Состояние примарное

Теорема 16. Пусть Я есть С -алгебра, (р —состояние на 91, Яф — представление ГНС алгебры Я, полученное из ф, 23 — множество всех состояний на 91, представимых в виде векторов состояний на Лф(Э ). Тогда Яф — примарное представление в том и только в том случае, если есть соотношение полного упо- [c.179]

Теорема 17. Предположим в обозначениях теоремы 16, что Яф — примарное представление, и обозначим через множество всех чистых состояний на 9 . Тогда представление типа I [c.179]

Кроме того, если состояние ф примарно, то эквивалентны следующие два условия [c.182]

Кроме того, два примарных состояния ф, и фз квазиэквивалентны в том и только в том случае, если их сужения ф1 и ф2 совпадают на 3- [c.182]

Хотя примарным состояниям и их типам уделяется очень большое внимание в математической литературе, наш интерес к этим состояниям обусловлен главным образом тем, что они встречаются в физических приложениях и имеют физический смысл. [c.182]

Следствие 1. Сепарабельное состояние КМШ ф динамической системы (Эг, (5, а является экстремальным состоянием КМШ в том и только в том случае, если оно примарно. [c.264]

Следствие 3. Для любого примарного представления я алгебры 8 , любых двух векторов состояний ф и ф на я(Э ) и любого элемента е Э справедливо равенство [c.367]

Теорема 4. Пусть ф есть R -инвариантное примарное состояние на Тогда [c.367]

И ф — чистое состояние], либо (Я) Я/ [тогда, поскольку все операторы проектирования в л (Э ) эквивалентны тождественному оператору, я ,(Эг) есть фактор типа III и (Я) обладает тем же свойством]. Мы хотели бы научиться различать эти два случая, основываясь лишь на свойствах состояния ф. Рассмотрим для этого более обстоятельно первый случай. Условимся называть состояние примарным, если примарно представление ГНС Лф, которое оно порождает. Примарное состояние ф называется максимальным, если всякое примарное состояние ф е , такое, что фс ф, эквивалентно состоянию ф). Нетрудно видеть [206], что состояние ф, для которого dim<3 q,> 1, чисто в том и только в том случае, если оно примарно и не максимально. Следовательно, приняв требование о том, чтобы состояние ф было одновременно минимальным и максимальным (а также тривиальное требование неравенства dim

l), мы остаемся лишь с примарными представлениями типа III. Наоборот, если л , —примарное представление типа III, то состояние ф должно быть минимальным и максимальным. Итак, мы выяснили, какими свойствами должны обладать состояния, порождаюшие примарные представления типа III. Исключая их, мы можем также охарактеризовать все случаи, в которых представление Лф примарно и принадлежит типу II. Во-первых, состояние ф не может быть минимальным, ибо тогда оно принадлежало бы типу I или III. Предположим далее, что существует минимальное состояние ф, связанное с состоянием ф соотношением фс<ф. В этом случае представление л принадлежало бы типу I или III и было бы унитарно эквивалентно подпредставлению представления л , что невозможно, ибо по предположению Лф принадлежит типу II. Наоборот, если состояние ф обладает тем свойством, что из соотношения ф ф следует неминимальность состояния ф, то мы сначала исключаем минимальность самого состояния ф, а затем примарность представления Лф и его принадлежность типу III. Во-вторых, мы исключаем возможность существования чистого (и, следовательно, минимального) состояния ф, такого, что фс<ф и представление Лф примарно и принадлежит типу I. Таким образом, приведенное выше условие действительно характеризует представление типа II, если заранее предполагается, что представление Лф примарно. Все сказанное можно сформулировать в виде следующей теоремы [c.181]

Обратим теперь наше внимание на те представления С -ал-гебры, которые ассоциированы с состояниями, и попытаемся выяснить, в частности, что можно сказать вообще относительно классификации различных типов факторов циклических представлений. Начнем с предварительных определений и доказательств, относящихся к теореме 16, на которой основана альтернативная классификация примарных представлений. [c.177]

Теорема 19. Примарное состояние ф на С -алгебре 9J бесконечно в том и только в том случае, если 23(р содержит бесконечный набор состояний ф , таких, что Иф —Фт11 = 2 при условии, что пфт) и Ф,1 Фт V/i, т. [c.182]

Комбс [57] предложил следующий способ характеризовать примарные состояния [c.182]

