для параметра порядка. Предположим, что оно имеет следующий вид [c.290]

Принцип подчинения позволяет свести изучение интересующего нас случая к уравнению для параметра порядка — только для и. В качестве первого подготовительного шага рассмотрим уравнение для параметра порядка вида [c.293]

Величина и играет роль параметра порядка, а при й > Л1 + 2 — подчиненные переменные. Применяя принцип подчинения, мы сводим систему уравнений (8.9.32), (8.9.34) к уравнениям вида [c.300]

Для более наглядного понимания принципа подчинения, рассмотрим действие лазера, порождающего когерентное излучение при достижении критических условий. В докритическом состоянии активные атомы лазера при подаче энергии в систему возбуждаются и испускают отдельные цуги световых волн. Критическое состояние системы достигается в тот момент, когда подаваемая энергия становится когерентной, т.е. она уже не состоит из отдельных некоррелированных цугов волн, а превращается в бесконечную синусоиду. Это означает, что хаос (в виде цугов световых волн) сменяется порядком, причем параметром порядка служит возникаютцая когерентная волна. Она вынуждает атомы осцилировать когерентно, подчиняя их себе (рисунок 1.6, [c.34]

Эти соотношения отвечают как условию автомодельности, так и принципу подчинения в синергетике [23]. В соответствии с этим принципом при достижении системой (подсистемой) критического состояния ее дальнейшее поведение контролируется одной (или несколькими) переменной, являющейся параметром порядка. Физический смысл параметра порядка в данном случае следующий. При итерации (переходе от одного поколения множества к другому) достигается предельное значение масштабного множителя Л,-, при котором уже нельзя различить предыдущее поколение от последующего. Это отвечает условию структурной неустойчивости множества. Новое устойчивое состояние при = onst может быть достигнуто только при изменении масштабного множителя. Как установлено в [279], границами, определяющими = onst при т = varia, является [c.156]

Самоорганизацию трибосистем, связанную с образованием диссипативных структур, контролируемую параметром порядка, ответственным за самоорганизацию при неравновесных фазовых переходах. При этом в точках перехода реализуется принцип подчинения, при котором множество переменных определяются одной (или несколькими) переменной. Определение параметров порядка для конкретных систем - предмет исследований. Так, в случае сильноточного скользящего контакта таким параметром является сила электрического тока, при избирательном износе -интенсивность химического (реакционного) воздействия, при структурной самоорганизации их составы в значительной степени контролируются температурой саморазофева и др. [c.336]

Первая, вводная глава является иллюстративной. Ее задача — дать представление о задачах синергетики в различных областях знания физике, технике, химии, биологин, общей теории вычислительных систем, экономике, экологии, социологии, выявить общие черты рассматриваемых в них проблем и, наконец, проделюн-стрировать общность математического аппарата. Эта общность проявляется как при динамическом, так и при статистическом описаниях. На многих примерах показано единство основных понятий теории самоорганизации принцип подчинения, параметры порядка, диссипативные структуры, неравновесные фазовые переходы. Общими являются и пути, ведущие к самоорганизации. Изложенное в первой главе убедит многих читателей в целесообразности и плодотворности развиваемого единого подхода к описанию эволюционных явлений, явлений самоорганизации и в полезности введения объединяющего термина синергетика . [c.6]

Глава 7 Нелинейные уравнения. Принцип подчинения , пожалуй, наиболее существенна для понимания возможности a юop-ганизации в различных системах (на принятом в книге уровне описания). Принцип подчинения, который иллюстрируется на многих примерах, описываемых как динамическими, так и стохастическими уравнениями, позволяет выделить при образовании (по мере изменения бифуркационного — управляющего — параметра) новых диссипативных структур величины, которые играют роль параметров порядка. Изложение начинается с очень простых примеров и завершается исследованием дискретных отображений со случайными источниками и стохастических дифференциальных уравнений. При этом переход от дискретного времени к непрерывному в стохастических уравнениях не является тривиальным. Надо про- [c.8]

Введение общего принципа подчинения как одного из основных принципов самоорганизации принадлежит Г. Хакену. Основываясь на не1М, в сложных системах можно исключить большое число переменных и свести задачу к решению небольшого числа переменных, играющих роль параметров порядка. [c.9]

