Канонические преобразования консервативные

Моменты времени to ш t мы можем выбирать произвольно. Следовательно, на движение голономной консервативной механической системы возможно смотреть как па цепочку канонических преобразований переменных qs, р,. [c.231]

Моменты ta и t мы вольны выбирать произвольно поэтому на движение голономной, консервативной механической системы можно смотреть как на цепочку последовательных касательных, или канонических, преобразований. [c.277]

В распоряжении Гамильтона не было теории канонических преобразований, и он сделал свое открытие, исходя из совершенно иных предпосылок. Главная функция Гамильтона не является абстрактным математическим понятием, которое используется только для получения преобразований специального вида она имеет определенный физический смысл. Для того чтобы пояснить ход рассуждении Гамильтона, начнем с консервативной системы, у которой функция Лагранжа L и функция Гамильтона Н не зависят явно от времени. Именно такие функции встречаются в оптике, и это явилось для Гамильтона исходным пунктом как для оптики, так и для механики. Обобщение на случай неконсервативных систем может быть сделано очень просто задача сводится к случаю консервативных систем путем включения времени t в число механических переменных. [c.257]

Цепь наших рассуждений, приведшая к распространению свойств консервативных систем на произвольные реоном-ны системы, основывалась на добавлении к фазовому пространству двух новых измерений t и pt. Можно действовать и другим методом, оставляя время t независимой переменной и сохраняя обычное фазовое пространство. Можно рассмотреть каноническое преобразование qi, pi в Q/, Pi, не вводя время t в число активных переменных преобразования. Время t входит в -такое преобразование только как параметр, т. е. уравнения преобразования, связывающие старые и новые переменные, непрерывно меняются. При таком зависящем от времени каноническом преобразовании функция Гамильтона Н не является инвариантной. Как видно из уравнения (7.4.13), функция Гамильтона Н для новой системы координат равна [c.273]

Характеристическая функция Гамильтона. Функцию У, входящую в правую часть равенства (14), называют характеристической функцией Гамильтона. Она удовлетворяет уравнению (13) и была введена в п. 177 как не зависящая от времени часть производящей функции 5, задающей свободное каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона f( i,..., pi,..., рп) консервативной или обобщенно консервативной системы к функции % = 0. [c.361]

Для приближенного исследования движения при малых, но отличных от нуля значениях е в механике разработан специальный аппарат теории возмущений, основанный на применении канонических преобразований. Для простоты ограничимся здесь случаем консервативной или обобщенно консервативной системы с одной степенью свободы (п = 1) Функция Гамильтона (17) имеет вид [c.392]

Другую подгруппу получим, рассматривая канонические преобразования x — x(y,t), являющиеся консервативными (см. конец 18), так что х = х у). Из (6) видно, что и для этой подгруппы преобразований R(y,t) =0, так что (5) сводится к К = iH. Из (13) поэтому следует, что консервативное каноническое преобразование является полностью каноническим тогда и только тогда, когда его множитель равен -f 1. [c.38]

В соответствии с этим консервативные канонические преобразования у = у х) характеризуются тем свойством, что скалярная [c.38]

Уравнения Гамильтона инвариантны не только по отношению к преобразованиям переменных, о которых уже была речь, но и по отношению к так называемым каноническим преобразованиям, которые играют важную роль при изучении консервативных систем со многими степенями свободы. [c.143]

Из канонических уравнений (6.6.1) непосредственно следует, что это соотношение выполняется, причем не только для консервативных, но и для произвольных систем. Напомним теперь, что теорема Грина, переводящая объемный интеграл от дивергенции в интеграл, определяющий поток через поверхность, применима в случае п измерений в такой же степени, как и в случае трех измерений. Ввиду наличия такого преобразования уравнение для дивергенции [c.208]

Общая параметрическая формулировка канонических уравнений в форме (6.10.15) с теоретической точки зрения обладает серьезными преимуществами по сравнению с другими формулировками. Ее можно считать наиболее выразительной формой канонических уравнений. Она совсем по-новому освещает роль консервативных систем. Заметим, что после преобразования времени t в одну из механических переменных любая система становится консервативной. Обобщенная функция Гамильтона К не зависит явно от независимой переменной т, и поэтому наша система в расширенном фазовом пространстве становится консервативной. Движение фазовой жидкости является установившимся, и каждая частица жидкости все время находится на какой-то определенной поверхности [c.221]

Из 40 и 35 ясно, что консервативное бинарное преобразование является полностью каноническим тогда и только тогда, когда [c.42]

Таким образом, каноническое расширение (6) консервативного координатного преобразования является консервативным и полностью каноническим (см. 34) ). [c.50]

Так как рассматриваемая система консервативная, то функция Гампльтопа равна полной энергии системы, т. е. Я = Л. Найдем такое каноническое преобразование, при котором бы новая функция Гамильтона пе содержала r.oBoi i координаты q, а новый импульо входил бы в первой стеиеин, т. е. [c.151]

Теория преобразований Якоби. Рассмотрим консервативную механическую систему с заданной функцией Гамильтона Н, не завнсяще от времени /. Преобразуем механические переменные q , q,u Pi,..-, рп в новую совокупность переменных Qi,..., Qn, Pi, Рц с помо1П,ью некоторого канонического преобразования. При этом наложим лишь одно условие, а именно чтобы в качестве одной из переменных, например Q , была взята функция Н. [c.266]

Резюме. Вместо того чтобы пытаться непосредственно интегрировать канонические уравнения, мы можем применить процесс преобразования. При этом для консервативной системы отыскивается каноническое преобразование, переводящее функцию Гамильтона Н в одну из новых переменных. Для реоном-ной системы ищется зависящее от времени каноническое преобразование, преобразующее Н в нуль. В обоих случаях найденное преобразование решает задачу о движении, так как в новой системе координат канонические уравнения могут быть непосредственно проинтегрированы. Для нахождения искомого преобразования и его выполнения нужно найти какое-либо полное решение уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.275]

В случае динамической системы частиц, взаимодействующих посредством сил, не зависящих от скорости, естественно использовать физические переменные, например декартовы компоненты радиусов-векторов и скоростей частиц, или переменные, связанные с ними преобразованием с постоянным якобианом (в частности, для консервативных сил так называемые канонические переменные связаны с декартовыми компонентами радиусов-векторов и импульсов преобразованием с единичным якобианом). Действительно, в силу теоремы Лиувилля элемент объема YldXf dlf не меняется при эволюции системы, и именно данное свойство выделяет этот элемент объема среди других возможных мер. [c.118]

Если преобразование х = x y,t) является каноническим, а I0 — некоторое фиксированное значение t, то консервативное преобразование х = x y,to) является также каноническим. Это видно из (3), если положить [х == onst. Если же известно только, что преобразование х=х у, t) оказывается каноническим при любом фиксированном t = io, то оно может и не быть каноническим при переменном t, так как тогда ничто не гарантирует независимость [х от I, т. е. выполнения условий интегрируемости (8) системы (6). Из изложенного в 28, 30 следует, что преобразование X = x y,t) лишь тогда удовлетворяет условию (3) при любых у и любом t и является, следовательно, каноническим, если оно удовлетворяет [c.39]

Пусть 6 — постоянная 2/г-матрица т = 2п). Назовем ее каноническо1т матрицей, если линейное консервативное преобразование у = Сх является каноническим в смысле определения, данного в 27. Поскольку якобиева матрица ух равна в данном случае С, то из 27 вытекает, что С является канонической матрицей тогда и только тогда, когда существует скалярный множитель О такой, что [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...