Представление примарное

В действительности эти примарные представления в пределе при = 0 (т. е. при Р = оо) оказываются неприводимыми. [c.47]

Теорема 16. Пусть Я есть С -алгебра, (р —состояние на 91, Яф — представление ГНС алгебры Я, полученное из ф, 23 — множество всех состояний на 91, представимых в виде векторов состояний на Лф(Э ). Тогда Яф — примарное представление в том и только в том случае, если есть соотношение полного упо- [c.179]

Теорема 17. Предположим в обозначениях теоремы 16, что Яф — примарное представление, и обозначим через множество всех чистых состояний на 9 . Тогда представление типа I [c.179]

Во-первых, выясняется, что появление примарных представлений связано с существованием при рассматриваемой температуре единственной термодинамической фазы. Во-вторых, представления типа III, по-видимому, встречаются во всех случаях, а лишь при Г = О встречаются представления 1 и при Т = оо — представления типа IIj. [c.183]

Лемма. Если в дополнение к предположениям, сделанным в предыдущей лемме, представление я примарно, то отображение Яд есть С -изоморфизм для всех элементов g топологической группы О. [c.211]

Следствие 3. Для любого примарного представления я алгебры 8 , любых двух векторов состояний ф и ф на я(Э ) и любого элемента е Э справедливо равенство [c.367]

Доказательство. Пусть Ф и — два любых нормированных вектора из Тогда в Ж существует по крайней мере один унитарной оператор U, такой, что /Ф = . Поскольку представление я примарно, мы имеем Зл( ) = ( - - Стало быть, оператор U принадлежит Зл ( ) = ( я)- На основании следствия 2 мы можем утверждать, что [c.367]

Фербойр и Фербовен [426—429] ) подробно исследовали аналогичный случай системы, представляющей собой счетное множество гармонических осцилляторов с линейным взаимодействием типа Ван Хова (гл. 1, 1), имитирующей либо электромагнитное поле, либо эйнштейновский кристалл. Очевидно, что в такой системе не происходит фазового перехода и все термодинамические представления примарны. При 7 = О они принадлежат типу 1 , при Т фО либо типу 1 (электромагнитное поле), либо типу III (эйнштейновский кристалл). [c.183]

Алгебраические методы, к изучению которых мы приступим ниже, позволяют дать удовлетворительные ответы на поставленные выше вопросы. В частности, загадка калибровочной инвариантности решается, если заметить, что в отличие от фоков-ского представления вычисленное в термодинамическом пределе представление КАС, отвечающее функции распределения, взятой при данной температуре, не является неприводимым и может быть разложено в прямой интеграл примарных представлений ). В результате калибровочных преобразований эти представления отображаются одно в другое, причем так, что, хотя ни рдно из них не обладает калибровочной инвариантностью, получающийся интеграл, как и должно быть, калибровочно-инвариантен, поскольку он определяется гамильтонианом, инвариантным относительно калибровочных преобразований. [c.47]

Обратим теперь наше внимание на те представления С -ал-гебры, которые ассоциированы с состояниями, и попытаемся выяснить, в частности, что можно сказать вообще относительно классификации различных типов факторов циклических представлений. Начнем с предварительных определений и доказательств, относящихся к теореме 16, на которой основана альтернативная классификация примарных представлений. [c.177]

Доказательство. Предположим сначала, что представление Пф примарно и принадлежит типу I, т. е. что его бикоммутант Яф (9г)" и, следовательно, коммутант Лф(9г) дискретны. Тогда в ЗХф (9 ) существует по крайней мере один минимальный оператор проектирования Р. Образуем подпредставление Пщ Ш)Р. [c.179]

И ф — чистое состояние], либо (Я) Я/ [тогда, поскольку все операторы проектирования в л (Э ) эквивалентны тождественному оператору, я ,(Эг) есть фактор типа III и (Я) обладает тем же свойством]. Мы хотели бы научиться различать эти два случая, основываясь лишь на свойствах состояния ф. Рассмотрим для этого более обстоятельно первый случай. Условимся называть состояние примарным, если примарно представление ГНС Лф, которое оно порождает. Примарное состояние ф называется максимальным, если всякое примарное состояние ф е , такое, что фс ф, эквивалентно состоянию ф). Нетрудно видеть [206], что состояние ф, для которого dim<3 q,> 1, чисто в том и только в том случае, если оно примарно и не максимально. Следовательно, приняв требование о том, чтобы состояние ф было одновременно минимальным и максимальным (а также тривиальное требование неравенства dim

l), мы остаемся лишь с примарными представлениями типа III. Наоборот, если л , —примарное представление типа III, то состояние ф должно быть минимальным и максимальным. Итак, мы выяснили, какими свойствами должны обладать состояния, порождаюшие примарные представления типа III. Исключая их, мы можем также охарактеризовать все случаи, в которых представление Лф примарно и принадлежит типу II. Во-первых, состояние ф не может быть минимальным, ибо тогда оно принадлежало бы типу I или III. Предположим далее, что существует минимальное состояние ф, связанное с состоянием ф соотношением фс<ф. В этом случае представление л принадлежало бы типу I или III и было бы унитарно эквивалентно подпредставлению представления л , что невозможно, ибо по предположению Лф принадлежит типу II. Наоборот, если состояние ф обладает тем свойством, что из соотношения ф ф следует неминимальность состояния ф, то мы сначала исключаем минимальность самого состояния ф, а затем примарность представления Лф и его принадлежность типу III. Во-вторых, мы исключаем возможность существования чистого (и, следовательно, минимального) состояния ф, такого, что фс<ф и представление Лф примарно и принадлежит типу I. Таким образом, приведенное выше условие действительно характеризует представление типа II, если заранее предполагается, что представление Лф примарно. Все сказанное можно сформулировать в виде следующей теоремы [c.181]

