Условие полноты конечного элемента

Формулами (6.5) определяется минимальное требование, необходимое для сходимости конечноэлементного решения к точному в случае совместных конечных элементов 126 J. Такша образом, для обеспечения сходимости достаточно, чтобы каждая Компонента перемещения могла быть в пределах конечного элемента представлена полиномом не ниже первой степени. Это требование называют иногда условием полноты конечного элемента. [c.211]

Для выполнения условия полноты аппроксимирующие функции должны удовлетворять условию постоянства производных, которое состоит в том, что с уменьшением размеров элемента производные, входящие в выражение для вариационного функционала, стремятся к постоянным величинам (или, в частности, к нулю). Если указанные условия допустимости и полноты выполняются, решение по методу конечных элементов будет сходиться к точному при увеличении общего числа конечных элементов. [c.59]

В противоположность этому классическому подходу при использовании метода конечных элементов начинают с изучения свойств элементов конечных размеров. При установлении этих свойств могут использоваться уравнения, описываюш ие поведение континуума, но размеры элементов остаются все время конечными, интегрирование заменяется конечным суммированием, а дифференциальные уравнения в частных производных заменяются, скажем, системами алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений. Сплошная среда с бесконечным числом степеней свободы представляется, таким образом, дискретной моделью, имеющей конечное число степеней свободы. При этом если удовлетворяются некоторые условия полноты, то с увеличением числа конечных элементов и уменьшением их размеров поведение дискретной системы приближается к поведению непрерывной системы — сплошной среды. Существенной особенностью такого подхода является то, что он в принципе применим к доследованию конечных деформаций физически нелинейных анизотропных неоднородных тел любой геометрической формы при произвольных краевых условиях. [c.11]

Согласованный расчет плановых заданий и хозрасчетных нормативов возможен лишь на уровне самостоятельных организаций, работающих по принципу полного возмещения затрат за счет реализации конечной продукции. Степень внедрения элементов хозрасчета зависит от уровня управления и полноты экономической ответственности производственного звена. Поэтому в постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 12 июля 1979 г. в разделе III О развитии хозяйственного расчета и усилении роли экономических рычагов и стимулов ставится следующее условие решения этой задачи Завершить в ближайшие два-три года формирование производственных объединений в качестве основного хозрасчетного звена промышленности. Последовательно осуществлять мероприятия по специализации и кооперированию производства, централизации вспомогательных и подсобных служб, а также управленческих функций объединяемых предприятий и организаций [3, т. 13, с. 436]. [c.80]

Остановы котла. Технология останова, объем и последовательность операций определяются типом котла и видом останова, зависящего от плана последующих действий. По конечному тепловому состоянию котла различают два вида остановов — без расхолаживания оборудования и с расхолаживанием. Останов без расхолаживания производится при выводе котла в горячий резерв и для проведения непродолжительных ремонтных работ, как правило, снаружи котла. Останов с расхолаживанием производится для проведения ремонтных работ повышенной продолжительности, причем полнота охлаждения зависит от вида предполагаемого ремонта. Толстостенные элементы до безопасных температур в естественных условиях охлаждаются медленно (несколько суток), поэтому принудительное расхолаживание позволяет сократить продолжительность нахождения котла в ремонте. [c.213]

Иногда математические требования полноты и согласованности отражают важные физические условия. Рассмотрим, например, функции перемещений и и о в направлениях хну соответственно в двумерной задаче плоских деформаций. Положим, что интересующая нас область разбита иа конечное число треугольных элементов, а аппроксимации и для и, и для и линейны на каждом элементе. [c.178]

Существует целый класс так называемых несовместных конечных элементов, которые образуются на основе функций ф , удовлетворяющих второму и третьему требованиям, т. е. линейной независимости и полноты, и не удовлетворяющих nepBOMv требованию принадлежности к энергетическому пространству Нд. В связи с этим оценки (1.13) —(1.17) непригодны для таких элементов и для доказательства сходимости здесь требуются новые приемы. Впервые доказательство сходимости для конкретного несовместного конечного элемента было получено в работе [83]. Рассматривался прямоугольный элемент плиты (элемент Клафа) с тремя степенями свободы в узле. При доказательстве существенно использовалась геометрия области (прямоугольнан плита) и граничные условия (защемление по контуру). Более общие приемы доказательства сходимости несовместных элементов были получены в работах [45, 69]. Здесь доказательство сходимости сводилось к проверке устойчивости системы (1.5) и выполнения условий кусочного тестирования. [c.11]

