Функции находящиеся в инволюции

Функции, находящиеся в инволюции. Мы видели, что если преобразование (q р) в Q Р) является контактным, то п составляющих [c.500]

Вопрос упирается в конструктивную возможность построения п — 2к функций от интегралов (3.12), которые коммутировали бы с набором функций (3.12). Добавляя к ним к функций из условия ( ), получаем п — к функций, находящихся в инволюции сп + к интегралами (3.13). Решение этой задачи существенно упрощается, если предположить замкнутость набора функций (3.12) их скобки Пуассона выражаются через эти же функции. [c.199]

Случай нескольких инвариантных соотношений, находящихся в инволюции. Переходя после этого к более общим предположениям, докажем, что если для указанной канонической системы порядка 2п с характеристической функцией, не зависящей от времени, известны т<С п инвариантных соотношений, находящихся в инволюции и разрешимых относительно т переменных р, то можно определить со" частных решений данной системы посредством интегрирования приведенной системы дифференциальных уравнений порядка /и. [c.324]

Ясно, что произвольные п функций от q р t) не могут служить первыми п составляющими Qi, Q2, Q контактного преобразования, так как эти функции должны находиться в инволюции. Естественно, возникает вопрос пусть даны п функций ( i, Q%. .. находящихся в инволюции, спрашивается, можно ли указать п других функций Pi, Р%,. . ., Рп таких, чтобы преобразование (д р) в Q Р) было контактным" [c.500]

Рассмотрим п функций ф1, фг,. . фп> находящихся в инволюции, и предположим, что якобиан [c.500]

Теорема о фазовых торах. Если есть п независимых функций Fi, попарно находящихся в инволюции, то всякая неособая связная компактная компонента L их совместного уровня [c.249]

Согласно условию (1.3), из первой группы уравнений можно найти (по крайней мере локально) i,..., как функции от x,y,t. Эти функции — независимые интегралы уравнений (1.1), попарно находящиеся в инволюции j, j = О (лемма 1 из 4 гл. III). [c.184]

Построение системы уравнений для собственных функций операторов Казимира как динамических величин, находящихся между собой в инволюции, требует реализации их в виде дифференциальных операторов по групповым параметрам с последующим переходом к переменным фазового пространства и отыскания спектра собственных значений этих операторов. Для квадратичного оператора Казимира произвольной полупростой группы Ли G собственные значения даются замечательной по простоте и изящности формулой Рака [c.84]

Интегралы в инволюции. Ранее (в 24.14) было покавано, что если мы имеем систему из п функций (д р t) класса С2, находящихся в инволюции (т. е. таких, что скобка Пуассона любой пары функций тождественно равна нулю), и если якобиан [c.519]

Р. Мало того, мы всегда можем выбрать такое контактное преобразование, которому соответствует функция Н, тождественно равная нулю. Отсюда следует, что Р, как и Q, остаются неизменными в процессе движения. Следовательно, если известны п интегралов, находящихся в инволюции, то существуют еще п однозначных интегралов. Совокушность 2п интегралов дает возможность построить полное решение задачи. [c.519]

Предположим, что при е = О гамильтонова система вполне интегрируема существуют п аналитических интегралов Fi,..., Г , попарно находящихся в инволюции и почти всюду независимых. Так как гиперболический тор TJ нерезонансный, и поверхности Лд состоят целиком из асимгпчэтических траекторий, то функции Fj постоянны на Л . Таким образом, Aq содержатся в некотором замкнутом множестве [z Fi(z) = i,..., F (z) = с ], причем, согласно результатам 9 гл. И, точка с = (сь..., с ) G R" является критическим значением отображения F — R". [c.254]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

Гамильтонова система с п степенями свободы и функцией Гамильтона Н ри. .., Рп, <7ь . <7п) называется интегрируемой если она имеет п первых интегралов h=H, /2,...,находящихся в инволюции. Известная теорема Лиувилля зт верждает (см. [7], [23]), что если п-мерное многообразие, получающееся при фиксировании значений этих интегралов /i = i, /2 = 02,.... ..,/ = Сп, компактно, а сами интегралы в окрестности точки (С],...,С ) функционально независимы, то это многообразие оказывается л-мерным тором. На нем можно ввести циклические переменные <рь. .., фп, в которых уравнения движения принимают простой ВИД i=/ (/i,. ..,/ )— onst, а самодвижение будет условно-периодическим с п частотами. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...