Изложенную классификацию примарных представлений и их типов впервые провел Кадисон [206], который также предложил следующее описание всех примарных представлений, принадлежащих любому из трех типов 1 , и III [c.182]

Чтобы завершить перечень результатов, относящихся к простейшим из возможных моделей, представляющих интерес для статистической механики, упомянем о работе Елинека [192], посвященной анализу модели БКШ. Елинек получил следующие представления при Г = О прямой интеграл неприводимых представлений, при > Г > О прямой интеграл примарных представлений типа III, при оо > Г > примарное представление типа III и, наконец, при Т — оо примарное представление типа И. [c.183]

Пусть я 9 58 ( ) — произвольное представление С -ал-гебры 9 и а — любой ее Йорданов -автоморфизм. Для всех 7 е 91 образуем отображение я (а [/ ]), которое индуцирует Йорданов -автоморфизм Ол множества я (9 ) в том и только в том случае, если а отображает ядро представления я в себя. Если представление я примарно, т. е. я (Ш)" я (9 ) = Я/ , то в силу теоремы 1 Р О или Р = 1. Следовательно, — либо С -авто-морфизм, либо С -антиавтоморфизм. [c.200]

Рассмотрим теперь в предположениях леммы частный случай, в котором представление я примарно, т. е. бикохммутант я (91)" является фактором. Из теоремы 1 мы знаем, что отображение Яд есть либо С -гомоморфизм С -алгебры 5 на я (О ), либо С -антигомоморфизм. Докажем, что если топологическая группа С связна, то во втором случае нарушалась бы только что доказанная непрерывность. Не ограничивая общности, мы можем предположить, что алгебра я (9 ) не абелева [если бы алгебра я(0 ) была абелевой, то нам можно было бы не проводить различия мелсду С -гомоморфизмами и С -антигомо-морфизмами]. Тогда в Я существуют такие элементы А я В, что I ( F, я (Л) я (В) — я (В) я (Л) Ф) I = б > О при некоторых и Ф из Ж. При любом значении положительной величины е определим окрестность N (е е) единицы в группе С как пересечение трех окрестностей [c.210]

Поскольку чистые термодинамические фазы порождают примарные представления, можно ожидать, что классификация типов таких представлений окажется более доступной задачей, чем аналогичная классификация в случае общего состояния равновесия. Первую теорему в этом направлении доказал Гугенхольц [178]. Он показал, что при конечной естественной температуре р могут встречаться лишь факторы типа III. Ниже мы приводим с незначительными изменениями теорему Гугенхольца и объясняем (в двух примечаниях, следующих за доказательством), по каким физическим причинам мы остановились на избранной нами формулировке. [c.270]

Поскольку квазилокальная алгебра 9i квантовой решеточной системы является сепарабельной по норме простой и неабелевой алгеброй, на которой Z действует т1-абелевым образом, мы можем на основании теоремы 14 из гл. 2, 2 заключить, что всякое Z -инвариантное состояние ф на 3i, где ф — экстремальное состояние на факторы типа III возникают разными путями. В частности, Штёрмер [379, 380] изучал произведение состояний на 3 = (8) 3 Y (где 3 Y — тождественные экземпляры одной и [c.386]

Как показал Штёрмер, это условие эквивалентно любому из двух следующих условий а) ф — экстремальное G-инвариантное состояние и б) ф= Фу. где ф ==ф(,. Кроме того, Штёрмер в столь общем случае дал общую классификацию типов примарных представлений, ассоциированных с такими состояниями, когда фо есть фактор-состояние на 9 o. Представление Яф принадлежит к типу / , когда состояние фо есть гомоморфизм, к типу / , когда оно чистое состояние и не гомоморфизм, и к типу П , когда это след и не гомоморфизм. Представление Лф принадлежит к типу П , если состояние фо не является ни чистым состоянием, ни следом и, кроме того, вектор состояния на Лф(Э о), порожденный вектором Фо е Яф , есть след. Наконец, представление Лф принадлежит к типу III, если только что определенное состояние на Яф (Э о) не является следом. И лея такую классификацию, мы можем, исходя из нашей алгебры квазилокальных наблюдаемых квантовой решеточной системы, построить факторы типа 1 , II, и III. Действительно, пусть фо состояние на 3 2. рассмотренное в первых примерах в гл. 2, 1, п. 2, 5. Если = oo, то фо — чистое состояние и не гомоморфизм. Следовательно, ф —примарное состояние типа 1 (физически ф есть основное состояние нашей свобод ной системы, взаимодействующей только с магнитным полем) Если = 0, то фо = след, но не гомоморфизм. Следовательно ф—примарное состояние типа II, (с физической точки зрения ф — состояние при бесконечной температуре). Если О < < оо то, как нетрудно сообразить [поскольку мы в явном виде по строили коммутант Лф (Э о) ], фо принадлежит последнему классу состояний, в силу чего ф —примарное состояние типа III Кстати, данное обстоятельство служит иллюстрацией того что теорема 14 из гл. 2, 2 применима именно в той области которую мы указали. Нетрудно видеть [303], что полученные [c.387]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...