Дифференциальные уравнения возмущенного движения

Возможны и другие определения устойчивости движения. В частности, во многих задачах современной техники важно обеспечить малые отклонения в решении дифференциальных уравнений возмущенного движения от решения невозмущенного движения на конечном интервале времени. [c.646]

При решении задач на устойчивость движения в этом пункте будет применен прямой метод интегрирования дифференциальных уравнений возмущенного движения. Этот метод наиболее эффективен по своим результатам, однако его применение ограничено небольшим числом возможных приложений ввиду математических трудностей, связанных с получением решения в замкнутом виде. [c.646]

Тогда, переходя в уравнениях (2.1) к переменной х, получим дифференциальные уравнения возмущенного движения [c.82]

Теорема 2.1. Если все корни характеристического уравнения системы уравнений первого приближения имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически, каковы бт,1 ни были члены высших порядков в дифференциальных уравнениях возмущенного движения. [c.83]

Разрешение вопроса об устойчивости движения зависит от исследования дифференциальных уравнений возмущенного движения или уравнений, которым удовлетворяют функции Хн. Остановимся на рассмотрении формы уравнений, которым удовлетворяют функции Хи- [c.328]

Соответственно равенствам. (11.322) дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют следующий вид [c.329]

Уравнения (11.327) А. М. Ляпунов называет уравнениями возмущенного движения ). А. М. Ляпунов не останавливается на вопросе о методах составления дифференциальных уравнений возмущенного движения для конкретных случаев задания функций Qh, но замечает, что в уравнениях (11.327) можно заменить независимую переменную t—время — другой переменной, являющейся монотонно возрастающей функцией времени. [c.330]

Ко второй группе принадлежат некоторые способы качественного анализа дифференциальных уравнений возмущенного движения. Эти способы основываются на отыскании некоторой функции У 1, XI, Х2,. .., Хп) и исследовании ее полной производной по 1 при предположении, что Х удовлетворяют дифференциальным уравнениям (11.327). [c.332]

Второй метод А. М, Ляпунова отличается тем, что при его применении не приходится интегрировать дифференциальные уравнения возмущенного движения. [c.339]

Перейдем к составлению дифференциальных уравнений возмущенного движения. Для упрощения мы предположим, что угол а — настолько мал. что [c.269]

Теорема 3 (вторая теорема Ляпунова о неустойчивости д[1И-ження). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция V такая, что ее производная в силу этих уравнений в области (1) может быть представлена в виде [c.378]

Однако в подавляющем большинстве случаев общее решение дифференциальных уравнений движения (1.1) неизвестно, поэтому этот метод практически редко может быть использован. Но даже в тех случаях, когда общее решение дифференциальных уравнений (1.1) можно построить, ответ на вопрос — устойчиво ли движение, целесообразно, как правило, искать не из анализа общего решения, а с помощью методов, специально разработанных в общей теории устойчивости движения. Эти методы основаны на качественном анализе дифференциальных уравнений возмущенного движения, которым удовлетворяют отклонения (вариации) Xj. [c.18]

Нормальная форма дифференциальных уравнений возмущенного движения допускает простую геометрическую интерпретацию. Действительно, как ул е отмечалось, J) возмущенном движении изображающая точка М описывает в пространстве Ху,. . ., Хп некоторую траекторию у. Скорость и движения точки М направлена по касательной к этой траектории, а ее проекции определяются равенствами [c.22]

Пример 1. Дифференциальные уравнения возмущенного движения конического маятника. Рассмотрим материальную точку М массой т, подвешенную на невесомой нити ОМ к точке О (сферический маятник). Будем считать, что длина нити равна I. Положение точки М будем определять углами гр и 0, значения которых видны на рис. 1.4 (ось Oz вертикальна, ось х параллельна неподвижной горизонтальной оси х, прямая MN перпендикулярна оси Oz). [c.23]

Прежде чем привести эти три дифференциальных уравнения возмущенного движения спутника Земли (два из них второго порядка, а одно — первого) к нормальному виду, введем для общности новые обозначения [c.27]

