Нормальное упорядочение операторов

Нормальная компонента сверхтекучей жидкости 195 Нормальное упорядочение операторов рождения и уничтожения 143 [c.291]

Средние значения нормально упорядоченных операторов. В данном разделе мы вычисляем среднее значение [c.378]

Оптические детекторы, как уже отмечалось, обычно реагируют на нормально-упорядоченные операторы поля. В случае когерентного состояния усреднение нормально-упорядоченного момента согласно (2) дает [c.95]

Операторы поля в правой части (7) можно с помощью (4) представить в виде суммы нормально-упорядоченных операторов, например ), [c.154]

Представляя процедуру нормального упорядочения графически, получим фейнмановскую диаграммную технику, сопоставив каждому спариванию А [х)А (у) линию, соединяющую точки х ж у. Найдём, напр., в квантовой электродинамике вакуумное среднее от произведения двух операторов электромагнитного тока [c.360]

Отметим важное обстоятельство равенство (11.80) выполняется только при условии, что произведение операторов рождения и уничтожения Ь+ и Ь является нормально упорядоченным, т. е. операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения. Если некая функция f операторов Ь+ и Ь определена как нормально упорядоченная, то мы имеем следующее правило вычисления средних значений [c.304]

Теперь мы находим представление матрицы плотности р в терминах операторов уничтожения и рождения, что прямо приводит к ( -функ-ции. Как мы сейчас покажем, это представление является нормально упорядоченным. [c.376]

Мы записываем оператор О в виде нормально упорядоченных произведений степеней операторов уничтожения и рождения, то есть [c.378]

Разработанный в двух предыдущих разделах формализм дает возможность выразить собственные значения оператора плотности через векторы когерентных состояний. С математической точки зрения использование векторов когерентных состояний приводит к значительному упрощению при вычислении статистических средних. Так как когерентные состояния являются собственными состояниями полевых операторов Е( > (г/), то нормально упорядоченные произведения полевых операторов можно заменить при усреднении на произведения их собственных значений, т. е. рассматривать их не как операторы, а как числа. Корреляционные функции поля вида определяемые уравнением (2.1), есть средние именно от таких произведений операторов. Их можно довольно легко вычислить при использовании представлений, которые мы рассмотрим ниже. [c.85]

Для полей, представляемых оператором плотности (9.12), все средние от нормально упорядоченных произведений операторов можно вычислять по формулам, которые, как и в случае одной моды, очень похожи на формулы классической теории. Так, в этих вычислениях параметры а играют почти такую же роль, как случайные фурье-амплитуды поля в известной классической теории СВЧ шумов [17]. Весовая функция Р ( а ) играет при этом роль, аналогичную распределению вероятности для фурье-ампли-туд. Хотя это сходство оказывается весьма полезным при вычислениях, а также помогает разобраться в применении принципа соответствия, не следует забывать о том, что в общем случае функция Р ( оа ) является квантовомеханической величиной. Она может принимать отрицательные значения и точно не интерпретируется как распределение вероятности, за исключением классического предельного случая сильно возбужденных или низкочастотных полей. [c.103]

Мы можем теперь использовать нормально упорядоченную форму, чтобы записать вигнеровскую функцию в Р-представлении. Если принять, что оператор плотности имеет Р-представление, то характеристическая функция дается выражением [c.129]

Так как произведение ЬМ, которое нас интересует, имеет нормально упорядоченную форму, оно наиболее удобно для использования Р-представления оператора плотности. Вследствие этого мы будем рассматривать только тот класс стохастических гамильтонианов, которые сохраняют возможность выражения оператора плотности с помощью Р-представления. Другими словами, мы принимаем, что оператор ег (О можно записать в форме [c.163]

Обозначим через Q at,ao) функцию Q at,ao), нормально упорядоченную по операторам а , а . Это означает, что функция Q iao, uq) представлена в форме [c.166]

В большинстве случаев решение гейзенберговских уравнений движения является невыполнимой задачей. Однако именно это предстоит сделать для того, чтобы упорядочить операторы й , йп относительно начальных операторов й , о-Поэтому следует рассмотреть возможные приближенные методы решения этой задачи. Рассмотрим задачу о нормальном упорядочении в случае, близком к классическому, и получим правила нормального упорядочения в виде разложения по степеням Й [133, 1341. [c.166]

Обозначим через N оператор нормального упорядочения по 4, ао. [c.167]

Получим для уравнения (5.2) -отображение в виде разложения по степеням Й [133, 134]. Задача проектирования уравнения (5.2) в базисе когерентных состояний связана с необходимостью нормально упорядочить правую часть (5.2) по операторам ад, Од. Произведем сначала нормальное упорядочение экспоненты [c.171]

Здесь 8р — след соответствующей матрицы, а оператор нормального упорядочения N располагает операторы Е слева от оператора Е+. В наиб, важном с практич. точки зрения случае, когда фоточувствит, площадка счётчика меньше площади когерентности излучения 5ког1 а время Г не превосходит времени когерентности 7ног допустимо одномодовое описание светового поля в области счётчика и соотношение (5) принимает вид [c.662]

Они различаются порядком расположения операторов Ь и. Выражение (7Б.9), в котором операторы уничтожения стоят справа от операторов рождения, соответствуют нормальному упорядочению, а выражение (7Б.10) соответствует антинормальному [c.143]

