Почти периодичность функции

Если заменить (8) более слабым условием —1 < (i), то функция t — t v t) переменной t монотонно возрастает вместе с г от —сж до так как почти периодическая функция y(i) ограничена и i= i + v> >1 — 1=0. Однако условия —1 < >(i), —оо < i < оо, и почти периодичность функции i (i) не влекут за собой почти периодичность функции w t), определяемой единственным образом согласно (9). [c.175]

Вместе с тем необходимое (но само по себе не достаточное) условие почти периодичности функции (42) заключается в требовании сходимости ряда из квадратов амплитуд [c.495]

Почти периодичность углового ускорения е= о (<р) главного вала вытекает теперь из его представления (1.48) и почти периодичности входящих в него функций. [c.42]

Квадрат угловой скорости о) t) почти периодической функции свц t) является также почти периодической функцией [41]. Угловое ускорение Шо (t) почти периодично в силу предыдущей теоремы. Поэтому число I, являясь общим /2/у-почти периодом для шц t) и Шд (i), будет служить е-почти периодом для предельной динамической реакции Rb (О- [c.220]

В силу теоремы 8.15 и сделанных ранее предположений все функции, входящие в его правую часть, почти периодичны и, кроме того, inf I О- Поэтому угловое ускорение [c.308]

Теперь, принимая во внимание теорему 8.15 и свойства почти периодических функций [41 ], легко установить почти периодичность углового ускорения [c.308]

Из (18) следует, что если потенциал У (д ) имеет период Т (или почти-периодичен с конечной группой периодов Тг, Т ) по X, то матрица (д , ш) периодична с периодом Т (соответственно, почти-периодична с группой периодов Тг,. .., Т ). Для периодического потенциала V (д ), являющегося решением (14), собственная функция 11)(д , т) оператора L [c.337]

Тем не менее можно ожидать, что функции qi t) разлагаются при любых в обобщенные ряды Фурье. Для того чтобы получить такие ряды, исключение, (нелокальное) + 1 параметров и, I должно быть выполнено с использованием теории почти периодических функций ( почти периодичность понимается в смысле Бора). Результат (см. 198) таков, что существует п непрерывных функций (>1 = , (01,..., 9п) независимых переменных 01, ..., 0п таких, что любая функция Qi имеет по отношению к 01 период 2я (т. е. каждая Ох — непрерывная функция точки на и-мерном торе) и [c.174]

Воспользовавшись формулой (25.13) для собственных значений энергии, нетрудно убедиться, что если L имеет макроскопические размеры, то дискретные уровни Е находятся очень близко друг к другу, почти сливаясь в непрерывный спектр. Благодаря этому при использовании вместо волновых функций непрерывного спектра волновых функций с нормировкой на длину периодичности мы допускаем не очень большую погрешность, но зато часто очень сильно упрощаем вычисления и интерпретацию полученных результатов. Не следует забывать, что все же эти результаты приближенные и спектр свободного движения в неограниченной области является непрерывным. [c.163]

Такая или почти такая система ранее была получена в [6, 7]. Однако для построения разрывных решений требуется дополнительное условие устранения многозначности , которое должно опираться на соответствующие уравнения или правила, например на (1.9). В отличие от цитированных выше работ в предлагаемом исследовании указанные правила включены в саму процедуру построения решения на каждом периоде по г. Это не только устраняет возможные неопределенности, но и позволяет естественным образом строить решения с произвольным числом скачков на одном периоде. Определение J(r) включало установление по г и проводилось так. Расчет начинался с задания J = 0 при г < 0. Затем из (3.4) находилось J для о < г < 1 с одновременным устранением неоднозначностей в согласии с правилом (1.9). Ввиду периодичности искомого решения найденное J(r) периодически продолжалось на требуемые для определения J для 1 < г < 2 отрицательные г. После построения J на каждом новом периоде процесс повторялся. Заметим, что если F(r) и /3 фиксированы, то в силу уравнений, определяющих решение, saJ/S будет функцией г и параметров подобия = Sn(> 1)/а и п, [c.291]

Зонная модель Модель почти свободных электронов Учитывается периодичность решетки, используются функции Блоха Не учитывается 1) [c.66]

Полученный результат остается приближенно верным и для случая, когда функция Е (t) не периодична, а представляется суперпозицией монохроматических колебаний, частоты которых распределены по спектру совершенно произвольно. Только в этом случае усреднение надо производить не по периоду т (которого теперь не существует), а по времени, весьма большому по сравнению с периодами всех монохроматических колебаний, входящих в суперпозицию. Результат приближенно верен и в случае суперпозиции почти гармонических колебаний с произвольными частотами, например для света, состоящего из узких спектральных линий. [c.213]

Условия, налагаемые на силовую функцию 7 в 217, таковы, что требуется не только периодичность почти круговых решений, но также и близость периода такого решения к периоду (192) кругового решения. [c.194]

Если функция х ) удовлетворяет условию периодичности (1.1) не строго, а лишь приближенно, то говорят о почти периодических колебаниях и при этом имеют в виду, что [c.12]

Функции ф, v периодичны по времени. Однако приращения углов v и ф за период могут оказаться несоизмеримыми с 2л, и в целом движение окажется почти-периодическим. [c.133]

