Хаотические колебания маятника

ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МАЯТНИКА [c.85]

Возьмем другой пример — колебания маятника. Если бы не было трения маятника и его нити о воздух, если бы не было трения нити в месте подвеса, амплитуды колебаний вечно сохранялись бы одинаковыми. Но, как мы только что сказали, в действительности трение невозможно полностью уничтожить, и энергия качания маятника будет постепенно переходить в тепло, т. е. в энергию хаотического движения. Выделение тепла ведет к переходу упорядоченного движения в хаотическое до тех пор, пока маятник не вынужден будет остановиться. [c.18]

Это линейное дифференциальное уравнение в обыкновенных производных является хорошо известным уравнением Матье. При определенных значениях /3 и О это уравнение имеет неустойчивые колебательные решения. Влияние нелинейностей превращает эти колебания в предельный цикл. Аналогичный пример — маятник с колеблющейся точкой подвеса (рис. 3.9). Численное исследование хаотических колебаний в этой задаче проведено в [104, 120]. Математическое описание такого маятника приводит к уравнению [c.86]

Маятник представляет собой настолько утвердившийся символ классической динамики, что было бы любопытно выяснить, не может ли этот образец детерминированного поведения совершать хаотические колебания. Чтобы ответить на этот вопрос автор данной книги и его сотрудники [146] сделали магнитный дипольный ротатор с восстанавливающим крутящим моментом, который ме- [c.98]

Следует подчеркнуть, что среднее время модуляции совершенно не зависит от числа атомов ТУ и от пропорционального ему общего числа скачков фазы всех электронов в единицу времени. Среднее время модуляции определяется исключительно тем, как долго сохраняет постоянное значение фаза отдельного колебания, входящего в сумму (10.31). Здесь — полная аналогия с тем, что среднее, время хаотической модуляции колебаний маятника ( 3, п. 2) зависит не от того, как часто он испытывает случайные толчки, а от продолжительности колебаний, вызываемых отдельными толчками. [c.440]

До сих пор мы рассматривали внешние воздействия, входящие в уравнения движения аддитивно (внешние силы). При параметрических внешних воздействиях на нелинейные осцилляторы наблюдаются не менее интересные эффекты. Возможные наборы бифуркаций и хаотических режимов для таких осцилляторов описаны в 4 главы 7 (в основном по материалам работ [60, 62—67]). Здесь мы остановимся на результатах других работ и обратим особое внимание на качественные стороны поведения системы и спектральные характеристики колебаний. Уравнение физического маятника с колеблющейся осью подвеса имеет вид [c.276]

Хотя термин перемежаемость появился недавно, подобные процессы рассматривались уже довольно давно под более удачным, на наш взгляд, названием — структурная турбулентность (см., например, работы [537, 538], где имеется подробная библиография). В частности, появление структур в хаотическом режиме простой диссипативной модели описано в работе [530]. Такие флуктуирующие структуры часто встречаются и в гамильтоновых системах. Типичный пример —движение в узком стохастическом слое сепаратрисы маятника (резонанса) ( 3.5). Здесь имеются три структуры (вращение в двух направлениях и колебания), между которыми происходят случайные переходы.— Прим. ред. [c.485]

Изогнутый стержень с двумя степенями свободы. Чтобы изучить роль дополнительных степеней свободы, мы создали упругий аналог сферического маятника (см. рис. 3.9), в котором использован стержень кругового сечения [137]. Для изгибания стержня по-прежнему использовались магниты, но теперь его конец мог двигаться в двух направлениях. В результате появились несоизмеримые естественные частоты и квазипериодические колебания, которые в конце концов превратились в хаотические (рис. 3.25). [c.106]

Возьмем простой маятник. Его простые колебания интуитивно подсказывают нам, что независимо от того, где может начаться качание, движение в конце концов установится в регулярный цикл типа туда-обратно маятник будет подниматься каждый раз на одну и ту же высоту. Такое возможно. И все же в реальности это движение может превратиться в хаотическое вначале вершина, затем дно, причем без устойчивого состояния и без точного повторения ритма раскачиваний, которые были в прошлом. [c.1143]

Маятник является одним из древнейших физических приборов. С помощью крутильных маятников были открыты законы гравитационного и электрического взаимодействий, измерено давление света, выполнено множество других физических экспериментов. В последнее время предложен и реализуется ряд новых экспериментов для изучения фундаментальных свойств материи, в которых очень малые силы измеряются с помощью крутильных маятников. Чувствительность таких экспериментов зависит от того, насколько ослаблены сейсмические возмущения, действующие на маятник, а также от стабильности его параметров, например, упругих свойств нити подвеса. Но даже если устранены все внешние возмущающие воздействия, остается один принципиальный источник флуктуаций его амплитуды и фазы колебаний. Это хаотическое тепловое движение молекул в нити подвеса и подвешенном теле. Действующая на него флуктуационная сила зависит от температуры и от добротности маятника. Чем выше добротность маятника, тем медленнее затухают его колебания и диссипирует его энергия, превращаясь в тепло, т.е. хаотическое движение молекул. Это означает, что ослабевает и обратный процесс раскачки маятника хаотическим движением молекул, т.е. уменьшается флуктуационная сила, действующая на маятник. Для того, чтобы уменьшить затухание, тело и нить подвеса изготовляют из высококачественного плавленого кварца — материала с низкими потерями упругой энергии, а также принимают специальные меры для исключения других источников диссипации энергии. В результате добротность крутильных маятников достигает величины -10 . [c.37]

Для подачи импульсов тока в силовой магнит используется простая, но остроумная цепь, схема которой приведена на рис. В.5. Когда нижний маятник колеблется, магнитное поле в притягивающем магните создает напряжение в обмотке, входящей в состав цепи, скрытой в подставке. Это напряжение приложено к транзистору, который начинает проводить, когда индуцированное движением напряжение достигает критического значения. За время проводящ фазы ток из батареи напряжением 9 В течет по второй обмотке магнита, создавая действующий на маятник импульсный вращательный момент. В большинстве случаев колебания первичного маятника почти периодические, тогда как вторичный маятник совершает хаотические колебания. Профессор Алан Вулф из Куперовско-го объединения, Нью-Йорк, и его коллеги проанализировали действие этой игрушки и показали, что движение вторичного маятника действительно хаотично (к сожалению, их работа не была опубликована к тому времени, когда была написана эта книга). [c.294]

Этот примечательный результат показывает, что движение вблизи любого резонанса ) подобно движению маятника с его колебаниями вращением и сепаратрисой. Приближение (2.4.27) использовалось Чириковым [70] и другидш авторами для описания типичного поведения гамильтоновых систем вблизи резонанса оно же является основой нашего подхода при изучении хаотического движения в окрестности сепаратрисы резонанса. Гамильтониан (2.4.27) дает в некотором смысле универсальное описание движения вблизи резонанса, поэтому мы будем иногда называть АЯ стандартным гамильтонианом. [c.127]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...