Подчерки л, что приведенные рагсуждения применимы, строго говоря, лишь к совместным конечным элементам. Если элементы удовлетворяют условию полноты я совестны, то при сгущении сетки сходимость конечноэлементного решения к точному по энергии будет монотонной. Другими словами, при сгущении сетки полная энергия системы %дет уменьшаться, оставаясь при этом выше своего точного значения. Можно показать [26], что погрешность рассмотренных выше элементов в энергии имеет порядок Р", где п — порядок полных полиномов в аппроксимирующих функциях. Если в выражении для энергии деформации встречаются вторые производные от перемещений (это имеет место, например, для некоторых конечноэлементных моделей пластин, работающих на изгиб, и оболочек), то ошибка в энергии будет иметь порядок [c.211]

Обращаясь к рассмотренным ранее конечным элементам, Вадим, что треугольный элемент с линейным полем перемещений (см. 5.1) и совместный прямоугольный элемент (см. 5.2) удовлетворяют условию полноты. Это непосредственно следует из формул <5.1) и <5.16) для перемещений и , Uy, в которых представлены полные полиномы первого и нулевого п<фядк№. Поскольку эти элементы являются также совместными, то они обеспечивают монотонную сходимость решения к точному при сгущении сетки. Погрешность аппроксимации перемещений убывает при этом в обоих случаях по крайней мере как где I — длина наибольшей стороны элемента. Как показы- [c.211]

Таким образом, мы доказали, что плоские изопараметри-ческие элементы удовлетворяют условию полноты. Следовательно, их использование обеспечивает монотонную сходимость решения. Аналогично доказывается свойство полноты для одно-и трехмерных изопараметрических конечных элементов. [c.213]

Для большинства конечных элементов отмеченные два подхода к определению полноты, по существу, совпадают, осо- < бенио если в качестве компонент перемещений берутся их прб-екции на декартовы оси координат, как это делалось вьнйё. В самом деле, допустим, что в невыпнсанных членах в (6.5) отсутствуют слагаемые, содержащие постоянные а , Oi.-.- g. Тогда при выполнении соотношений (6.5) автоматически удовлетворяются условия жестких смещений и условие постоянства деформаций. Но если какие-либо коэффициенты в полиномах более высоких порядков связаны с этими постоянными, то условия жестких смещений и постоянства деформаций могут уже не выполняться, хотя элемент является полным в том смысле, что требование минимальности степени полинома удовлетворено. Особенно существенно различие между двумя подходами к определению полноты в том случае, когда компонентами матрицы U являются проекции перемещений на криволинейные координатные оси, как это имеет место, например, прн расчете оболочек. Требования о жестких перемещениях и постоянстве деформаций оказываются более трудновыполнимыми, чем требование о минимальности степени полинома. [c.214]

Паттерсон [17], используя технику гильбертовых пространств, показал, что критерий полноты и критерик слабой согласованности являются достаточными условиями сходимости вариационного метода конечных элементов. Эта согласованность, т. е. межэлементный критерий, требует того, чтобы разность или разрывность в й при переходе через границу между элементами стремилась к нулю быстрее, чем диаметр наибольшей подобласти, [c.174]

В этом параграфе мы сначала рассмотрим точность интерполяции конечными элементами, обеспечиваемую для достаточно гладкой функции на одной ячейке. Здесь существенная роль отводится полным многочленам. В сущности, показано, что порядок локальной аппроксимации ограничен сверху степенью к полных многочленов при условии С Р, назьтаемом далее условием полноты. Второе условие, влияющее на точность аппроксимации, носит геометрический характер и связьтает точность с формой ячейки. Оно ношт название условия регулярности и исключает такие случаи вырождения как слишком узкие (в одном из направлений) ячейки, слишком искривленные грани и т.п. [c.86]

ТИПИЧНЫЙ конечный элемент, идентификационную метку элемента временно писать не будем. Отметим, что наиболее часто используемой функциональной формой интерполяционных функций являются полиномы ). Это объясняется их простотой, удобствами их использования при вычислениях (например, при численном интегрировании) и тем, что при полиномиальных представлениях, как правило, проще проверять выполнение условий полноты и соответственности. [c.145]

В ранней литературе по методу конечных элвмлгчов высказывалось предположение, что для сходимости необходимо, чтобы функция перемещений учитывала движение жесткого тела в равномерную деформацию на элементе. Из вышеуказанного и разд. 8.3 следует, что этн условия заключаются в критерии полноты. Важно заметить, однако, что в приведенных выше рассуждениях, предполагалось использование прямолинейных координат. Еслн полиномиальные элементы выражаются в терминах криволинейных координат, что было бы естественным, например, для криволинейных, пластин и оболочек, то константы и линейные члены уже ие соответствуют движению жесткого тела и равномерным деформациям [10, 11]. [c.179]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...