Множество связное, замкнутое

Рассмотрим теперь основные свойства положительного предельного множества Л. К ним относятся следующие свойства 1) множество Л не является пустым 2) множество является замкнутым 3) множество является связным [c.387]

Континуумом, как обычно, называем связное, замкнутое множество. [c.197]

Лемма 6. Множество К замкнуто и связно т. е. является континуумом). [c.278]

Общая теория, изложенная в главе VII, показывает, что всякое движение имеет в связном замкнутом множестве своих а- (w)- предельных движений некоторое множество рекуррентных движений. [c.247]

Возникает вопрос в какой мере связные замкнутые а- и ш-пре-дельные множества могут быть заданы по желанию Но очевидно, что так как данное движение приближается к своим ш-предельным движениям асимптотически при возрастании времени, то возможно найти последовательность безгранично возрастающих дуг [c.248]

Доказательство. Сначала докажем, что еслн с — такие непересекающиеся замкнутые множества, что множества связны (г = 1, 2), то множество и ) ли- [c.719]

Прежде чем переходить к доказательству общих теорем относительно возможного характера предельных траекторий — теорем, которые представляют для нас сейчас наибольший интерес, напомним, что называется замкнутым множеством (в теоретико-множественном смысле), и введем понятие связного множества. Как известно, множество точек (на плоскости) называется замкнутым, если оно содержит все свои точки сгущения. Таким образом, если последовательность точек, принадлежащих данному замкнутому множеству К, стремится к некоторой точке N0, то эта точка N0 непременно является точкой множества К. Замкнутое множество называется связным, если оно не может быть представлено как сумма двух замкнутых множеств, не имеющих друг с другом общих точек. Заметим, что если мы имеем два замкнутых множества без общих точек, то наименьшее из расстояний между любыми двумя точками, из которых одна принадлежит одному множеству, а другая — другому, отлично от нуля. [c.400]

Однако последнее равенство невозможно, так как точка ро принадлежит либо множеству А, либо множеству В. Итак, предположение о том, что Л состоит из двух отдельных множеств, привело к противоречию аналогично доказывается, что Л не может состоять из нескольких множеств. Таким образом, Л является непустым замкнутым связным множеством. [c.388]

Теорема 5. Множество М граничных точек объединения замкнутых областей Л и S имеет нетривиальное разбиение, классами которого являются связные подмножества А s В граничных точек А и ВР А граничных точек В. [c.243]

При фиксированных значениях Д, I2, I3, h = 1 обозначим через S множество точек х К ж1,. .., же , которые удовлетворяют системе уравнений (1.2). Ясно, что S инвариантно относительно группы g сдвигов по траекториям уравнений (1.1). Так как S замкнуто и ограничено в R , то оно компактно. Всюду ниже рассматриваются только такие множества S, на которых первые интегралы (1.2) независимы. В этом случае S — гладкое двумерное многообразие. Исключительные значения параметров Ji, I2, I3 образуют множество нулевой меры. Точно так, как в 1 гл. VII, доказывается, что каждая связная компонента множества S является двумерным тором. [c.200]

Теорема 9. Множество К всех предельных точек полутраектории (или, что то же самое, множество всех ы-предельных точек траектории Ь() а) замкнуто б) связно в) состоит из целых траекторий. [c.105]

Множество К, будучи замкнутым и связным, является континуумом (см. дополнение, 1). [c.106]

Теорема 2. Множество всех предельных точек полутраектории замкнуто, связно и состоит из целых траекторий. [c.46]

Если бы совокупность Е не была минимальной, то она содержала бы собственное подмножество Е подобного же рода, к которому пс принадлежала бы какая-то точка Q совокупности Е. Но когда точка Р приблизится достаточно близко к какой-нибудь точке совокупности Е, то она останется в течение сколь угодно большого интервала времени вблизи от этой замкнутой, связной, состоящей из кривых дви кения совокупности, и, таким образом, не может приближаться в этом интервале времени к точке Q. Таким образом, требуемое условие не будет выполнено точечной группой, порождаемой Р(. Следовательно, Е есть минимальное множество, и наше движение рекуррентно. [c.204]

Пусть Р — рассматриваемая совокупность ш-предельных точек движения точки Р. Допустим, что она не связна. Тогда она представляется как сумма двух непустых замкнутых множеств Р1 и Рг, не имеющих общих точек. Эти множества находятся па положительном расстоянии друг от друга. Обозначим через С, совокупность точек, находящихся [c.396]

