ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Аппроксимация кусочно-полиномиальными функциями из "Метод конечных элементов для уравнений с частными производными " Рассмотрим вначале задачу об аппроксимации вещественной функции f(x) на конечном интервале оси х. Один из простых способов решения этой задачи состоит в разбиении интервала на некоторое число неперекрывающихся подынтервалов и линейной интерполяции по значениям функции (х) в граничных точках подынтервалов (см. рис. 1(a)). Если имеется п подынтервалов [д , i+i] (i = 0,1,2. —1), то кусочно-линейная аппроксимирующая функция зависит только от значений функции fi(==f(x,)) в узловых точках x (i = = 0,1,2. n). В тех задачах, где f(x) задается неявно уравнением (дифференциальным, интегральным, функциональным и т.д.), значения f являются неизвестными параметрами задачи. В задаче интерполяции значения f известны заранее. [c.9] Частные случаи при т = 1, 2 уже были рассмотрены выше и привели к базисным функциям, входящим в выражения (1.2) и (1.6) соответственно. Оценки ошибок для кусочных эрмитовых приближений приводятся в работе Биркгофа, Шульца и Варги (1968). [c.12] Два свободных параметра в случае кубического сплайна часто исключают, полагая со = с = О, и поэтому другие параметры однозначно определяются из (1.11). [c.14] Теперь рассмотрим задачу об аппроксимации действительной функции кусочными непрерывными функциями на ограниченной области iR с границей дR. Область разбивается на некоторое число элементов. В этом разделе рассматриваются области, имеющие вид прямоугольника или многоугольника. [c.15] Разумеется, функции (1.20) являются только частями полных базисных функций, связанных с вершинами треугольной сетки. Полная базисная функция относительно некоторой вершины получается путем суммирования частей, связанных с теми треугольниками, которые примыкают к этой вершине. Например, вершина 1 на рис. 4 имеет пять примыкающих треугольников, и поэтому базисная функция, соответствующая этой вершине, будет состоять из пяти частей. Полная базисная функция оказывается пирамидальной. [c.18] Упражнение 2. Используйте результат упражнения 1, чтобы получить коэффициенты в представлении (1.4) и тем самым получить базисные функции, входящие в (1.6). [c.18] Нарисуйте приближенный график основного сплайна Сг(л /й) при —оо х/Н +00 и покажите, что его носитель не является локальным. [c.19] О при всех других значениях аргументов, где 1 т — 1 и тй = 1. [c.19] Выразите все коэффициенты г (0 г, 5 3) через значения функций g, dg/dx, dg/dy и d g/dxdy в четырех угловых точках квадрата. Покажите, что результаты этих вычислений могут быть использованы для нахождения базисных функций в случае I — 2 общей теории двумерной эрмитовой интерполяции на прямоугольной области, разбитой на прямоугольные элементы. [c.20] Вернуться к основной статье