Рис. 9.2. Экспериментальные данные по автокорреляционной функции t) = = ф 1) ф 0)) атомного волнового пакета. Из (а) видно, что на ранней стадии t) почти периодична с периодом Т = 15,3 пс, соответствующим типичному расстоянию между соседними энергетическими уровнями. Однако при больших временах эта периодичность исчезает и возникает новое явление на временных масштабах, являющихся долями другого характерного времени Т2 Т, система вновь становится периодической — явление, называемое дробными возобновлениями. Период составляет теперь долю промежутка времени Т. В непосредственной близости к моменту времени Т2 = 474 пс сигнал даже успевает почти полностью восстановить свою форму, приводя к полному возобновлению. Кроме того, как показано на рис. б, периодическое поведение с периодом Т возникает вблизи момента времени Т2/2 = 237 пс, но в этой области структура сигнала сдвинута на Т /2 по отношению к начальной. Такие дробные возобновления имеют асимметричную форму с быстрым затуханием с одной стороны и медленным осциллирующим падением с другой. Взято из работы J. Wals et а/., Physi a Ser. 1995. V. Т58. P. 62

В кристаллической решетке потенциал, испытываемый электронами, периодически зависит от координат и волновые функции электронов представляют собой произведение плоской волны, соответствующей свободным электронам, и функции, которая имеет периодичность решетки, — блоховской функции. Эти волны по-прежнему распространяются без затухания в идеальной периодической решетке. Наличие решетки меняет зависимость энергии электрона от волнового числа (для свободных электронов эта зависимость квадратичная) и возможные энергии электрона в решетке. Если рассмотреть случай простой кубической решетки, как это делалось для фононов в п. 1 4, гл. 4, то для электрона, волновой вектор которого имеет такую вличину и направление, что почти достигает границы зоны Бриллюэна, энергия заметно отличается от энергии для того же самого значения k, вычисленной на основании модели свободных электронов. При k -<.п1а энергия меньше, чем ее значение для свободного электрона, а при k > я/а — больше. Это означает, что имеется энергетическая щель на границе зоны и волновое уравнение не имеет решений при энергиях, лежащих в пределах этой щели. Для малых значений k зависимость E k) такая же, как для свободных электронов для одномерного случая это показано на фиг. 10.2. Ясно, что значения k, лежащие на границе зоны, являются особыми, так как в этом случае условие брэгговского отражения волны означает, что вторичные волны, испускаемые последовательными рядами атомов, находятся в фазе. Для одномерного случая отсюда следует, что расстояние между атомами должно быть равно половине длины волны, поэтому а — Я/2 = я/А или k == nia, что как раз совпадает с расстоянием по перпендикуляру от центра к грани зоны Бриллюэна. Тот же принцип применим и в трехмерном случае, так что границы кубической зоны определяют значения А, для которых имеется щель в спектре электронов в простой кубической решетке. Этим значениям А соответствуют [c.178]

В применяемом здесь обычном приближении электроны считаются независимыми частицами, подчиняюш 1шися статистике Ферми— Дирака. В приближении нулевого порядка твердое тело рассматривается как ящик или сосуд, внутри которого электроны движутся, как газ это так называемая модель Зоммерфельда. Более реалистично влияние кристаллической решетки учитывается в приближении первого порядка, где периодический потенциал решетки рассматривается как возмущение состояния почти свободных электронов. Можно исходить из противоположного допущения, а именно считать, что электроны достаточно жестко связаны с атомными ядрами в твердом теле, но способны двигаться через решетку благодаря некоторому перекрытию орбиталей, принадлежащих близко расположенным атомам. Как то, так и другое рассмотрение приводят к одним и тем же результатам в кристалле существуют области близко расположенных уровней энергии (энергетические зоны), разделенные запрещенными зонами (энергетическими щелями). Эти зоны соответствуют областям, для которых волновое уравнение Шредингера имеет или не имеет решения. Линия раздела между разрешенными и запрещенными уровнями носит название границы зоны. Волновые функции "ф всегда могут быть представлены как волновые функции свободных электронов, модулированные функцией, имеющей периодичность решетки. [c.457]

Рассмотрим также м (х, хЫ ) при малом е. Ясно, что зависимость от переменной х/ь периодична с периодом бУ (рис. 3). Рассмотрим значения и (х, я/е ) в двух точках и сравнимых по периоду и лежащих в смежных е У-ячейках. В силу периодичности зависимость от х/в одинакова, а зависимость от х почти одинакова, поскольку расстояние между и мало им - гладкая функция. С другой стороны, пуслъ Р - точка, сравнимая с Р по У -периоду, но расположенная далеко от РЧ Зависимость м от у одинакова, а зависимость от х очень различна, так как Р и Р не близки друг к другу. Наконец, сравниваем значения м в двух различных точках Р и Р в одной и той же еУ-ячейке. Зависимость от х почти одинакова, так как Р и Р расположены близко друг от друга, а зависимость от у очень различна, так как р1 и Р не являются точками, сравнимыми по е У-периоду (фактически расстояние Р Р "велико", если измеряется с помощью переменной у). Следовательно, (. Щ означает, что и принимает значения, почти одинаковые в соседних ячейках, но очень разные в отдаленных ячейках. Такие функции будут называться "локально периодическими . [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...