Алгебра с инволюцией

Комплексной (или действительной) алгеброй с инволюцией называется комплексная (или действительная) алгебра, наделенная инволюцией. Элемент А алгебры с инволюцией называется самосопряженным, если А = А. Банаховой алгеброй с инволюцией называется комплексная (или действительная) ассоциативная, нормированная алгебра с инволюцией, полная относительно топологии, индуцированной определенной на ней нормой, и такая, что II/ Ц = Ц II для всех Далее, [c.96]

Предположение о том, что 21 можно отождествить с множеством всех самосопряженных элементов алгебры с инволюцией Н, может показаться чересчур сильным ограничением. В этой связи заметим, что с математической точки зрения данное предположение можно заменить требованием, чтобы алгебра 21 была обратимой в д1, т. е. чтобы 21 допускала следующее обобщение симметризованного произведения для любой конечной последовательности Л, элементов алгебры 21 элемент [c.97]

Обозначим через Д1 ( с) банахову алгебру с инволюцией, получающуюся при пополнении Д (ё с) по этой норме. Однако в общем случае Д1 ( с) не является С -алгеброй, поскольку не выполняется соотношение Я Я И1 = II Я [c.304]

Поэтому представление л непрерывно на Д ( с) и допускает расщирение по непрерывности до представления банаховой алгебры с инволюцией Д] (< с). Итак, для каждого элемента R A (S ) справедливо неравенство (I л (Р) < РЦ] (которое, впрочем, тривиально, поскольку Д ( с) — банахова алгебра с инволюцией). Чтобы учесть условие непрерывности г , сосредоточим внимание на множестве Р (Ж с) всех невырожденных представлений алгебры Л1 (S ), для которой представление л непрерывно по А, е Р в слабой операторной топологии [c.305]

Д (< с). В дальнейшем нам нет необходимости различать между представлением яе=Р( с), рассматриваемым как представление нормированной С -алгебры Д ( с), банаховой алгебры с инволюцией Д1 (ё с) или С -алгебры А(ё с)- Попутно заметим, что С -алгебра Д (ё с) не слишком велика для того, чтобы изучать на ней множество всех представлений Вейля, удовлетворяюш,их лишь определяющим условиям I. Действительно, как мы видели ранее, множество До(< с), представляющее для нас основной интерес, порождает С -алгебру Д(< с) в смысле нормированных линейных пространств. [c.306]

Поскольку всякое невырожденное представление алгебры с инволюцией есть прямая сумма циклических представлений, только что доказанная лемма позволяет свести вопрос о представлениях Вейля к рассмотрению циклических представлений Вейля. [c.307]

По условию 3 это выражение положительно. Таким образом, мы получили положительную линейную форму ф на алгебре с инволюцией А(Жс). Из неравенства Шварца следует, что [c.308]

Введем теперь понятие бесконечного прямого произведения С -алгебр. Для этого мы последовательно определим бесконечные прямые произведения векторных пространств, алгебр с инволюцией и С -алгебр. Попутно мы сделаем некоторые замечания относительно понятия бесконечного прямого произведения гильбертовых пространств, которые также играют важную роль в дальнейшем. [c.327]

Алгебру с инволюцией X определим так, как было указано [c.330]

Самосопряженный элемент алгебры с инволюцией 96 Свертка 221 [c.419]

Связь с теорией алгебр с инволюцией [c.105]

Как нетрудно заметить, в этом определении мы не требовали, чтобы отображение я сохраняло всю структуру множества 81 как С -алгебры. Дело в том, что подобное требование удовлетворяется автоматически, если выполнены три условия, перечисленные в определении представления. В частности, непрерывность отображения я следует из того, что морфизм я действующий из алгебры Банаха с инволюцией (в. данном случае 3 ) в С -алгебру [в данном случае ( )], всегда ) удовлетворяет условию II я (/ ) II II7 . [c.106]

Предположим, что гладкие функции Н и Г коммутируют (находятся в инволюции ) Н,Г = 0. Тогда Г — первый интеграл канонической системы с гамильтонианом Н, и наоборот. JJ>a-зовые потоки и др этих систем также коммутируют на М. Так как Г, С , Н = , Я , С - С, Я , Г , то интегралы любой гамильтоновой системы образуют подалгебру в алгебре Ли всех гладких функций на М (теорема Пуассона). [c.23]

Следствие. Если гамильтонова система с п степенями свободы имеет п независимых интегралов в инволюции (алгебра si- коммутативна), то ее можно проинтегрировать в квадратурах. [c.121]