Имеется естественное взаимно однозначное соответствие между классами сопряженности подгрупп Г[(М) и классами накрытий по модулю гомеоморфизмов, коммутирующих с накрывающими преобразованиями. В частности, универсальное накрывающее пространство единственно. Это взаимно однозначное соответствие может быть описано следующим образом. Предположим, что (М, ir) — накрытие М и х. ir y). Так как многообразие М линейно связно, существуют такие кривые с [0,1]— М, что с( ) = х для = 1,2. Под действием тг они проектируются в замкнутые кривые на М. Любое непрерывное отображение индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп. Любое непрерывное отображение обладает поднятием, так что гомотопия цикла тг о с, сохраняющее точку jf, может быть поднята до гомотопии кривой с, и, так как по предположению множество у) дискретно, эта гомотопия сохраняет концы. В частности, гомотопные кривые проектируются в гомотопные кривые, и если положить X, = Х2, то фундаментальная группа пространства М вкладывается в фундаментальную группу М как подгруппа. Это подгруппа, соответствующая накрытию. Кроме того, эта подгруппа является собственной, если проекция тг не является гомеоморфизмом, т. е. накрытие нетривиально. Таким образом, у односвязного пространства нет нетривиальных собственных накрытий. Можно также показать, что любые два накрытия М, и многообразия М обладают общим накрытием М", так что универсальное накрывающее определено однозначно. Любое топологическое многообразие обладает универсальным накрывающим. [c.696]

Первая основная теорема. Множество предельных точек данной полутраектории является замкнутым, связным и состоит из целых траекторий. [c.401]

Для доказательства того, что множество К связное, предположим противное, т. е. предположим, что оно несвязное и, следовательно, в силу того, что оно является замкнутым, может быть представлено в виде суммы двух замкнутых множеств К и К<ц без общих точек (при этом множества Кх и ЛГ содержат все предельные точки 1+). Наименьшее расстояние между двумя точками, одна из которых принадлежит множеству К, а другая множеству К<1, отлично от нуля. Пусть Ро — это расстояние. Возьмем и рассмотрим [c.401]

И, наконец, мы покажем, что ф гомеоморфно отображает компактное множество и на замкнутый диск Достаточно доказать, что две различные точки г ф г на границе дП должны иметь различные образы ф г) ф ф(г ) в 9В . Предположим противное, т. е. что ф г) = ф(г ) = = = и 6 9В . Выберем последовательность точек Zj 6 II, сходящуюся к г, и последовательность точек г 6 II, сходящуюся к г. Тогда последовательности ф г ) и ф г ) сходятся к одной и той же предельной точке в 9В . Пусть Lj — прямолинейный отрезок, соединяющий в Вг точки ф г ) и ф г ), и X С ди — множество точек накопления кривых ф Ьу) при j -> 00. Тогда нетрудно показать, что X является компактным связным множеством, содержащим обе точки г и г, и что /(X) состоит из единственной точки, лежащей в II. Очевидно, это невозможно. [c.104]

Случай 1. Если каждый ТУ/, ограничен одной простой замкнутой кривой, то С ТУ/г СВЯЗНО, И С Д), будучи пересечением последовательности вложенных множеств, само является связным. [c.106]

Связные множества. Континуум и область. Множество К называется связным, если его нельзя представить как сумму двух непустых ненересекающихся множеств АГ и А 2, каждое из которых содержит все те свои предельные точки, которые принадлежат К. Б частности, замкнутое множество связно, ес.ти оно не может быть представлено как сумма двух непустых замкнутых множеств без общпх точек, а открытое множество связно, если оно не может быть представлено как суьша непустых открытых множеств без общих точек. [c.520]

Необходимым и достаточным условием интранзитивности связного лтожества центральных движений является существование в этом множестве инвариантной связной замкнутой области, составляющей только часть его. [c.210]

