Консервативные преобразовани

Преобразования Т такого рода будем называть консервативными преобразованиями . Возникает следующая проблема. [c.325]

Проблема IV. При заданном консервативном преобразовании Т доказать существование соответствующей гамильтоновой системы и, в частности, системы геодезического типа. [c.325]

Проблема V. Пусть Т — какое-либо консервативное преобразование с неподвижной точкой Р устойчивого типа. Определить условия, при которых вблизи Р существует бесконечное множество точек, неподвижных при преобразованиях Т . [c.325]

Квадратичный интеграл 61 Кинетическая энергия 34 Консервативная динамическая система 29 Консервативные преобразования 327 [c.405]

Будем называть функцию консервативной, если она не зависит явно от времени. Например, преобразование (110 — (Иг) назовем консервативным, если У = у х) и, следовательно, х = х у). Консервативные функции х отображаются с помощью консервативных преобразований в функции у, являющиеся также консервативными. Из (З2), 15 видно, что если функция Лагранжа Ь является консервативной (Ь = Ь д, д)), то такой же будет функция Гамильтона Н = Н р,д), и наоборот. [c.27]

Эти результаты можно перенести теперь на случай трех прямоугольных координат. С этой целью рассмотрим для фиксированного значения параметра i консервативное преобразование V = v(q) п = 3 трех координат 51 = аг, gz = У, 7з — v в координаты Vi = , V2 = У], V3 = по формулам [c.197]

Новая потенциальная энергия V может зависеть не только от новых координат q, но и от времени t даже в том случае, когда исходная потенциальная энергия П не зависит явно от t (т. е. когда система является консервативной). Такая ситуация может возникнуть при преобразованиях (8), содержащих t в явной форме. Новая потенциальная энергия V заведомо не будет зависеть явно от t, если выполнены два условия исследуемая система консервативна и t не входит явно в формулы преобразования координат (8). [c.132]

Таким образом, мы установили, что закон сохранения механической энергии для консервативных систем имеет место в любых координатах /l,. .., если преобразование (9) стационарно. [c.143]

Если поле стационарно, т. е. если ГГ не зависит явно от времени, то система консервативна. При движении консервативной системы ее полная энергия Е, подсчитанная относительно декартовой системы координат, не изменяется. Этим же свойством обладает полная энергия консервативной системы Е, подсчитанная относительно любой иной системы координат Qi,. .., q , если преобразование новых координат q в декартовы стационарно, т. е. не зависит явно от времени. В этом случае Т = Т = [c.259]

I) В случае ненатуральной системы, вообще говоря, /У может ие зависеть от t не только в том случае, когда система консервативна, а преобразования координат стационарны. Может случиться, что и потенциальная энергия, и формулы преобразования координат явно зависят от времени, но при подсчете Н время i сокращается и в выражение Н явно не входит. [c.264]

Закон сохранения механической энергии для консервативной системы. Рассмотрим консервативную (или обобщенно консервативную) систему. В качестве семейства преобразований (66) возьмем сдвиг по времени [c.290]

Система уравнений (4.1) — (4.4) не содержит сил сопротивления, т. е. описывает малые колебания консервативной системы. В этом случае собственные значения краевой задачи Я (частоты) есть действительные числа. После преобразований получаем систему уравнений относительно векторов Ыо, 0о> АОо и АМо [c.75]

Моменты времени to ш t мы можем выбирать произвольно. Следовательно, на движение голономной консервативной механической системы возможно смотреть как па цепочку канонических преобразований переменных qs, р,. [c.231]

Моменты ta и t мы вольны выбирать произвольно поэтому на движение голономной, консервативной механической системы можно смотреть как на цепочку последовательных касательных, или канонических, преобразований. [c.277]

В консервативной системе с одной степенью свободы билинейная форма может быть понимаема как инвариант Пуанкаре, спинор — как некоторое частное решение уравнений в вариациях Пуанкаре для некоторого возмущенного движения. Группа преобразований движения, как это хорошо известно, будет бинарной группой. [c.358]