Остановимся кратко на определении условий, при выполнении которых многообразие К не будет содержать целых траекторий дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.7). [c.43]

Пример, в 2,2 были рассмотрены следующие дифференциальные уравнения возмущенного движения [c.45]

Теорема Красовского о неустойчивости движения. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.17) можно найти функцию V такую, что ее производная удовлетворяет условиям [c.51]

R этих обозначениях найденные интегралы дифференциальных уравнений возмущенного движения примут вид [c.64]

Умножим обе части этого дифференциального уравнения возмущенного движения на х. Тогда после очевидных преобразований получим [c.70]

Предположим теперь, что система линейна, то есть дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид уравнений (4.2) или в канонических переменных — уравнений (4.7). В сделанных предположениях (корни характеристического уравнения простые) диффе- [c.99]

Составим дифференциальные уравнения возмущенного движения. Выражения для кинетической Т и потенциальной П энергий волчка были получены в примере 3 2.6 [c.118]

УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ и МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ГЛ. XIII получим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения = ,(,(- 1. - 2. t). (8 ) [c.652]

Теорема I. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию V, полная производная которой V на основании этих уравнений была бы знакопостоянной функцией со знаком, противоположным знаку V, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение — устойчиво. [c.340]

Теорема II. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти функцию V, имеющую на основании этих уравнений знакоопределенную производную V, бесконечно малый верхний предел, и при ( Тх ta соответствующим выбором произвольно малых х,з ей моз/сно было бы сообщить тот же знак, который имеет производная V, то невозмущенное движение — неустойчиво. [c.342]

Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что суи ествует знакоопределенная функция V, [c.370]

Общие замечания. Пусть дифференциальные уравнения возмущенного движения занпсываются и виде системы уравнений Гамильтона [c.391]

Теорема Красовского об асимптотической устойчивости. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.17) можно найти опреОеленно-полижи-тельпую в области (2.1) ф>уакцию V такую, чпи> ее производная V удовлетворяет в этой области двум условиям [c.42]

Если ото произведение то/кдественно равно нулю, то скорость и будет все время перпендикулярна к grad F, т. е. к нормали поверхности F = 0. Это означает, что траектория у изображающей точки М лежит всеми своими точками на этой поверхности (рис. 2.9). Таким образом, для того чтобы целые траектории дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.17) не принадлежали поверхности F = О, достаточно, чтобы скалярное произведение Z7-grad F не равнялось нулю тождественно [371 [c.44]

Теорема Барбащипа — Красовского. Есла для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти определенно-положительную функцию V (х), удовлетворяющую условию [c.45]

Теорема Четаева. сли дифференциальные уравнения возмущенного движения позволяют найти функцию V (х), для которой в сколь угодно малой окрестности нуля существует область F О, и если производная V функции F, вычисленная в силу этих уравнений, положительна во всех точках области V > О, то певозмущенное движение неустойчиво. [c.49]

В рассмат1)ивасмом случае мо кно, так i o как и и первых днух примерах, не составляя дифференциальных уравнений возмущенного движения, найти три интеграла. Два интеграла определяются сразу — это интеграл энергии и интеграл, соответствующий циклической координате ф (второй интеграл — интеграл моментов количеств движения волчка относительно оси z) [c.63]

Будем рассматривать устой 1ивость 111)ащатольпого движения тела относительно проекций угловой скорости <в , м,,, w . Так как по условию задачи в невозмуп1,енном движении == Му - = = О (тело двигалось поступательно или находилось в покое), то уравнения (2.45) будут дифференциальными уравнениями возмущенного движения. [c.67]

В заключение этого параграфа отметим, что полная проилнодиая функции V (z, t) но времени t, взятая в предположении, что переменные Xj удовлетворяют дифференциальным уравнениям возмущенного движения (1.1(5), вычисляется по формуле [c.219]

Тегрсма Ляпунова об устойчивости движения. 7 сли для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V" в силу этих уравнений была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равна пулю, то 1ьевозмущенное движение устойчиво. [c.219]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...