Что такое связанность и топология

Что такое связанность и топология [c.537]

Поэтому, хотя топология, связанная с уравнением (6-3.46), не является, конечно, физически невозможной, материал, описываемый таким уравнением состояния, не будет удовлетворять большинству общих теорем теории простой жидкости, и термодинамический анализ, проведенный в разд. 4-4, не будет для него справедлив. Кроме того, общая теория функционалов, непрерывных по отношению к топологии, подобной той, которая связана с уравнением (6-3.46), не разработана, так что нельзя сделать никаких общих утверждений, справедливых для такого класса материалов. [c.228]

Хотя большинство тем, связанных с дифференциальной динамикой, разрабатывается в этой книге достаточно глубоко, мы не пытались написать энциклопедическое исследование дифференциальной динамики. Даже если бы это было возможно, результатом такой работы явился бы просто некоторый источник ссылок, бесполезный в качестве учебника или введения в предмет. Таким образом, мы отнюдь не пытаемся представить самые сильные из известных результатов, но вместо этого предоставляем читателю хорошо структурированный набор принципов, на которых базируются методы и результаты. Далее, данная книга не является введением в прикладную динамику, и наши примеры, вообще говоря, не выбираются из множества прикладных моделей, широко изучаемых в различных дисциплинах. Напротив, они возникают естественно из внутренней структуры изучаемого предмета и содействуют его пониманию. Внимание, которое уделяется различным направлениям в той или иной области, не определяется ни долей работ, опубликованных на эту тему, ни размахом научно-исследовательской деятельности в этих направлениях, а лишь отражает наше понимание того, что именно является основным и фундаментальным в данной области. Очевидное несоответствие возникает в случае одномерной (вещественной и особенно комплексной) динамики, активность в которой постоянно росла в течение последних 15 лет, что привело к появлению множества блестящих результатов. Эта область играет сравнительно скромную роль в данной книге. Вещественная одномерная динамика используется главным образом как источник простых моделей, в которых со значительным успехом могут применяться различные методы. Комплексная динамика, которая является с нашей точки зрения увлекательным, но довольно специальным предметом, появляется лишь как источник примеров гиперболических множеств. С другой стороны, мы стараемся отмечать и подчеркивать взаимосвязь динамики с другими областями математики (теорией вероятностей, алгебраической и дифференциальной топологией, геометрией, вариационным исчислением и т. п.) даже в некоторых ситуациях, в которых на сегодняшний день окончательное понимание еще во многом не достигнуто. [c.13]

Эллиптические точки. В 2.4 путем перехода к переменным, связанным с эллиптической точкой, нам удалось исследовать все более и более мелкие области регулярного движения на фазовой плоскости. Мы видели, что вокруг эллиптической точки существует своя система резонансов (периодических точек) более высокого порядка, движение вокруг которых повторяет исходное на более мелком масштабе. Было показано также [см. (2.4.62) и последующее обсуждение], что возмущение в высших порядках очень быстро уменьшается с 5 (пропорционально 1/5 ). Если исходное возмущение мало, то фазовая плоскость заполнена, в основном, инвариантными кривыми, топология которых такая же, как и у невозмущенной системы. Остальная часть фазовой плоскости вокруг эллиптических точек заполнена инвариантными кривыми другой топологии. Можно ли сказать, что вся фазовая плоскость заполнена инвариантными кривыми все возрастающей сложности и все более мелких масштабов, пока с ростом возмущения вся эта структура внезапно не разрушается, переходя в стохастичность Оказывается, что нет. В типичном случае области стохастичности существуют в окрестности сепаратрис (связанных с гиперболическими точками) при любом возмущении и растут вместе с ним. [c.197]

Основной принцип алгебраического подхода таков вместо того чтобы исходить из какой-либо конкретной схемы, связанной с гильбертовым пространством, упор делается на то обстоятельство, что первичными объектами теории служат поля (или наблюдаемые), рассматриваемые вместе с их линейными комбинациями, произведениями и пределами (в надлежащей топологии) как чисто алгебраические величины. Этот принцип будет изложен в 2 данной главы. Затем мы определим различные типы симметрии (эволюцию во времени и калибровочные преобразования) как автоморфизмы, сохраняющие введенную нами структуру. Этому аспекту проблемы посвящен 2 гл. 2. Далее мы вводим представления алгебраических объектов как операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Способ, которым мы определяем представления, существенно зависит от состояний — конечной цели всех наших рассмотрений. Этот шаг известен под названием конструкции Гельфанда — Най-марка — Сигала (ГНС). Она впервые встречается в нашей книге в конце --2 данной главы, а ее свойства подробно рассмотрены в гл. 2, 1. Пока мы заметим лишь, что в действительности конструкция ГНС представляет собой хорошо известный фор- [c.48]

После выхода из режима размещения проводников редактор печатных плат проверяет целостность цепи и обновляет виртуальные линии связи. Линии связи могут подсоединяться к проложенному проводнику в любой точке, а не только на его конце и точках излома. Редактор, основываясь на заданной топологии данной цепи, добавляет линии связи между всеми участками цепи, которые не соединены проводниками. По умолчанию выбирается топология с минимальной длиной проводников, поэтому линии связи будут располагаться по кратчайшему пути между отдельными точками неподсоединенных сегментов цепи. Более подробная информация по этому вопросу приведена в разделах Что такое связанность и топология и Правила проектирования, учитываемые при трассировке (Routing). [c.548]