До сих пор мы рассмотрели ряд типичных явлений, пренебрегая шумами, т. е. влиянием флуктуаций на систему. Однако в последние годы стало ясно, что именно в критических точках, т. е. там, где система изменяет свое макроскопическое изменение, флуктуации играют решающую роль. Фундаментальные законы теоретической физики позволяют утверждать, что там, где происходит диссипация, должны быть и флуктуации. Следовательно, при рассмотрении физических, химических, биологических, механических или электрических систем пренебрегать флуктуациями не следует, по крайней мере если речь идет о системах, достаточно близких к критическим точкам. Для фазовых переходов систем, находящихся в состоянии термодинадшческого равновесия, адекватный учет флуктуаций был давно стоявшей проблемой, разрешить которую удалось лишь недавно методом ренормгруппы. В этой книге нас интересуют неустойчивости физических и химических систем, находящихся далеко от состояния термодинамического равновесия, и некоторых других систем. В этом круге явлений флуктуации играют не менее важную роль и описание их требует новых подходов. Например, принцип подчинения, с которым мы познакодш-лись в разд. 1.13, по-видимому, позволяет учесть флуктуации (см. гл. 7), и уравнения для параметров порядка следует решать при адекватном включении флуктуаций (гл. 10). Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что флуктуации превращают явления и проблемы бифуркаций (достаточно трудные сами по себе) в еще более сложные явления и соответственно еще более трудные проблемы неравновесных фазовых переходов. [c.73]

Оставшийся интеграл / зависит только от решений линеаризованного уравнения (9.3.7). Если оператор L инвариантен относительно преобразований симметрии, то векторы v можно выбрать в качестве представления соответствующей группы преобразований. Как доказывается в теории групп, учет трансформационных свойств векторов V и V приводит к правилам отбора для интеграла / в (9.3.10). Прил1енение теоретико-групповых идей и методов позволяет существенно упростить решение уравнений (9.3.8). С формальной точки зрения система уравнений (9.3.8) ничем не отличается от уравнений (8.1.17), а это означает, что вблизи критической точки мы можем воспользоваться принципом подчинения, позволяющим систему уравнений (9.3.8) привести к системе, состоящей из конечного (и, как правило, весьма небольшого) числа уравнений. Главные члены в уравнении (9.3.3) те, которые вместо всех g/e содержат параметры порядка и. Вблизи критической точки, в которой старое решение теряет устойчивость, все остальные члены относительно малы и порождают лишь незначительные поправки. Таким образом, вблизи критических точек возникающая структура определяется суперпозицией конечного числа членов вида [c.318]

Как и прежде, мы можем ввести амплитуды и фазовые углы ф, . Если вещественная часть одного или нескольких собственных значений Хк из (10.1.7) становится положительной, то можно воспользоваться принципом подчинения. В разд. 7.6 было показано, что принцип подчинения вполне применим к стохастическим дифференциальным уравнениям типа Ланжевена—Ито или Стратоновича. Принцип подчинения позволяет свести исходную систему уравнений (10.1.2) к системе уравнений для параметров порядка — соответствующих и ф. Уравнения параметра порядка оказываются уравнениями типа (10.1.2), но с измененными N и (№. Влияние флуктуаций и наш подход к его описанию продемонстрируем сначала на примере. [c.328]

После подробного изложения математических методов, иногда сопряженных с необходимостью производить довольно громоздкие вычисления, уместно перевести дух и кратко сформулировать наиболее существенные выводы, к которым приводят отдельные этапы алгоритма. Отправным пунктом наших теоретических построений были нелинейные уравнения с флуктуирующими силами. На первом этапе мы предполагали, что эти силы пренебрежимо малы. Затем мы исследовали поведение систем, содержаших флуктуирующие силы, вблизи критических точек. Оказалось, что в достаточно малой окрестности критической точки поведение системы определяется небольшим числом параметров порядка и принцип подчинения позволяет исключить все подчиненные переменные. Включение флуктуирующих сил не нарушает процедуру исключения переменных, и мы приходим к уравнениям для параметров порядка с флуктуирующими силами. Такие уравнения для параметров порядка могут быть типа уравнений Ланжевена—Ито или Стратоновича. Эти уравнения, вообще говоря, нелинейны, и вблизи критических точек нелинейность не становится пренебрежимо малой. С другой стороны, часто бывает достаточно учесть лишь главный член нелинейности. Наиболее изящный подход к решению такого рода задач состоит в преобразовании уравнений для параметра порядка типа уравнения Ланжевена—Ито или Стратоновича в уравнение Фоккера—Планка. За последние десятилетия эта программа была реализована на различных системах. Выяснилось, что во многих случаях, когда возникают пространственные структуры, принцип детального равновесия на уровне уравнений для параметров порядка обусловлен соотношениями симметрии. В подобных случаях удается оценить распределение вероятности, с которой реализуются отдельные конфигурации при определенных значениях параметров порядка и,-. В свою очередь это позволяет вычислить вероятность образования тех или иных пространственных структур и найти устойчивые конфигурации по минимуму V (и) в [c.348]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...