Преобразование круга в полуплоскость

Весьма ценно свойство кратности 5 величине углов в точке разветвления. Оно может быть использовано для преобразования клина с углом а в полуплоскости путем выбора 5 = л/а или для преобразования с помощью линейной трансформации области, ограниченной двумя дугами, пересекающимися под углом а, во внутреннюю область круга. [c.168]

Из последнего параграфа было видно, что затруднения при отыскании решения, связанные с методом функции напряжений, облегчаются вследствие использования комплексного потенциала и соответствующего конформного преобразования однако наибольшее преимущество от использования комплексного потенциала получено благодаря методам, развитым Мусхелишвили ), позволяющим определять потенциалы непосредственно по граничным условиям. Эти методы применимы к телу, занимающему в плоскости Z односвязную область, конечную или бесконечную, которую можно отобразить с помощью конформного преобразования на круг или полуплоскость исследование многосвязных областей значительно сложнее и обсуждаться здесь не будет. Области, отображенные на круг или на полуплоскость, можно исследовать двумя методами первый основан на использовании обычных интегралов Коши, второй основан на более тонких свойствах интегралов Коши. Второй метод наиболее при- [c.104]

Универсальное накрывающее любой ориентируемой поверхности, отличной от сферы, есть R . Мы можем также рассматривать поверхности как одномерные комплексные многообразия сфера — это риманова сфера С U оо , тор — фактор С по решетке, а поверхности более высокого рода получаются из верхней полуплоскости Н = г 6 С Im г > 0 или единичного круга В в С как факторы по некоторым подгруппам преобразований Мебиуса, как показано в п. 5.4 д. Риманова сфера, R н диск Пуанкаре допускают метрику постоянной гауссовой кривизны (положительной, нулевой и отрицательной соответственно), и эти свойства переносятся [c.713]

Для того чтобы определить, лежат ли корни уравнения (30) внутри единичного круга, можно также воспользоваться критерием Гурвица [3]. Дробно-линейное преобразование р = = (X -Ь i)/ k — 1) единичный круг р ] < 1 плоскости р переводит в левую полуплоскость Re Я, < О плоскости X. Таким образом, полином [c.48]

Второе преобразование десятого свойства, очевидно, отображает действительную ось плоскости 2 в единичный круг, так как при действительном г числитель и знаменатель являются сопряженными величинами, а отсюда 1да =1. Условие возможности отображения внутренней области круга на верхнюю полуплоскость подтверждается тем, что 2 = —6/а при 1 = 0. Достаточно вспомнить, что это преобразование обладает тремя степенями свободы, и можно показать, что оно является наиболее общим линейным преобразованием действительной оси в единичный круг, так как именно три степени свободы необходимы для отображения линейной трансформацией трех заданных точек действительной оси в три произвольные точки единичного круга. [c.161]

Далее функция со г) продолжается в верхнюю полуплоскость. Затем, используя метод конформных преобразований (внешность отрезка СС конформно отображается на внутренность единичного круга), Л. И. Седову удалось найти характеристическую функцию 0). Опуская здесь промежуточные выкладки, которые подробно приводятся в 1124], приведем окончательные результаты Ордината точки О нижней границы отрыва будет приближенно равна 0,92а. [c.53]

Если удастся найти преобразование д = д (г) или обратное (д), которое реализует конформное отображение верхней полуплоскости 2 в круг р = рк плоскости а точку 2с = га плоскости 2, где расположен центр скважины радиусом Гс, в начало координат с,= 0 плоскости то задача будет решена. [c.126]

Имеется аналогия между преобразованием Лапласа и степенными рядами [29]. Как известно, степенной ряд сходится в некотором круге — круге сходимости. Радиус круга сходимости равен расстоянию от точки, относительно которой идет разложение в ряд, до ближайпхей особой точки разлагаемой функции. Интеграл, представляющий (одностороннее) преобразование Лапласа, вообще говоря, сходится в полуплоскости комплексной плоскости, лежащей справа от некоторой прямой, параллельной мнимой оси. Ясно, что на прямой, являющейся границей сходимости интеграла, обязательно лежит особая точка преобразования как функции комплексного аргумента. Сказанное не означает, что преобразование имеет смысл только там, где сходится интеграл (как и в случае рядов). Часто функцию можно аналитически продолжить, иногда на все точки комплексной плоскости, кроме некоторых, особых. [c.106]

Эффективность метода конформных отображений заключается в том, что поставленная задача может считаться решенной, если найдена функция, обеспечивающая конформное преобразование рассматриваемой области на какую-либо простейшую каноническую область. Б зависимости от вида исследуемой области это может быть круг или кольцо еданичного радиуса, бесконечная полоса или полуплоскость. [c.8]

Обозначим точки г = — со, оо, О, 2л1 так, как показано на рисунке, и стрелками покажем положительное направление обхода границ АСВВ С А. Преобразование = отобразит тогда полосу АВВ А в целую плоскость /ь рассеченную линией АВ от начала до бесконечности вдоль положительного направления действительной оси плоскости t. В плоскости ti на рисунке показаны детали отображения и направление обхода границ до перехода к точкам в бесконечности. Верхняя и нижняя части плоскости от разреза соответствуют углам у=а и у=2я. Разрез можно теперь ликвидировать, заменив 2я на я с помощью преобразования = которое отобразит полосу в верхнюю полуплоскость плоскости 2- Действительная ось может быть отображена в единичный круг линейным преобразованием. Так как точки А, С к В существуют при 2 = 0, 1 и оо, линейное преобразование имеет вид [c.168]

Первое из них просто повернет область С на 90° в положительном направлении (фиг. 8.4), а второе отобразит область Z на верхнюю полуплоскость t (фиг. 8.5). Соответствие точек между плоскостями Z и t легко установить, так как на единичном круге ABA Z=e и, следовательно, /=созЭ. При этом бесконечно удаленные точки, плоскостей Z а t, очевидно, переходят одна в другую. Итак, преобразование [c.192]

Другой способ преобразования фчрмулы (3.4) предложен в работе [284]. Он основан на дробно-линейном преобразовании (полуплоскость отображается на круг) формулы (3.4) и приводит к формулам (в случае G(x) G(—х)) [c.45]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

Имееется много решений обратной задачи методами конформного отображения. В работе [5.45] такое решение основано на преобразованиях между плоскостью решетки и единичным кругом и между этим единичным кругом и полной полуплоскостью. В заключение вводилась вспомогательная плоскость с точками на бесконечности, симметрично расположенными относительно мнимой оси. В этой плоскости легко определяется течение. Удается построить и обратное решение, т. е. получить форму профиля в плоскости решетки. Другой метод, в котором используется преобразование в единичный круг, разработан Гольдштейном. Известны и программы расчета по этому методу [5.83, 5.84]. В приближенном методе работы [5.85] точки одинакового потенциала располагались в плоскостях решетки (г) и круга ( ), а затем осуществлялось преобразование путем выражения в виде рядов по х. [c.158]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...