Область возможных движений

К этим двум основным элементам фазового портрета консервативной системы следует добавить еще фазовые траектории, пограничные между областями фазовой плоскости, соответствующими движениям различного характера. Эти линии (например, линия С на рис. 1.3) носят название разделительных линий или сепаратрис. Их расположение очень наглядно показывает области возможных движений разного типа и те значения фазовых координат х и [c.21]

При данном h фазовые кривые могут располагаться только в той части фазовой плоскости, где выполняется неравенство И х) h. Эту часть плоскости называют областью возможности движения. Неравенство И х) h следует из того, что для реальных движений правая часть формулы (11) не может быть отрицательной, так как ее левая часть есть квадрат вещественной величины. [c.182]

Область возможности движения в координатном пространстве определяется неравенством П /г, которое получается из интеграла энергии Т-ЬП = /г и определенной положительности кинетической энергии. При И h вместо метрики (11) введем в координатном пространстве другую метрику, определив квадрат расстояния d r" между двумя близкими точками Р и Р по формуле [c.487]

На границе области возможности движения метрика (16) имеет особенность чем ближе кривая к границе, тем меньше ее длина в частности, длина любой кривой, лежащей на самой границе, равна нулю. Если П < /i, то метрика (16) не имеет особенностей. Из (15) получаем [c.488]

Область возможности движения 182 [c.564]

Если t/3>J7o>J7i, то область возможных движений ограничена одной-единственной кривой (рис. 117, а). [c.568]

ОБЛАСТЬ ВОЗМОЖНОСТИ ДВИЖЕНИЯ m> = s V(s)[c.47]

Если зафиксированы постоянные с, Л, то из (14) следует, что траектория г(ф) лежит в области возможности движения [c.78]

Видим, что оно может иметь решение только в области возможности движения = (s) <Л . Преобразуем его [c.142]

ОБЛАСТИ ВОЗМОЖНОСТИ ДВИЖЕНИЯ. Постоянная f в определении первого интеграла обычно задается начальным состоянием. Но не исключено, что f будет задана из каких-либо других соображений и потребуется узнать, где могут происходить движения с этим значением f первого интеграла Ф. Это и есть область возможности движения [c.149]

Эти интегралы квадратичны по скоростям. Поскольку Ф1-1-Ф2 = = Н, будем пользоваться только ими. Заметим, что область возможности движения при условии, что заданы две константы. [c.151]

Задача 2. Показать, что если потенциал V=ax /2, а>0, то множества достижимости совпадают с областями возможности движения. [c.152]

Если зафиксированы константы с и Л, то область возможности движения (определение аналогично) дается формулой [c.154]

Классифицируем области возможности движения и траектории. Пусть 2h = mk. Области Щ находятся из неравенства [c.154]

Задача 3. Классифицировать области возможности движения, траектории, вычислить апсидальный угол, когда потенциал V=— im/r+vm/2r2. Часть ответа решение при l+v/ 2>0 имеет [c.156]

Данные ранее определения первого интеграла, области возможности движения, множества достижимости дословно переносятся на движение по поверхности и имеют внутренний смысл. Это не мешает нам в ходе исследований опираться не только на внутренний закон Ньютона, но и на внешнюю систему уравнений движения [c.166]

Найти область возможности движения ЗЛс . [c.167]

Задача 9. Точка т движется по вертикальному цилиндру = х + у —r = 0 в поле силы тяжести есть интегралы момента относительно оси 2 и энергии. Определить область возможности движения и множество достижимости (го) (использовать внутреннее уравнение движения). [c.167]

Пусть произвольно зафиксирована область возможности движения Наряду с исходной римановой метрикой [c.170]

Следствие. Пусть с, h фиксированы. Тогда область возможности движения [c.187]

T. e. в согласии с теоремой 1 совпадает с квадратичной частью интеграла Ф с точностью до знака. Области возможности движения [c.188]