Применяемый способ выбора системы независимых контуров и сечений основан на построении фундаментального дерева в графе схемы. Используется полюсный граф, повторяющий структуру эквивалентной схемы. Фундаментальное дерево связного графа есть связный подграф, включающий р—1 ребро и не имеющий циклов. Ребра, вошедшие в дерево, образуют множрхтво ветвей дерева (ВД), а остальные ребра — множество ветвей, называемых хордами (ВХ). Контуром k-Pi хорды называют подмножество ребер графа (ветвей схемы), входящих в замкнутый контур, образуемый при подключении k-Pi хорды к дереву. Сечения образуются следующим образом отделим часть вершин графа от остальных с помощью замкнутой линии сечения, проведя ее так, чтобы ни одно ребро не пересекалось более одного раза и при этом пересекалась одна и только одна ветвь дерева. Следовательно, каждому сечению соответствует определенная ветвь дерева. На рис. 4.10, а для примера приведена некоторая схема, а на рис. 4.10, б —ее граф с выделенным жирными линиями фундаментальным деревом. Штрихом показаны линии сечения. Уравнения токов Кирхгофа для сечений ветвей дерева и напряжений Кирхгофа для контуров хорд образуют систему независимых топологических уравнений [c.179]

Очевидно, что граф планарен тогда и только тогда, когда планарны все его связные компоненты. Поэтому для определения планарности рассматривают связные графы. Распространенная методика определения планарности заключается в нахождении в графе G максимального цикла С (лучше всего гамильтонова) и размещении его на плоскости в виде замкнутой самопересекающейся кривой. Далее в оставшейся части определяют пересекающиеся по ребрам пути и предпринимают попытки разместить каждый из этих путей либо полностью внутри С, либо полностью вне С. Если таким образом размещается весь граф, то он планарен, в обратном случае не планарен. Основная проблема — иметь возможность генерирования множества путей, выбора областей для планарного размещения и перестановки путей. Сложность алгоритма — 0(п). [c.212]

Задача (V) . Пусть S — замкнутая поверхность класса Л (0), огра-ничиваюш.ая область D , — некоторая связная часть S hS2 = S Si. Замкнутую кривую 7 на S, обш,ую границу Si и S2 отнесем к S2, считая Si открытым и S2 замкнутым множеством. [c.272]

Для доказательства связности множества К предположим нротивное, т. е. что К не связно. Тогда в силу замкнутости оно может быть представлено как сумма двух замкнутых множеств Ку и Кг, не имеющих общих точек и, следовательно, находящихся на конечном расстоянии Qo друг [c.278]

Из самого определения множества К следует, что каждая кривая (при достаточно больших /) имеет точку как в Ку , так и в Кге- Но тогда, так как замкнутая кривая есть связное множество, на каждой кривой С, существуют точки, не принадлежащие ни ни Кге- Выберем по одной такой точке на каждой кривой С , и пусть Р — точка сгущения последовательности точек РОчевидно, точка Р принадлежит множеству К, и в то же время не принадлежит ни Ку, ни Кг, что не может быть. Таким образом, лемма доказана. [c.278]

Замкнутое связное множество пространства называется континуумом. Открытое связное множество называется областью. Всякое открытое множество может быть представлено как сумма конечного или бесконечного числа ненересекающихся областей. [c.520]

Если дана область g, то замкнутой областью д мы будем называть замыкание ц.. т. е. множество всех точек ё и всех граничных точек g (g — замкнутое связное мпожество, т. е. континуум). [c.520]

Множество точек плоскости пазывается замкнутым, если оно содержит все свои точки сгущения. Замкнутое, ограниченное (т. е. целиком лежащее в ограниченной части плоскости) множество называется связным, если оно не может быть представлено как сумма двух замкнутых множеств без общих точек. Заметим, что если мы имеем два замкнутых множества без общих точек, то наименьшее из расстояний между любыми двумя точками, из которых одна принадлежит одному множеству, а другая — другому, отлично от нуля. [c.46]

Граница всякой ограниченной области может состоять либо из одного связного куска — граничного континлгма , т. е. замкнутого связного множества, либо из двух, трех и т. д. граничных континуумов (либо из бесконечного числа граничных континуумов, но этот слзгчай не представляет для нас интереса). Если граница области состоит из одного граничного континуума, то область называется односвязной, если из двух, трех и т. д., то область соответственно называется двусвязной и т. д., один из граничных континуумов называется внешним граничным континуумом, остальные — внутренними. [c.55]