Рассмотрим общую схему применения численного метода сеток к расчету плоского неустановившегося течения вязкой несжимаемой жидкости. В качестве исходных можно использовать как уравнения (5.10) Навье—Стокса в проекциях, так и их преобразованную форму [(8.4) и (8.5)] для плоских течений. Уравнения (8.4) и (8.5) обладают тем преимуществом, что не содержат давления и имеют две искомые функции гр и 2. Для построения численного метода уравнение (8.5) переноса вихря удобно использовать в консервативной или дивергентной форме [c.318]

Преимущества вариационной концепции. Хотя принцип Гамильтона в форме (2.2) можно распространить на случай неконсервативных систем и неголономных связей, однако практически этот принцип наиболее полезен тогда, когда можно составить лагранжиан из независимых координат. Вариационный принцип Гамильтона в компактной форме содержит в себе всю механику консервативных голономных систем. Кроме того, этот принцип имеет то достоинство, что в его формулировке фигурируют только такие физические величины, которые не связаны с частной системой обобщенных координат (кинетическая и потенциальная энергии). Поэтому этот принцип автоматически инвариантен относительно преобразования обобщенных координат системы. [c.58]

Из канонических уравнений (6.6.1) непосредственно следует, что это соотношение выполняется, причем не только для консервативных, но и для произвольных систем. Напомним теперь, что теорема Грина, переводящая объемный интеграл от дивергенции в интеграл, определяющий поток через поверхность, применима в случае п измерений в такой же степени, как и в случае трех измерений. Ввиду наличия такого преобразования уравнение для дивергенции [c.208]

Общая параметрическая формулировка канонических уравнений в форме (6.10.15) с теоретической точки зрения обладает серьезными преимуществами по сравнению с другими формулировками. Ее можно считать наиболее выразительной формой канонических уравнений. Она совсем по-новому освещает роль консервативных систем. Заметим, что после преобразования времени t в одну из механических переменных любая система становится консервативной. Обобщенная функция Гамильтона К не зависит явно от независимой переменной т, и поэтому наша система в расширенном фазовом пространстве становится консервативной. Движение фазовой жидкости является установившимся, и каждая частица жидкости все время находится на какой-то определенной поверхности [c.221]

В распоряжении Гамильтона не было теории канонических преобразований, и он сделал свое открытие, исходя из совершенно иных предпосылок. Главная функция Гамильтона не является абстрактным математическим понятием, которое используется только для получения преобразований специального вида она имеет определенный физический смысл. Для того чтобы пояснить ход рассуждении Гамильтона, начнем с консервативной системы, у которой функция Лагранжа L и функция Гамильтона Н не зависят явно от времени. Именно такие функции встречаются в оптике, и это явилось для Гамильтона исходным пунктом как для оптики, так и для механики. Обобщение на случай неконсервативных систем может быть сделано очень просто задача сводится к случаю консервативных систем путем включения времени t в число механических переменных. [c.257]

Цепь наших рассуждений, приведшая к распространению свойств консервативных систем на произвольные реоном-ны системы, основывалась на добавлении к фазовому пространству двух новых измерений t и pt. Можно действовать и другим методом, оставляя время t независимой переменной и сохраняя обычное фазовое пространство. Можно рассмотреть каноническое преобразование qi, pi в Q/, Pi, не вводя время t в число активных переменных преобразования. Время t входит в -такое преобразование только как параметр, т. е. уравнения преобразования, связывающие старые и новые переменные, непрерывно меняются. При таком зависящем от времени каноническом преобразовании функция Гамильтона Н не является инвариантной. Как видно из уравнения (7.4.13), функция Гамильтона Н для новой системы координат равна [c.273]

Из равенства (15 ) при в=1, т. е, для совершенно упругих тел, следует ДТ=0. Таким образом, оказывается, что явления удара между совершенно упругими телами имеют консервативный характер с чисто механической точки зрения. Эти сложные явления, которые, как мы указывали, происходят за очень короткий промежуток времени т, не сопровождаются преобразованием энергии в теплоту взаимному сжатию обоих тел в первой фазе, которая включает в себя преобразование кинетической энергии в потенциальную, соответствует в фазе восстановления полное преобразование энергии в обратном смысле. [c.470]

