Определение грубой динамической системы

В гл. 8 дается точное определение грубой динамической системы и при этом уточняется смысл слов малые изменения динамической системы . [c.131]

Определение грубой динамической системы. Мы будем предполагать, что у всех рассматриваемых динамических систем [c.138]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУБОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 139 [c.139]

Определение динамической системы первой степени негрубости, так же как и определение грубой динамической системы, б >1ло сначала дано в предположении, что граница рассматриваемой области О является циклом без контакта для траекторий системы (А). При этом предположении определение значительно упрощается. Однако это определение, так же как и определение грубости, может быть с соответствующими изменениями (полностью аналогичными тем, которые были сделаны при определении грубой системы) дано и без каких-либо частных предположений относительно расположения траекторий системы (А) по отношению к границе. [c.156]

Определение ([6]). Динамическая система называется системой 1-й степени негрубости, если она не груба и существует такая ее окрестность, что каждая динамическая система из этой окрестности либо груба, либо орбитально топологически эквивалентна исходной, причем сопрягающий гомеоморфизм близок к тождественному. Векторное поле, порождающее систему 1-й степени негрубости, называется векторным полем 1-й степени негрубости. [c.103]

Дальнейшее внимательное рассмотрение вопроса о том, какие свойства следует ожидать у существенно неконсервативных динамических систем, соответствующих реальным физическим системам, если при этом изучаются те свойства реальных систем, которые описываются качественным характером траекторий (и если, конечно, соответствующая математическая модель — динамическая система — хорошо отображает свойства реальной системы), привело к понятию грубой динамической системы ). Точное определение грубых систем дано в 1 гл. 8 здесь же сделаем некоторые общие замечания. [c.130]

Нетрудно убедиться, что и при данном здесь определении близости динамических систем при т>2 необходимые и достаточные условия грубости те же, что и сформулированные в 6, и, так же как и в случае пространства йд, грубые динамические системы заполняют области в соответствующем пространстве ). Справедливы также теоремы 13 и 14. [c.150]

В силу определения III динамические системы первой степени негрубости являются, очевидно, системами релятивно грубыми в множестве негрубых систем. [c.156]

Ввиду указанного, детерминированный качественный и количественный анализ поведения реальной системы на основе ее динамической модели имеет смысл только в том случае, если эта модель является грубой. Существует математически строгое определение грубых систем [3 80]. Качественными методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений можно показать, что динамические модели крутильных механических систем машинных агрегатов, как правило, относятся к категории грубых. [c.15]

Понятие индекса основано на понятии вращения векторного поля. Если на простой замкнутой кривой задано непрерывное векторное поле, то вращением этого поля вдоль кривой называется, грубо говоря, число полных оборотов, которое делает вектор поля при однократном обходе этой кривой в положительном направлении (точное определение дано в п. 2 6). Индекс Пуанкаре изолированного состояния равиовесия О динамической системы есть вращение векторного поля, определяемого этой системой, вдоль любой достаточно малой замкнутой кривой, содержащей точку О внутри себя. [c.205]

Гиперболическое поведение траектории динамической системы формулируется в терминах поведения близких, точнее, бесконечно близких траекторий. Существуют три грубых типа поведения близких траекторий а) близкие траектории притягиваются к исходной траектории при /- +оо (полная устойчивость) б) все близкие траектории притягиваются к исходной при —оо (полная неустойчивость) в) имеются траектории, притягивающиеся к исходной при /- +оо, и другие траектории, притягивающиеся к ней же при —оо. Именно последний тип поведения кладется в основу определения гиперболичности. [c.123]

Поэтому естественно прежде всего выделить класс динамических систе м, у которых топологическая структура фазовых траекторий не меняется при малых изменениях дифференциальных уравнений. Такие системы мы будем называть грубыми . В настоящем параграфе дается точное математическое определение грубых систем и устанавливаются их основные свойства. [c.428]

Определение 2. 9. Динамическая система, описываемая уравнениями (2.1), называется грубой, если существует такое малое число б > О, что все динамические системы, отображаемые уравнениями [c.77]

Определение III. Динамическая система А) называется системой первой степени негрубости в области G, если она не является грубой в G и еслп для всякого е > О найдется б > О такое, что, какую бы систему (А), негрубую в G и б-близкую до ранга 3 к системе (А), мы ни взяли, существует топологическое отображение обл асти G на себя, при котором траектории системы (А) и (А) отображаются друг в друга, и соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии, меньшем б. [c.156]

На рис. 89 приведены результаты моделирования на типовые динамические воздействия. Из результатов моделирования следует, что системы с выключающимися связями обладают определенной чувствительностью к изменению спектрального состава динамических воздействий и к дополнительным переходным режимам, вызываемым выключением связей. Когда спектр динамического воздействия является одноэкстремальной функцией несущей частоты, существует достаточно широкий диапазон частот, в пределах которого указанными явлениями можно пренебречь. Это объясняется тем, что система является грубой по Андронову (структурно устойчивой) к изменению параметров и обладает свойством адаптации (в области динамической устойчивости [3]) к заданному классу динамических воздействий [64]. Если же соответствующий спектр является многоэкстремальной функцией (что особенно часто встречается на практике и, в частности, при обработке реальных акселерограмм сильных землетрясений), то динамические системы данного класса обладают значительно большей чувствительностью к скачкообразному изменению параметров (структуры). Во многих случаях это приводит к существенному сужению области или к потере динамической устойчивости. В этом случае целесообразно проводить исследование динамических систем с переменной структурой, учитывающих оба вида дислокаций (комбинированные СПС) хрупкое разрушение и пластические деформации материала. Излагаемая методика анализа позволяет непосредственно перейти к исследованию подобных систем. [c.309]