Таким образом, при заданной энергии k импульс р может принимать в общем случае два значения, отличающихся знаком, пока q принадлежит области возможности движения Tl = V(q) Иными словами, множество есть образ фазовой кривой Н(р, q)=h при отображении проектирования р, q)- q. [c.231]

Если на рис. 76 не обращать внимания на то, что часть фазовой кривой изображена пунктиром, то мы увидим типичное поведение траектории в центральном поле сил и вообще в системе с циклической координатой. Таким образом, область возможности движения типа кольца есть в некотором смысле (несложные уточнения опускаем) проекция фазового тора на многообразие положений, а траектория движения есть проекция фазовой обмотки тора. Аналогичные утверждения справедливы и в случае Лагранжа движения тела с неподвижной точкой, только здесь обмотки проектируются с некоторым перекосом. [c.268]

Рис. 52. Области возможности движения и поведение траекторий в них для движения в центральном поле сил

Рис. 52. <a href="/info/15530">Области возможности движения</a> и поведение траекторий в них для движения в центральном поле сил

Рис. 54. Расположение траекторий в области возможности движения для задачи Кеплера

Рис. 54. Расположение траекторий в <a href="/info/15530">области возможности движения</a> для задачи Кеплера

Рис. 61. Наложение магнитного поля не меняет области возможности движения с заданной энергией, а само движение может стать качественно иным. Здесь изображено, как вместо первоначального ухода в бесконечность траектория может так сильно закрутиться, что равновесие (в центре круга) из неустойчивого превратится в устойчивое (первый эффект Кельвина)

Рис. 61. Наложение <a href="/info/20176">магнитного поля</a> не меняет <a href="/info/15530">области возможности движения</a> с заданной энергией, а само движение может <a href="/info/353149">стать качественно</a> иным. Здесь изображено, как вместо первоначального ухода в бесконечность траектория может так сильно закрутиться, что равновесие (в центре круга) из неустойчивого превратится в устойчивое (первый эффект Кельвина)

Это неравенство определяет область возможных движений мате риальной точки. Такая область зависит как от вида функции и, та и от величины /г, определяемой из начальных условий. [c.226]

Таким положением в рассматриваемом случае является только начало координат. Область возможных движений точки около положения равновесия определяется неравенством [c.226]

В первом из них будем иметь =Ыь Ы2 = из=1, и область возможного движения будет ограничена корнями щ и Ыг. Уравнение [c.427]

В главе 6 рассматривается влияние гравитационных возмущений. С помощью интеграла Якоби исследуются для круговой орбиты области возможных движений оси динамически симметричного спутника. Показано, в частности, что ось динамически вытянутого спутника может совершать ограниченные колебания в окрестности радиуса-вектора орбиты, а ось динамически сжатого спутника — в окрестности нормали к плоскости орбиты. Если же составляющая абсолютной угловой скорости по оси симметрии все время остается равной нулю, то ось динамически сжатого спутника может совершать ограниченные колебания в окрестности касательной к орбите. Если кинетическая энергия относительного вращения спутника достаточно велика, то областью возможных движений становится вся единичная сфера и движение можно рассматривать как ротационное. Для такого движения исследуются вековые гравитационные возмущения и общие особенности движения на круговой и эллиптических орбитах для круговой орбиты, согласно общей теории главы 5, построено решение во втором приближении в эллиптических функциях аналогичное приближенное решение получено для эллиптической орбиты. Сравнение с численным интегрированием точных уравнений показывает, что решение второго приближения обладает очень высокой точностью. [c.13]

Случай 1 А>С (динамически вытянутый спутник). Области возможного движения оси спутника определяются неравенствами [c.191]

Случай 2 А<С (динамически сжатый спутник). Области возможного движения [c.192]