Отметим, что нами были приняты следующие ограничения а) система является консервативной, б) преобразование координат не зависит от времени, т. е. оси координат неподвижны в пространстве. Эти условия являются достаточными, но не необходимыми для равенства величин Н и Е. Другим случаем, когда это также справедливо, является движение заряженной частицы (мате- [c.64]

Характеристическая функция Гамильтона. Функцию У, входящую в правую часть равенства (14), называют характеристической функцией Гамильтона. Она удовлетворяет уравнению (13) и была введена в п. 177 как не зависящая от времени часть производящей функции 5, задающей свободное каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона f( i,..., pi,..., рп) консервативной или обобщенно консервативной системы к функции % = 0. [c.361]

Для приближенного исследования движения при малых, но отличных от нуля значениях е в механике разработан специальный аппарат теории возмущений, основанный на применении канонических преобразований. Для простоты ограничимся здесь случаем консервативной или обобщенно консервативной системы с одной степенью свободы (п = 1) Функция Гамильтона (17) имеет вид [c.392]

Б5 дем полагать, что известны собственные спектры локальной модели регулируемо подсистемы и консервативного ядра локальной нерегулируемой подсистемы, и осуществим преобразование координат [c.223]

Положим, что найден собственный спектр консервативного ядра (14.2) диссипативной цепной модели (14.1), т. е. определена совокупность Я.1,. .., собственных значений п модальная (и X п)-матрица H = hJ. Осуществляя линейное преобразование оординат в виде [c.230]

Проблема IV. При заданном консервативном преобразовании Г доказать срш,ествование сиитветствцющей тмильтиновий системы и. в частности, сист.вми геодезического тина. [c.325]

Если преобразование х = x y,t) является каноническим, а I0 — некоторое фиксированное значение t, то консервативное преобразование х = x y,to) является также каноническим. Это видно из (3), если положить [х == onst. Если же известно только, что преобразование х=х у, t) оказывается каноническим при любом фиксированном t = io, то оно может и не быть каноническим при переменном t, так как тогда ничто не гарантирует независимость [х от I, т. е. выполнения условий интегрируемости (8) системы (6). Из изложенного в 28, 30 следует, что преобразование X = x y,t) лишь тогда удовлетворяет условию (3) при любых у и любом t и является, следовательно, каноническим, если оно удовлетворяет [c.39]

Пусть 6 — постоянная 2/г-матрица т = 2п). Назовем ее каноническо1т матрицей, если линейное консервативное преобразование у = Сх является каноническим в смысле определения, данного в 27. Поскольку якобиева матрица ух равна в данном случае С, то из 27 вытекает, что С является канонической матрицей тогда и только тогда, когда существует скалярный множитель О такой, что [c.62]

Оказывается, что этот случай имеет место тогда и только тогда, когда консервативное преобразование х = х (с, to) при выбранном соответствующим образам to является каноничеоким с множителем ц = 1. [c.97]

Непосредственно видно, что преобразование (78) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Лагранжиан (так же как и гамильтониан) консервативной системы не зависит явно от времени, а dt = dt, т. е. функция d jdt в данном случае равна единице. Поэтому преобразование (66) заведомо не меняет вид лагранжиана (и, разумеется, гамильтониана) и из теоремы Нётер следует, что консервативная система должна иметь первый интеграл вида (69). Но в данном случае все функции qiy в силу преобразования (78) тождественно равны qj, т. е. не зависят от а, и, следовательно, производные от них по параметру а равны нулю, а д- 1да= и формула (69) принимает вид [c.290]

Таким образом, для случая движения в потенциальных полях мы получили из теоремы Нётер все законы сохранения, которые были рассмотрены выше. Теорема Нётер вскрыла природу их возникновения, связанную с инвариантностью уравнений движения при различных преобразованиях координат и времени. Закон сохранения энергии является следствием инвариантности уравнений консервативной системы при сдвиге вдоль оси времени, закон сохранения количества движения — результат инвариантности уравнений замкнутой системы по отношению к сдвигам вдоль осей координат, а закон сохранения кинетического момента — результат инвариантности уравнений замкнутой системы по отношению к поворотам вокруг осей координат. [c.293]

