Функции в инволюции

ФУНКЦИИ В ИНВОЛЮЦИИ. Как и в 16, это функции, скобка Пуассона которых тождественно равна нулю. Если F, G)=0, то мы снова можем констатировать, что функция F [c.249]

ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА О ПОПОЛНЕНИИ. Пусть имеется п независимых функций в инволюции [c.253]

Доказательство. Нам достаточно убедиться в локальном существовании п функций в инволюции. Но справедливо даже более сильное индуктивное утверждение [c.255]

Если есть п функций в инволюции Fi,. .., F , независимых в точке Z, то в ее окрестности существует такая каноническая перестановка, что в новых переменных [c.255]

ЭФФЕКТИВНОЕ ПОПОЛНЕНИЕ. В 19 была доказана теорема о пополнении если есть п независимых функций в инволюции Ри Рп, то существуют еще п функций Q,,. .., таких, [c.263]

Предположим, что на симплектическом 2п-мерном многообразии даны п функций в инволюции [c.239]

Теорема 2. Предположим, что на симплектическом многообразии = (р, д) = (р1,. .., <71,. .., <7 ) даны п функций в инволюции [c.73]

Доказательство. Зафиксируем время I и рассмотрим фазовый поток, обусловленный функцией их (следствие 9.3.2) по параметру я. Так как функции щ находятся в инволюции, то применение к ним указанного фазового потока оставляет их постоянными, и поток не нарушает уравнений м,- =0, — 1,..., я. Но тогда останется выполненным и уравнение Ег = 0. Поэтому /21 = 0. Аналогично для любого i получим 2, , = О или .Ег = 0. Последнее означает, что фазовый поток, обусловленный функцией Е2, не меняет функций и.,, а значит, сохраняет уравнение Г = 0. Поэтому Гх, Е2 = 0.0 [c.692]

Доказательство. Необходимость. Предположим, что функции <р , г = 1,..., п находятся в инволюции. Поскольку соответствующий якобиан не равен нулю, то можно разрешить систему уравнений [c.693]

Значит, в инволюции будут и функции рк — фк, к = , .п. Возьмем [c.693]

Проводя теперь преобразования формул предыдущего пункта доказательства в обратном порядке, убеждаемся в том, что функции рк — фк, к = 1,..., п находятся в инволюции, а значит в инволюции будут и функции <р,, г = 1,..., п.а [c.694]

Так как функции /,-, i = 1,..., п, независимы и находятся в инволюции, то по теореме 9.7.8 существуют такие переменные г = 1,..., п, что преобразование (р,я) —> (т) 0 будет каноническим [c.694]

Будем говорить, что две функции от р, q, скобки Пуассона которых равны нулю, находятся в инволюции-, из тождества Пуассона—Якоби непосредственно следует, что если две функции v, w находятся в инволюции с одной и той же функцией и, то то же будет иметь место и для их скобок Пуассона (гг, w), [c.274]

ОНИ И В ЭТОЙ форме будут находиться в инволюции (предыдущий пункт), а если для каких угодно двух функций и, v положим [c.288]

Перейдем теперь к другому упомянутому следствию из теоремы Лиувилля интегрирование канонической системы с характеристической функцией, не зависящей от времени, будет выполнимо одними только конечными операциями и квадратурами) всякий раз, когда известны п — 1 ее интегралов /j, Д . .., / i, которые находятся в инволюции и не содержат t, и функции Д, [c.314]

Случай нескольких инвариантных соотношений, находящихся в инволюции. Переходя после этого к более общим предположениям, докажем, что если для указанной канонической системы порядка 2п с характеристической функцией, не зависящей от времени, известны т<С п инвариантных соотношений, находящихся в инволюции и разрешимых относительно т переменных р, то можно определить со" частных решений данной системы посредством интегрирования приведенной системы дифференциальных уравнений порядка /и. [c.324]

Функции, находящиеся в инволюции. Мы видели, что если преобразование (q р) в Q Р) является контактным, то п составляющих [c.500]

Фт, Qs) = О- Если система функций такова, что скобка Пуассона любых двух функций тождественно равна нулю, то говорят, что эти функции находятся в инволюции. [c.500]

Ясно, что произвольные п функций от q р t) не могут служить первыми п составляющими Qi, Q2, Q контактного преобразования, так как эти функции должны находиться в инволюции. Естественно, возникает вопрос пусть даны п функций ( i, Q%. .. находящихся в инволюции, спрашивается, можно ли указать п других функций Pi, Р%,. . ., Рп таких, чтобы преобразование (д р) в Q Р) было контактным" [c.500]