Поэтому / 1, 2 = 0. и интегралы , N1, А) уравнения Эйлера находятся в инволюции на каждой орбите Од,. В работах [176, 177] Мищенко и Фоменко доказали независимость интегралов а, (/И, Л) на орбитах Од,, содержащих почти все М, обобщили систему интегралов и доказали интегрируемость в квадратурах уравнений движения обобщенного твердого тела с пространством угловых скоростей — полупростой алгеброй Ли. [c.311]

Пусть заданы комплексное гильбертово пространство Ж и С -алгебра 33 (Ж) всех ограниченных операторов на Ж, снабженная обычными алгебраическими операциями, операторной нормой и инволюцией (в качестве последней мы будем рассматривать операцию сопряжения). Алгеброй фон Неймана Я называется -подалгебра алгебры 33 (Ж), такая, что = В явном виде условия, налагаемые на алгебру фон Неймана, означают, что [c.145]

Результат 3. Пусть 3 93(5 ) (г = 1, 2)две алгебры фон Неймана. Предположим, что существует инволюция пространства Ж и такая, что = и 11111=1 для любого элемента 1 из центра Зi алгебры Ш1. Тогда всякий С -изоморфизм а алгебры Э , на алгебру Ш2 унитарен. [c.204]

С -алгеброй (или Н -алгеброй) называется комплексная (или действительная) банахова алгебра с инволюцией, такая, что 1Р = для всех Я. Заметим, что наша алгебра всех наблюдаемых обладает всч ли свойствами 7 -алгебры, кроме ассоциативности, причем инволюцию можно рассматривать юак тождественное отображение, которое, очевидно, является антиавтоморфизмом, поскольку алгебра 91 абелева (Л оВ =В о Л). Подчеркнем, что множество 51 всех самосопряженных элементов (ассоциативной ) С -алгебры (или 7 -алгебры) 8 является алгеброй Сигала и что в этом случае симметризованное произведение А° В = 2 (Л + В) — А — В ) имеет простой вид Л <> В= 2 АВ ВА), где озйачает произведение в Алгебра Сигала может быть либо специальной (комплексной или действительной), либо исключительной в зависимости, от того, изоморфна ли она множеству всех самосопряженных элементов С - или 7 -алгебры. Как и в случае йордановых алгебр, абстрактные критерии специальной алгебры Сигала неизвестны ). Неизвестно также, является ли в общем случае алгебра 21 всех наблюдаемых физической системы специальной в указанном смысле. [c.96]

Определим на Д(< с) инволюцию, задав ее соотношением Я ( ) = Я — ) Нетрудно убедиться, что эта инволюция обладает свойством (Я1Я2) — Я2Я1, в силу которого А(ё с) стано- вится алгеброй с инволюцией. [c.304]

Таким образом, форма ф непрерывна на А(ёс) и может быть продолжена по непрерывности до положительной (непрерывной) линейной формы на банаховой алгебре с инволюцией Д] (< с), причем (ф /)= 1, т. е. ф есть состояние на А1 ( с). Возвращаясь к доказательству теоремы 14 из гл. 1, 3, мы видим, что оно проходит лищь в том случае, когда 8 — банахова алгебра с инволюцией, наделенная единицей. Пусть я<р — представление ГНС алгебры А] (< с), ассоциированное с ф. На основании цикличности представления Яф мы можем путем прямых выкладок убедиться, что слабая операторная непрерывность операторов Яф (Кк ) по Я, УЯ, е К, / е ( с, следует из условия 2. Та м образом, Яф принадлежит Р( с). Пользуясь предыдущей лем- [c.308]

Траекторная теория для неаменабельных групп. Жесткость 102 5. Заключительные замечания. Связь с теорией алгебр с инволюцией. ...............105 [c.6]

В общем случае приведенные четыре интеграла не инволютивны, поэтому простое их указание (даже всех четырех) не является доказательством интегрируемости системы. Гамильтониан Н и момент инерции I находятся в инволюции, третьим же интегралом в инволюции является - - Q . Таким образом, задача 3-х вихрей действительно является интегрируемой. Современное изложение данного вопроса можно найти в книге А. В. Борисова, И. С. Мамаева Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике . [c.72]

Прежде всего напомним некоторые принятые математические определения, которые понадобятся нам в дальнейшем. Инволюцией на комплексной (или действительной) алгебре 91-называется инволютивный антиавтоморфизм (обозначаемый звездочкой ) алгебры 8 , т. е. отображение алгебры на себя, обладающее следующими свойствами ( ) = / , ( -1-5) =/ -1-5, (Я/ ) = = К Я и [Н8) = 8 Я для всех Я, 5 е и всех комплексных Я (Я — это величина, комплексно-сопряженная с Я). Если алгебра 91 действительна, то, очевидно, Я = Я. [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...