Рис. 42. Области возможности движения натуральной системы с одной степенью свободы распадаются на несколько связных частей типа отрезка или полупрямой отрезку отвечают колебательные (см. рис. 41) и иногда асимптотические движения к неустойчивым положениям равновесия. Иногда происходят перестройки о. в. д. (с ростом h связные части могут сливаться либо рождаться на пустом месте ), когда h пересекает критическое значение потенциальной энергии. Если соответствующая критическая точка (положение равновесия) невырождена, то перестройка обязательна

Рис. 42. <a href="/info/15530">Области возможности движения</a> <a href="/info/8877">натуральной системы</a> с одной <a href="/info/1781">степенью свободы</a> распадаются на несколько связных частей типа отрезка или полупрямой отрезку отвечают колебательные (см. рис. 41) и иногда <a href="/info/36333">асимптотические движения</a> к <a href="/info/8835">неустойчивым положениям равновесия</a>. Иногда происходят перестройки о. в. д. (с ростом h связные части могут сливаться либо рождаться на пустом месте ), когда h пересекает <a href="/info/264274">критическое значение</a> <a href="/info/6472">потенциальной энергии</a>. Если соответствующая <a href="/info/21132">критическая точка</a> (<a href="/info/8834">положение равновесия</a>) невырождена, то перестройка обязательна

Рис. 45. Уровень энергии в фазовом пространстве, отвечающий области возможности движения на рис. 42. Легко видеть, что эта область может оассматриваться как проекция уровня на ось s потенциальной яме (связной части типа отрезка) отвечает замкнутая кривая на фазовой плоскости

Рис. 45. <a href="/info/7470">Уровень энергии</a> в <a href="/info/4060">фазовом пространстве</a>, отвечающий <a href="/info/15530">области возможности движения</a> на рис. 42. Легко видеть, что эта область может оассматриваться как проекция уровня на ось s потенциальной яме (связной части типа отрезка) отвечает замкнутая кривая на фазовой плоскости

Рис. 49. Еще один образ, характерный для многих интегрируемых систем 1) эскиз траектории бигармонического осциллятора (oii Stoa) 2) движение в окрестности положения равновесия в первом приближении, представленное в нормальных координатах 3) типичная траектория лиувиллевой системы в двухпараметрической области возможности движения типа прямоугольника (только этот прямоугольник обычно бывает криволинейным, так что рисунок надо несколько деформировать)

Рис. 49. Еще один образ, характерный для многих интегрируемых систем 1) <a href="/info/763535">эскиз траектории</a> бигармонического осциллятора (oii Stoa) 2) движение в окрестности <a href="/info/8834">положения равновесия</a> в <a href="/info/421226">первом приближении</a>, представленное в <a href="/info/15494">нормальных координатах</a> 3) типичная траектория лиувиллевой системы в двухпараметрической <a href="/info/15530">области возможности движения</a> <a href="/info/738332">типа прямоугольника</a> (только этот прямоугольник обычно бывает криволинейным, так что рисунок надо несколько деформировать)

Рнс. 59. Свойства геодезических метрик Якоби в области возможности движения с краем. Слева изо ажены две либрации — траектории периодических движений, переходящих с одной связной компоненты границы (из трех) на другую. Эти кривые имеют минимальную длину в классе всех кривых, соединяющих указанные компоненты границы (минимальная геодезическая для третьей пары связных компонент состоит из уже названных либраций и куска границы между ними — длина этого куска в метрике Якоби равна нулю). Справа изображена траектория, выходящая на границу из произвольной внутренней точки компактной области возможного движения. Такая траектория существует всегда Существо доказательства в том. что траектория сначала доводится до некоторой-окрестности границы такой, что все геодезические, выпущенные с границы, без самопересечения под прямым углом упираются в границу окрестности. Одна из этих геодезических встретит рассматриваемую траекторию под развернутым углом и потому послужит ее продолжением. Из рис. 57 вытекает, что даже в случае компактной области возможности движения две точки не всегда можно соединить геодезической метрики Якоби [c.288]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...