Так как рассматриваемая система консервативная, то функция Гампльтопа равна полной энергии системы, т. е. Я = Л. Найдем такое каноническое преобразование, при котором бы новая функция Гамильтона пе содержала r.oBoi i координаты q, а новый импульо входил бы в первой стеиеин, т. е. [c.151]

Выше была изложена созданная к настоящему времени локальная теория состояний равновесия и периодических движений, а также попутно и отчасти неподвижных точек преобразования. При этом полностью рассмотрены все основные типы равновесий и периодических движений и их основные бифуркации. Это рассмотрение носит в некотором смысле законченный и завершенный характер. Точнее, можно думать, что рассмотрение более сложных случаев не даст ничего принципиально нового для общего понимания и общего качественного изучения динамических систем. Это естественно в предположении, что речь идет об изучении классов динамических систем, в котором только этим бифуркациям соответствуют в пространстве параметров разделяющие его бифуркационные поверхности. Вместе с тем эта надежда уже ни в коей мере не оправдывается для специальных классов динамических систем и в первую очередь для так называемых консервативных систем, где понятие общности совсем друп е, Когсерва-тивные системы требуют своего, во многом специфического исследования. Эта специфичность проявляется не всегда, многие вопросы и, в частности те, которым в значительной мере будет посвящен дальнейший текст, в полной мере относятся и к консервативному случаю. [c.267]

Теорема об изменении кинетической энергии устанавливает связь между изменением основной меры движения системы ма-тер альных точек — кинетической энергии — и мерой действия сил на протяжении путей движения точек системы — работой сил для широкого класса сил, носящих наименование консервативных, работа может быть выражена как изменение потенциальной энергии. Таким образом, в круг вопросов механики вводится понятие энергии. Значение этого понятия состоит в том, что им определяется единая физическая величина, проявляющаяся в различных физических явлениях и, таким образом, связывающая их между собой. Понятие энергии объединяет механику с термодинамикой, с учением об электрических явлениях и т. и. Преобразование механической энергии в другие формы энергии и обратное преобразование этих форм в механи-чесь ую энергию представляет важную задачу современной тех ики. [c.105]

Теория преобразований Якоби. Рассмотрим консервативную механическую систему с заданной функцией Гамильтона Н, не завнсяще от времени /. Преобразуем механические переменные q , q,u Pi,..-, рп в новую совокупность переменных Qi,..., Qn, Pi, Рц с помо1П,ью некоторого канонического преобразования. При этом наложим лишь одно условие, а именно чтобы в качестве одной из переменных, например Q , была взята функция Н. [c.266]

Резюме. Вместо того чтобы пытаться непосредственно интегрировать канонические уравнения, мы можем применить процесс преобразования. При этом для консервативной системы отыскивается каноническое преобразование, переводящее функцию Гамильтона Н в одну из новых переменных. Для реоном-ной системы ищется зависящее от времени каноническое преобразование, преобразующее Н в нуль. В обоих случаях найденное преобразование решает задачу о движении, так как в новой системе координат канонические уравнения могут быть непосредственно проинтегрированы. Для нахождения искомого преобразования и его выполнения нужно найти какое-либо полное решение уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.275]

Уравнения (3.13) можно все еще рассматривать как ЗЛ/ уравнений движения системы, так как они представляют собой уравнения (3.1) в преобразованном виде. В настоящей форме они представляют собой очень изящное сжатое выражение свойств системы. Однако следует заметить, что ограничение консервативности системы еще имеет место. Общий случай представляется формулой (3.10), которая является известным усоверщенствованием по отношению к первоначальной формулировке законов Ньютона, так как члены, вызывающие трудности при своем определении и выражающие фиктивные силы, определяются здесь простым вычислением производных дТ/ду . Однако необходимо еще отдельно определить каждую компоненту остающихся сил. [c.30]

