Устойчивость асимптотическая орбитальная

Понятие орбитальной устойчивости можно расширить и включить в него аналог асимптотической устойчивости. Будем называть траекторию С асимптотически устойчивой в орбитальном смысле, если при t-> оо d (<р (f се+6), С) О всякий раз, когда б < х. Например, в теории предельных циклов (гл. XX) мы установили, что в окрестности устойчивого предельного цикла траектории имеют вид спиралей, приближающихся к предельному циклу , таким образом, устойчивый предельный цикл асимптотически устойчив в орбитальном смысле. Конкретной иллюстрацией может служить пример 23.7В, в котором система обладает как асимптотической устойчивостью в орбитальном смысле, так и устойчивостью (но не асимптотической) в смысле Ляпунова ). [c.479]

Этот пример наводит на мысль, что и в общем случае асимптотическая устойчивость в орбитальном смысле влечет за собой устойчивость по Ляпунову. Эта точка зрения находит подтверждение в том, что скорость возрастания сдвига времени f — t ъ первом приближении пропорциональна величине <р (г о 6) — ф (г а) , которая в свою очередь убывает по экспоненциальному закону. [c.479]

Часто используют понятие орбитной (или орбитальной) устойчивости. Оно отличается от устойчивости по Ляпунову тем, что из условия (1 х 1о), Х Ьо)) < 6 должно следовать лишь (1 х 1) , Х 1)) < е, т. е. не требуется синхронности в движении по возмущенной и (невозмущенной траекториям. Здесь х 1) означает всю траекторию при t > Ьо-Нужно лишь, чтобы возмущенное решение (пусть с отставанием или опережением) не выходило за пределы е-окрестности невозмущенного. Если при 1 00 расстояние (1 между возмущенным и невозмущенным решениями стремится к нулю, то устойчивость называется асимптотической. Если же, кроме того, <1 ехр(— ) (а > 0), начиная с некоторого I > 1о, то она называется экспоненциальной. [c.131]

Второй подход основан на обобгцении обычных определений устойчивости (асимптотической, орбитальной и пр.) на разрывные траек- [c.243]

Устойчивость периодических орбит. Как мы видели в 23.5, в задаче о движении в окрестности периодической орбиты один характеристический показатель равен нулю. Здесь мы докажем,, что если все остальные характеристические показатели имеют отрицат Лъные вещественные части, то периодическая орбита асимптотически устойчива в орбитальном смысле. [c.479]

Итак, периодическая орбита асимптотически устойчива в орбитальном смысле. К этому выводу мы пришли из рассуждений, проводившихся для дискретной системы точек на траектории возмущенного движения, но результаты остаются в силе и в общем случае, поскольку для любого конечного промежутка времени характеристика изменяется непрерывным обра- юм в зависимости от начальных данных. [c.480]

В случае автономной системы функция D зависит лишь от разностей tti-о -1 - 0(i, и приведенное утверждение относктся к ми-нт шам по этим разностям, причем речь идет об асимптотической орбитальной устойчивости. [c.76]

Заметим, что, как и в задачах о самосишфонизации вибровозбудителей, введение в рассматриваемую систшу малых позиционных сил, обеспечивающих отличие от нуля частоты свободных колебаний кцжаса, а также малых диссипативных сил с полной диссипацией, гарантирует при условии минимума функции D асимптотическую орбитальную устойчивость синхронных движений по всем координатам. [c.350]

Если критическая точка есть минимум, то про соответствующее относительное равновесие говорят, что оно орбитально устойчиво (так как близкие движения лежат в узком кольце), в противном случае — неустойчиво (вспомним асимптотические движения в одномерных системах, аналог которых имеется и здесь). Если h не намного отличается от минимального значения /i,, то по формуле Линдштедта (тема 6) [c.79]

В данном случае для совокупной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения спутника можно сначала решить задачу стабилизации по отношению к переменным, определяющим его положение в орбитальной системе координат. Делается это путем рассмотрения " "укороченной управляемой системы, получающейся из исходной совокупной обращением в нуль неконтролируемых на данном этапе решения переменных. Затем применением теоремы Ляпунова-Малкина [Малкин, 1966] доказывается, что в процессе проведенной стабилизации фактически обеспечивается не только асимптотическая устойчивость по указанной части переменных, но и устойчивость (неасимптотическая) по всем переменным исследуемого невозмущенного движения совокупной системы [Белецкий, 1965 Крементуло, 1977]. [c.23]

Если все мультипликаторы цикла по модулю меньше 1, то он орбитально асимптотически устойчив. Устойчивость следует из того, что отображение монодромни пр и.Я, <С1— сжимающее при подходящем выборе метрики на П)ансверсали. Эта метрика строится так же, как функция Ляпунова вблизи особой точки, асимптотически устойчивой по первому приближению. Из сжатия вытекает орбитальная асимптотическая устойчивость близкие фазовые кривые наматываются на цикл как спирали. Можно доказать, что фаза движения вдоль цикла при этом стремится к фазе движения одной из точек по циклу. Отсюда следует равномерная близость (на полуоси t 0) не только фазовой кривой, но и любого решения, отвечающего близкому к циклу начальному условию, к одному из решений, описывающих движение по циклу. [c.33]

П р и м ер, Асимптотически устойчивые особые точки й орбитально асимптотйчески устойчивые циклы являются аттракторами. [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...