Такие возможности программы в итоге превращают ее в универсальный инструмент, с помощью которого можно предсказывать характеристики новых процессов и быстро решать возникающие задачи, связанные с функционированием и надежностью приборов. В процессе проектирования часто применяется метод проб и ошибок. Целью моделирования технологического процесса и анализа приборов является сокращение времени проектирования при одновременном повышении вероятности достижения оптимально спроектированных процессов. Не слишком большие вычислительные затраты, необходимые для проведения расчетов, говорят о чрезвычайной пользе моделирования, так как в процессе расчетов можно проанализировать многие варианты технологического процесса и топологии проектируемого прибора с целью выбора наиболее подходящих для создания первых работающих образцов. Возможность вносить изменения необходима для оптимизации конструкции, а также для выбора первоначального варианта технологического процесса. Расчет позволяет анализировать внутреннюю структуру приборов, в результате чего часто появляются оригинальные решения задачи усовершенствования конструкции. Несмотря на то, что многое уже сделано в описываемой программе FEDSS, необходимы более тщательная верификация моделей, а также их усовершенствование, что особенно важно для расчета бокового смешения профиля концентрации примеси. Необходимы также надежные измерения таких профилей для обоснования моделей перераспределения. [c.319]

Мелкомасштабная Т., возникаюпшя в результате последовательного каскада большого числа пространственных и временных бифуркаций, приводящих к полно.му разрушению первичных структур, в конце концов оказывается устроенной настолько сложным образом, что идентифицировать структуры можно не во всяких печениях. Эго можно сделать, напр., в сильно неоднородных и анизотропных течениях, когда на топологию структур существенно влияют динамич, и кинематич. ограничения, связанные с геометрией потока. Примерами подобных структур могут служить продольные вихри в сдвиговых течениях, генерируемые вблизи седловых точек поля скорости крупномасштабных структур, рябь и гюдковы на спиральных вихрях при обтекании вращающихся тел (рис. 8). Такие структуры обнаруживаются не только в области перехода, но и в полностью развитом турбулентном течении. Интересна [c.182]

Этот вывод отражает одно из важнейших свойств синергетических систем - проявлять последовательность бифуркаций при переходе от регулярных структур к пространственному хаосу . В процессе такого перехода происходит самоорганизация диссипативных структур с квазикристал-лической симметрией с осями 5-, 7-, 10-, 11-го и даже более высокого порядка. Существует фундаментальная вязь м Лду размерностью подобия фрактальных структур и золотым отношением, контролирующим меру устойчивости симметрии системы [17]. Далее будет показано, что процесс самоорганизации аморфных фаз и их эволюция во времени и пространстве контролируется мерой адаптивности системы к переохлаждению, связанной с мерой устойчивости симметрии системы и кодом обратной связи. Она обеспечивает в процессе эволюции системы сохранение в твердой аморфной фазе топологии расположения атомов расплава. [c.138]

Следующий простой пример показывает, что трансверсальность существенна для устойчивости неподвижной точки. В любой естественной топологии, скажем, в С-топологии при О г оо, можно рассмотреть вопрос, является ли наличие неподвижной точки свойством, сохраняющимся при возмущениях, т. е. если М — гладкое многообразие, / Diff(M), хеМ — изолированная неподвижная точка / и отображение д е Diii(M) достаточно близко к /, то верно ли, что вблизи х найдется неподвижная точка р Ответ, вообще говоря, отрицателен диффеоморфизм / К -+ R, / х - х + х / + х ), впервые встретившийся нам в упражнении 2.1.3, имеет единственную неподвижную точку О, тогда как отображение /4-е вовсе не имеет неподвижных точек ни для какого е > 0. Этот пример не связан со свойством компактности, как это может показаться если М = S =K/Z и /(ж) = ж + 1/(2тг) sin та (mod 1) (см. рис. 3.3.1), то О — единственная неподвижная точка отображения /, а / -t- е не имеет неподвижных точек при 0<е< 1/2. Таким образом, предложение 1.1.4 без предположения трансверсальности не имеет места. Однако в следующей главе мы увидим (см. теорему 8.4.4), что некоторое чисто топологическое свойство изолированной неподвижной точки, а именно отличие ее индекса от нуля (определение 8.4.2), является достаточным для того, чтобы неподвижная точка сохранялась при С -возмущениях. [c.295]

По существу, положение еще менее благоприятное. Дело в том, что доказательство существования канонического преобразования, приводящего систему к нормальной форме (или, что то же самое, доказательство существования полного решения уравнения (15) 114), основывается лишь на общих теоремах, относящихся к существованию неявных функций и решений обыкно-пенных дифференциальных уравнений, т. е. на теоремах, имеющих чисто локальный характер. Вместе с тем математические вопросы динамики имеют не такой тривиальный локальный характер, но представляют собой проблемы исследования в боль-1иом, связанного с нелокальной топологией рассматриваемы многообразий. Для иллюстрации этого создавшегося ноложени г можно привести краткую справку об историческом развитии понятия неразрешимой динамической проблемы. [c.177]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...