Устанавливаемое В. н. м. свойство движения сводится во многих случаях (но не всегда) к тому, что для истинного движения системы нек-рая физ. величина, являющаяся ф-цией кинематич. и динамич. характеристик зтой системы, имеет экстремум (минимум или максимум). При этом В. II. м, могут отличаться друг от друга видом той физ. величины (той ф-]1ии), к-рая для истинного движения является экстремальной, а также особенностями механич. систем и классами тех движений. для к-рых это экстремальное свойство имеет место. По форме В. н, м. можно разделить на дифференциальные, устанавливающие, чем истинное движение системы отличается от кинематически возможных в каждый данны) момент времени, и интегральные, устанавливающие это различие для перемещений, совершаемых системой за конечный промежуток времени. В рамках механики дифференц. принципы имеют более общий характер, т. к. они приложимы к системам с любыми голономными и неголономными связями (см. Голочом-пая система Пеголопомная система). Интегральные принципы в их наиб, компактной форме приложимы только к голономным и даже только к консервативным системам. Однако выражение их через энергию и инвариантность по отношению к преобразованиям координат системы делает ати принципы приложимыми далеко за пределами классич. механики. [c.246]

В Э. т. осн. объект исследования—динамич. система (ДС), понимаемая как группа (или полугруппа) преобразований нек-рого пространства с мерой, сохраняющих эту меру. В применении к консервативным ДС, описываемым дифференц. ур-ниями, речь идёт о семействе сдвигов вдоль фазовых траекторий, а роль сохраняющейся (инвариантной) меры играет фазовый объём. В общем случае пространство с мерой—это тройка (X, si, ц), в к-рой X— произвольное множество с выделенным семейством j/ его подмножеств (ст-алгеброй измеримых подмножеств), содержащим само X в качестве одного из элементов и замкнутым относительно теоретико-множественных операций (объединения и пересечения конечного или счётного числа множеств и перехода от любого множества к его дополнению). Мера 1—это неотрицательная ф-ция, заданная на. 5/ и обладающая свойством счётной аддитивности если Ai, Ai,...— множества из. af, к-рые попарно не пересекаются, то мера их объединения равна сумме мер. Если ц(Л <со, то ц можно нормировать, поделив на х(А , и считать (X,, ц) вероятностным пространством (см. Вероятностей теория). Для ДС, отвечающей гамильтоновой системе дифференциальных ур-ний, в качестве X можно взять любую гиперповерхность постоянной энергии, а в качестве ц—меру, индуцированную на этой гиперповерхности фазовым объёмом. Всюду в дальнейшем предполагается, что рассматриваемые ДС определены на вероятностном пространстве. [c.625]

В мемуаре О дифференциальных уравнениях, относящихся к задаче изопериметров , а затем в письме к Лиосковскому профессору Н. Д. Брашману, напечатанном ь 1866 г., Остроградский высказал сомнение в справедливости принципа наименьшего действия Лагранжа. Основные возражения Остроградского сводятся к следующему. Для Эйлера и Лагранжа принцип наименьшего действия и простейшая задача вариационного исчисления представляли собой одну и ту же математическую проблему. Остроградский же замечает, что в принципе наименьшего действия переменные связаны законом живых сил и не являются поэтому независимыми, в отличие от переменных обыкновенной вариационной задачи. Отсюда следует также, что вариации переменных подчинены некоторому условию и не могут быть совершенно произвольными. Поэтому Остроградский считает формулировку принципа у Лагранжа и его выводы ошибочными и дает собственную формулировку в случае консервативной системы действительная траектория движения между двумя точками обладает тем свойством, что преобразование уравнений движения приводит к условию [c.218]