Оператор О в нормально-упорядоченной и антинормально-упорядоченной формах (7В.2) и (7В.З) можно записать в виде, аналогичном (7В.11). Нужно лишь определить операторные дельта-функции, которые соответствуют этим типам упорядочения. Они даются формулами [c.147]

Кроме того, каждое из этих распределений отвечает специальному выбору упорядочения операторов. Действительно, ( -распределение, распределение Вигнера и Р-распределение связаны, соответственно, с антинормальным, симметричным и нормальным упорядочением. С помощью этих функций распределения мы можем, как в статистической механике, вычислять средние значения квантово-механических операторов, но при условии, что сначала мы соответствующим образом упорядочили операторы. [c.363]

Здесь символ Л/ обозначает, что произведение, составленное из операторов уничтожения и рождения, упорядочено таким образом, что операторы рождения всегда расположены слева от операторов уничтожения. Мы называем такие выражения нормально упорядоченными. Напротив, под символом Л оператор рождения всегда стоит справа от оператора уничтожения. Этот тип упорядочения мы называем антинормальным упорядочением. [c.374]

Пример со вторым моментом оператора электрического поля показал, что с помощью коммутационных соотношений мы можем представить один и тот же оператор во многих формально различных формах, которые, однако, эквивалентны друг другу. Следовательно, мы можем представить оба оператора р и О в нормально либо антинормально упорядоченной форме. Мы можем также иметь смешанное представление, в котором р является нормально упорядоченным, в то время как О упорядочен антинормально, или наоборот. Все эти формы эквивалентны. Для вычислений, однако, некоторые формы оказываются более удобными и, в частности, обеспечивают связь с процедурой интегрирования в классическом фазовом пространстве. Они позволяют нам вычислить среднее значение с помощью классического интегрирования. [c.376]

Средние значения антинормально упорядоченных операторов. В этом разделе мы вычисляем среднее значение, используя нормально упорядоченную матрицу плотности и антинормально упорядоченный оператор Кроме того, мы показываем, что в этом случае формула [c.376]

Теперь мы готовы вычислить среднее значение (О) оператора О. Подставляя матрицу плотности (12.25) в нормально упорядоченной форме и оператор О в антинормально упорядоченном форме (12.22), мы находим [c.377]

В разд. 1.22 было показано, что хаотическое излучение следует рассматривать как важный предельный случай. Свойства этого излучения полностью определяются требованием, чтобы энтропия поля принимала максимальное значение при дополнительном условии постоянства среднего числа фотонов в различных модах. Заключения о свойствах многомодовой системы легко вывести из свойств одномодовой системы, поэтому в дальнейшем мы будем ориентироваться на одномодовую систему. Оператор плотности может быть взят из уравнения (1,22-17). Квазивероятность (р), применяемая при представлении с помощью глауберовских состояний, задана в уравнении (1.31-25а) отсюда следует, что фазы комплексных амплитуд распределены равномерно, тогда как модули этих амплитуд распределены нормально, т. е. имеют гауссово распределение. Нормально упорядоченная корреляционная функция , т+п) [ср. уравнение (1.33-14)] обращается в нуль при тфп, а в остальных случаях представима с помощью корреляционной функции низшего порядка. [c.454]

Хотя о свойствах нормированных таким образом состяний Ц а) не следует забывать, однако в данной работе мы не будем пользоваться этой нормировкой для того, чтобы сохранить общепринятую интерпретацию скалярных произведений как амплитуд вероятности. Преимущества же, вытекающие из соотношения (5.18), не являются очень большими, так как все операторы, с которыми мы будем иметь дело, или уже имеют нормально упорядоченную форму, или легко к ней приводятся. [c.85]

В этом пределе элемент (а q а) становится равным Р-распреде-лению, потому что предел большого п есть попросту классический предел. Следовательно, в этом случае Р (а) действительно можно интерпретировать как классическую плотность в фазовом пространстве и различие между нормально и антинормально упорядоченными операторами также исчезает вследствие принципа соответствия. [c.127]

Среднее значение этого оператора называется нормально-упорядоченной характеристической (или моментопроизводящей) функцией или, короче, х-функцией [c.97]

Если исходить из определений (7В.14) и (7В.15) операторной дельта-функции, то можно ввести две другие функции распределения fjy z,z t)nf z,z t) nx моменты определяют средние значения нормально- и антинормально-упорядоченных произведений операторов рождения и уничтожения. В квантовой оптике функция распределения [c.149]

В упорядоченном состоянии Ф = Ф ехр(г ) ф О два возможных типа квазичастиц имеют уже разные спектры. В этом случае нормальные моды отвечают колебаниям модуля равного Ф Ф/ Ф и фазы равной г Ф, параметра порядка. Подставляя эти выражения в (17), усредняя по вакууму с пренебрежением флуктуационным членом и сравнивая с (16), получаем для колебаний модуля (р) величину 2// и для колебаний фазы (р) нулевое значение. Таким образом, в устойчивом состоянии системы спектр квазичастиц исправляется (они приобретают положительный или равный нулю квадрат массы), что прямо соответствует знаку кривизны в экстремумах кривой 2 на рис. 1 кроме того, мы снова приходим к теореме Голдстоуна. Тем самым мы убеждаемся, что правильное рассмотрение модели Голдстоуна требует обязательного сдвига оператора поля к точке равновесия системы (см. (15) и кривую 2 на рис. 1). Конечно, это можно было бы рассматривать как чисто формальную операцию, но много плодотворнее подходить к ней с физических позиций, как к проявлению реальной бозе-конденсации скалярного поля. [c.187]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...