Определение грубой системы без сколько-нибудь существенных изменений переносится на многомерные системы. Сделаем йто, несколько геометризовав определение грубости. Пусть О — пространство динамических систем [c.84]

ТОГО же характера, что и у системы (А), п в е-окрестности каждого предельного цикла — один и только один предельный цикл того же характера, что и у системы (А), и т. д. Но это, очевидно, накладывает определенное ограничение на возможные у грубых систем состояния равновесия и замкнутые траектории ), а также на поведение сепаратрис седел. Подчеркнем, что ограничения, которые требование грубости накладывает на рассматриваемые динамические системы, таковы, что они выделяют общий случай. Другими словами, всякая наперед заданная дннамп-ческая система, вообще говоря, является грубой, в то время как негрубые системы являются исключительными системами (см. 10). [c.141]

Очевидно, однако, что при принятии такого определения мы не имели возможности говорить о грубо сти целого ряда систем, которые естественно считать грубыми. Так, например, пусть рассматривался динамическая система, которая имеет в некоторой области С (ограниченной замкнутой кривой) только одно седло илп узел и седло. Такие системы мы должны, очевидно, считать грубыми. Но мы не можем пользоваться определением I, так как граница области С в этих примерах, очевидно, не может быть циклом без контакта. Индекс замкнутой кривой, являющейся границей области С, в этих случаях, очевидно, не равен единице, и, следовательно, она не может быть циклом без контакта. Можно подправить определение I, делая более общие предположения относительно границы области С. Например, можно допускать, что граница области О есть гладкая простая замкнутая кривая, имеющая конечное число касаний с траекториями системы (А) и не содержащая состояний равновесия (см. [155]). Однако всякие такие предположения относительно границы области всегда являются ограничениями, посторонними понятию грубости динамической системы. Ограничения на возможные границы должны вытекать из определения грубости. Кроме того, по смыслу понятия грубости из грубости системы в некоторой области С должна вытекать — непосредственно из определения — грубость системы в произвольной замкнутой области Со, содержащейся в О. Поэтому все указанные определения грубости (с условиями на границе) не полностью отражают смысл понятия грубости системы, а его отражает более сложное по форме определение I. Отметим, что из определения I непосредственно вытекает, что система (А) — грубая в некоторой области С — груба во всякой области " =( . Определение Г фактически используется также при рассмотрении негрубых систем, когда область, в которой рассматривается негрубая система, естественным образом разделяется на части, в которых система является грубой, и части, в которых система содержит негрубые элементы. [c.153]

Определение II (грубости динамической системы без е-тождественности). Система (А) является грубой в области G (ограниченной циклом без контакта), если существует такое 0>0, что всякая динамическая система (А), б-близкая к (А), имеет в области G ту же качественную структуру, что и система (А), [c.154]

Доказательство этого утверждения требует достаточно сложной математической техники, и поэтому мы не будем приводить его в этой книге. Поясним лишь смысл понятия гиперболическое множество , не давая его строгого математического определения. Грубо говоря, гиперболическое множество - это странный аттрактор, т.е. некоторое замкнутое инвариантное по отношению к сдвигу по времени подмножество фазового пространства, не содержащее стационарных тгочек (положений равновесия). Изображающая точка, двигаясь по гиперболическому множеству, описывает траектории, которые могут быть названы стохастическими или хаотическими. Следовательно, если некоторая динамическая система обладает гиперболическим множеством, то у нее существуют 286 [c.286]

Если система груба по Андронову-Понтрягину, то она является грубой и по Пейксото. При этом необходимые и достаточные условия грубости по Андронову-Понтрягину совпадают с необходимыми и достаточными условиями грубости по Пейксото. Последнее определение имеет следующее преимущество непосредственно из этого определения вытекает тот факт, что грубые системы в пространстве динамических систем заполняют области. При первом же определении этот факт нужно доказывать, опираясь на необходимые и достаточные условия грубости. [c.145]

Еще одно определение величины Q, также иногда полезное легко выводится из этого описания сосредоточенной системы Статическая сила F, приложенная к пружине с податливостью Су производит смещение F . Из выражения (1.245) видно, что если на систему действует переменная сила с амплитудой Fue частотой, равной резонансной частоте системы, то амплитуда смещения системы в динамическом режиме будет в Q раз больше, чем в статическом. Хотя этот результат получен для 1щеалнзированной системы, описываемой дифференциальным уравнением (1.242), он может служить для грубой ориентировки в реальных ситуациях [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...