Продолжая таким же образом, мы определим бесконечную последовательность El, Ег,. .. замкнутых, связных, состоящих из кривых движения совокупностей, ка кдая из которых содержится в предыдущих. Возьмем теперь в каждой Е какую-нибудь точку Р и пусть Р будет предельная точка совокупности точек Р, разумеется, принадлежит Е, как предельная точка последовательности точек множества Е. Кроме того, так как Р содержится в Е, гп п), то предельная точка Р принадлежит Е, Ei,. .. Следовательно, вся кривая движения, проходящая через Р, принадлежит Е, Ei,. .. (так как Е, Ei,. .. состоят из кривых движения). Но отсюда и из способа определения совокупностей El, Ег,. .. следует, что кривая движения проходит через все области R-й сети, через которые проходит Ед, и, следовательно, ее предельными точками дол кны быть все точки общей части Е,,, совокупностей Е, El, Ег,. .. [c.205]

Будем теперь все более и более уменьшать диаметр области а. Предельное замкнутое множество( ), полученное таким образом, связно содержит инвариантную точку и точки границы 8 и будет оставаться в 3 после любого числа повторений преобразования Т . Если мы повторим это же рассуждспис, по заменив Т па Т , то получим второе подобное ке мпо кество, остающееся внутри 3 при всех последовательных повторениях преобразования Т. Очевидно, что эти два связных множества соответствуют двум связным семействам движений, обладающих указанными свойствами. [c.231]

Таким образом, вообще говоря, наша процедура не определяет отображения (ни в каком направлении) между пространством X и подмножеством пространства последовательностей Чтобы мы могли получить приемлемую взаимосвязь между топологией фазового пространства и топологией пространства последовательностей, подмножества нашего разбиения должны быть замкнутыми. Таким образом, если, скажем, X — связное многообразие, то первой трудности избежать нельзя. Здесь нужно сделать две оговорки. Во-первых, в случае полулокального анализа иногда можно избежать перекрытий, как мы увидим позднее в этом параграфе. Во-вторых, наличие перекрытий, имеющих меру нуль, несущественно в случае, когда мы исследуем статистические свойства орбит, типичных в смысле некоторой меры, инвариантной для / (см. 4.1), так как тогда множествами нулевой меры можно просто пренебречь. [c.92]

Чтобы понять топологию множества Л, рассмотрим сначала множество С П Л. Оно получено с помощью канторовского процесса. Действительно, это множество, очевидным образом, замкнуто (как пересечение замкнутых множеств) и совершенно. Следовательно, Л локально гомеоморфно декартову произведению интервала и канторова множества. Однако глобальная структура множества Л сложнее, поскольку Л по построению связно (см. упражнение 17.1.1). Таким образом, Л представляет собой сложным образом намотанный соленоид. [c.535]

Канторово множество и множество Q с R вполне несвязны. Нетрудно видеть, что компоненты связности замкнуты. Таким образом, компоненты связности открыты, если имеется конечное число таких компонент, н вообще, если каждая точка обладает связной окрестностью (т. е. пространство локально связно). Это свойство не выполняется для множества Q. [c.694]

Чтобы доказать лемму, выберем замкнутое множество Р С 50, и заметим, что любая точка X 6 дОЛР обладает связной окрестностью, не пересекающейся с F, так что Р не отделяет О, от О2. Но это значит, что если 90, = и и наши множества не пересекаются и замкнуты, то мы приходим к противоречию со сделанным выше наблюдением. [c.719]

Если М связно, то следующие утверждения попарно эквивалентны 1) 01 —М 2) ДС не имеет собственных (отличных от 0 м М) аттракторов 3) если V—непустое открытое множество и />0, то (свойство слабой несжимаемости). В общем случае 32 совпадает с объединением всех тех замкнутых инвариантных подмножеств ЛспМ, ограничение на которых нашей ДС (т. е. ДС д А ) обладает свойством слабой несжимаемости [17], однако само 32 этим свойством может не обладать. [c.210]

Доказательство. Допустим, что для устойчивости + движения /(р, /) множество не является связным. Тогда его можно представить в виде суммы двух непустых замкнутых непересекающихся множеств = Так как компактно, то расстояние р(А, В)=<1 между мно кествами А и Сбудет в этом случае положительным Рассмотрим две точки геЛ г. г еВ. Так как обе точки гиг являются и-предельными для движения /(/>, /), то найдутся такие две последовательности значений времени 1- +со и что /(р, ) - г, [c.38]

Замкнутое множество М называется связным, если его нельзя представить i виде суммы двух непустых замкнутых непересекающихся множеств i Под расстоянием между множествами Л и В подразумевается inf 6). Еслг [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...