Рассмотрим п функций ф1, фг,. . фп> находящихся в инволюции, и предположим, что якобиан [c.500]

Но согласно (25.7.14) функция Н тождественно равна нулю, откуда и следует теорема. Функции Р от (д р () образуют п новых интегралов исходных уравнений Гамильтона. Эти интегралы находятся в инволюции (в силу условий для скобок Пуассона, выполняющихся при контактных преобразованиях, см. 24.9). [c.520]

Теперь становится очевидной тесная связь доказанной теоремы с теоремой Гамильтона — Якоби. Зная п интегралов в инволюции, мы можем построить функцию W по полному дифференциалу (25.7.18), и так как [c.520]

Теорема принимает еще более простой вид, когда функции Я и ф не содержат t. В этом случае мы имеем п интегралов в инволюции [c.520]

Теорема Ли о системах в инволюции. В предыдущем параграфе мы рассматривали систему функций щ, U2,. . класса в некоторой [c.521]

Функции 1)3 являются интегралами гамильтоновых уравнений движения, и эти интегралы находятся в инволюции. В самом деле, легко проверить, что левые части уравнений (25.8.7) образуют систему в инволюции требуемый результат следует тогда из теоремы Ли. [c.522]

Говорят при этом, что функции F и Н находятся в инволюции. [c.233]

Теорема о фазовых торах. Если есть п независимых функций Fi, попарно находящихся в инволюции, то всякая неособая связная компактная компонента L их совместного уровня [c.249]

Тогда существуют еще п функций Ч ,,. .., Wn таких, что набор (Ф]..... Фп, Fi,. .., Ч п) является канонической системой координат (в частности, функции Ч ",- также попарно в инволюции). [c.253]

Теорема Лиувилля. Если система уравнений Гамильтона имеет п первых интегралов в инволюции, то она интегрируется в квадратурах при помощи алгебраических операций, обращения функций, интегрирования и дифференцирования (для доказательства достаточно посмотреть, что делалось выше при эффективном пополнении). [c.266]

Случай, когда система (6) уже имеет гамильтонову форму вида (7) с не зависящим от времени гамильтонианом Н) и инвариант (8) с функцией С. Тогда для выполнения равенств (21) и (22) достаточно, чтобы функции С и ф были первыми интегралами в инволюции ф,С = 0) обобщённо-консервативной системы. [c.231]

Если задача решена методом Гамильтона — Якоби, то функции Р р, д),..., Рп р,д) будут первыми интегралами, которые, как легко проверить, находятся в инволюции, т. е. их скобки Пуассона [c.11]

Предположим, что гладкие функции Н и Г коммутируют (находятся в инволюции ) Н,Г = 0. Тогда Г — первый интеграл канонической системы с гамильтонианом Н, и наоборот. JJ>a-зовые потоки и др этих систем также коммутируют на М. Так как Г, С , Н = , Я , С - С, Я , Г , то интегралы любой гамильтоновой системы образуют подалгебру в алгебре Ли всех гладких функций на М (теорема Пуассона). [c.23]

Циолковского, 410 -Эйлера, 121, 407 Формулы Вине, 254 Формы бс1зисные, 325 Функции в инволюции, 692 Функционал, 598 -дифференцируемый, 599 Функция [c.712]

Интегралы в инволюции. Ранее (в 24.14) было покавано, что если мы имеем систему из п функций (д р t) класса С2, находящихся в инволюции (т. е. таких, что скобка Пуассона любой пары функций тождественно равна нулю), и если якобиан [c.519]

Р. Мало того, мы всегда можем выбрать такое контактное преобразование, которому соответствует функция Н, тождественно равная нулю. Отсюда следует, что Р, как и Q, остаются неизменными в процессе движения. Следовательно, если известны п интегралов, находящихся в инволюции, то существуют еще п однозначных интегралов. Совокушность 2п интегралов дает возможность построить полное решение задачи. [c.519]

В гамильтоновой механике особую роль играют группы симметрий, порождаемые гамильтоновыми системами если функции Я и F находятся в инволюции, то фазовый поток гамильтоновой системы с гамильтонианом F переводит решения уравнений Г амильтона с гамильтонианом Н в решения тех же уравнений. Таким образом, задача о группах симметрий уравнений Гамильтона содержит как частный случай задачу о первых интегралах. Нётеровы симметрии порождаются линейными интегралами F = р - v q). [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...