Комбс также отмечает как следствие из этой теоремы, что в сильной топологии пространства Я замкнуты следующие подмножества (множество всех примарных состояний), 0f, и и ш (множества всех примарных состояний, принадлежащих соответственно типам I, II и III). В частности, состояние ф принадлежит множеству Г, если оно является пределом по норме последовательности чистых состояний на Я. [c.182]

Вернемся теперь к теореме 8. Заметим, что если ЭТф = Яф (Я)"/ Яф(9i) i7ф(G) (по существу, именно это условие мы использовали при доказательстве утверждения в теоремы 8), то, в частности, можно заключить, что 9 ф содержится в центре Зф (91) бикоммутанта Яф (Э )" при всех состояниях ф е Отсюда мы заключаем, что из т]-абелевости на примарном состоянии ф. [c.241]

Поскольку чистые термодинамические фазы порождают примарные представления, можно ожидать, что классификация типов таких представлений окажется более доступной задачей, чем аналогичная классификация в случае общего состояния равновесия. Первую теорему в этом направлении доказал Гугенхольц [178]. Он показал, что при конечной естественной температуре р могут встречаться лишь факторы типа III. Ниже мы приводим с незначительными изменениями теорему Гугенхольца и объясняем (в двух примечаниях, следующих за доказательством), по каким физическим причинам мы остановились на избранной нами формулировке. [c.270]

Условие теоремы 7 усиливает замечание, сделанное на стр. 240, в том отношении, что если состояние ф трансляционноинвариантно и Эф = Я/ (а это равенство всегда выполняется, если состояние ф примарно), то состояние ф, очевидно, экстремально трансляционно-инвариантно и обладает не только упоминавшимися ранее кластерными свойствами, но и введенным выше свойством равномерной кластерности. [c.377]

Поскольку квазилокальная алгебра 9i квантовой решеточной системы является сепарабельной по норме простой и неабелевой алгеброй, на которой Z действует т1-абелевым образом, мы можем на основании теоремы 14 из гл. 2, 2 заключить, что всякое Z -инвариантное состояние ф на 3i, где ф — экстремальное состояние на примарное представление алгебры 91 типа III. При рассмотрении этой алгебры факторы типа III возникают разными путями. В частности, Штёрмер [379, 380] изучал произведение состояний на 3 = (8) 3 Y (где 3 Y — тождественные экземпляры одной и [c.386]

Как показал Штёрмер, это условие эквивалентно любому из двух следующих условий а) ф — экстремальное G-инвариантное состояние и б) ф= Фу. где ф ==ф(,. Кроме того, Штёрмер в столь общем случае дал общую классификацию типов примарных представлений, ассоциированных с такими состояниями, когда фо есть фактор-состояние на 9 o. Представление Яф принадлежит к типу / , когда состояние фо есть гомоморфизм, к типу / , когда оно чистое состояние и не гомоморфизм, и к типу П , когда это след и не гомоморфизм. Представление Лф принадлежит к типу П , если состояние фо не является ни чистым состоянием, ни следом и, кроме того, вектор состояния на Лф(Э о), порожденный вектором Фо е Яф , есть след. Наконец, представление Лф принадлежит к типу III, если только что определенное состояние на Яф (Э о) не является следом. И лея такую классификацию, мы можем, исходя из нашей алгебры квазилокальных наблюдаемых квантовой решеточной системы, построить факторы типа 1 , II, и III. Действительно, пусть фо состояние на 3 2. рассмотренное в первых примерах в гл. 2, 1, п. 2, 5. Если = oo, то фо — чистое состояние и не гомоморфизм. Следовательно, ф —примарное состояние типа 1 (физически ф есть основное состояние нашей свобод ной системы, взаимодействующей только с магнитным полем) Если = 0, то фо = след, но не гомоморфизм. Следовательно ф—примарное состояние типа II, (с физической точки зрения ф — состояние при бесконечной температуре). Если О < < оо то, как нетрудно сообразить [поскольку мы в явном виде по строили коммутант Лф (Э о) ], фо принадлежит последнему классу состояний, в силу чего ф —примарное состояние типа III Кстати, данное обстоятельство служит иллюстрацией того что теорема 14 из гл. 2, 2 применима именно в той области которую мы указали. Нетрудно видеть [303], что полученные [c.387]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...