Одно из ограничений при передаче информации заключается в том, что информационная емкость светоинформационной системы с носителем конечных размеров имеет предел. Однако ограничения связаны не только с предельной общей информационной емкостью, но и с ограничениями в передаче каждого из видов информации. Светоинформаипонные системы часто бывают весьма консервативны в возможности замены одного вида информации другим и, даже обладая достаточно большой информационной емкостью, ограничивают передачу какого-либо вида информации, если их габариты по данному виду меньше, чем необходимо для данной составляющей. Вместе с тем, информация характеризуется не только количеством, но в некоторых случаях и качеством— ценностью, которую она представляет для решения задачи. Нередки случаи, когда ценным оказывается именно тот вид информации, который не пропускается системой. Чтобы пропустить этот вид информации, систему иногда приходится видоизменять, приспосабливая либо к некоторому определенному классу источников информации, либо к решаемой задаче (т. е. к заданному виду выходной информации), либо к тому и другому вместо. Для этого имеются определенные возможности. Так, например, для преобразования х-и и г/-й составляющих информации во временную, можно использовать последовательные однострочные или [c.52]

Важным требованием црп численном моделпровапнп негладких или ударно-волновых динамических процессов является выполнение дискретных аналогов интегральных законов сохранения массы, импульса, энергии и термодинамического неравенства (второго закона термодинамики) [20, 161, 192], в частности построение разностных схем, аппроксимирующих дивергентные формы дифференциальных уравнений в частных производных [74, 75]. Эти требования входят в понятие консервативности разностных схем и полной консервативности [46, 47, 101, 162], при которой для копечио-разпостпой или дискретной системы также выполняются определенные эквивалентные преобразования, аналогичные дифференциальным преобразованиям системы уравнений в частных производных. [c.27]

В 1906 г. П. В. Воронец рассмотрел преобразование уравнений Лангран-жа второго рода для консервативных систем при помощи линейных относительно скоростей интегралов, рассматриваемых как уравнения неголономных связей системы (идея трактовки интегралов дифференциальных уравнений движения материальной системы как связей, на нее налагаемых, впервые была высказана Г. К. Сусловым) . Преобразование Воронца имеет значение не только как преобразование уравнений динамики,— оно как бы перебрасывает мост от голономных систем к неголономным и позволяет, следовательно, глубже проникнуть в сущность движения неголономных систем. Оказывается, что дифференциальные уравнения движения неголономной системы можно рассматривать как преобразованные дифференциальные [c.100]

Из работ по применению метода функций Ляпунова, быть может, наиболее близки к классической проблематике механики исследования по динамике твердого тела с неподвижной точкой. В этой проблеме в качестве функции Ляпунова можно использовать соответствующим образом преобразованное выражение для полной энергии тела (или системы тел), если поле действующих сил консервативно. Именно таким образом Б. В. Булгаков прйменил второй метод Ляпунова при исследовании устойчивости движения оси фигуры гироскопа вокруг оси его момента движения, пренебрегая массой карда- 135 нова подвеса. [c.135]

Но дело, пожалуй, не только в этом. Примеры консервативных динамических систем с весьма сложным поведением фазовых траекторий (тех самых, которые сегодня, не задумываясь, назвали бы хаотическими и стохастическими) были известны довольно давно, как и отдельные примеры неконсервативных систем, сводимых к точечным отображениям с хаотическим поведением последовательных преобразований. Более того, Д. Бирк-гоф [88] предложил общую классификацию движений динамических систем, включавшую эти сложные движения. Схема такой классификации приводилась в работе А. А. Андронова Математические проблемы теории автоколебаний 1933 г. [12], где, в частности, отмечалось, что совокупность всех движений может образовывать сложную систему. Читая поистине пророческие строки в работе А. А. Андронова и глядя на классификацию Д. Биркгофа, трудно понять, что же собственно мешало сделать [c.81]

В случае динамической системы частиц, взаимодействующих посредством сил, не зависящих от скорости, естественно использовать физические переменные, например декартовы компоненты радиусов-векторов и скоростей частиц, или переменные, связанные с ними преобразованием с постоянным якобианом (в частности, для консервативных сил так называемые канонические переменные связаны с декартовыми компонентами радиусов-векторов и импульсов преобразованием с единичным якобианом). Действительно, в силу теоремы Лиувилля элемент объема YldXf dlf не меняется при эволюции системы, и именно данное свойство выделяет этот элемент объема среди других возможных мер. [c.118]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...