Квазипоперечные волны Римана

Квазипоперечные волны Римана [c.164]

КВАЗИПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ РИМАНА 165 [c.165]

КВАЗИПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ РИМАНА 167 [c.167]

Условимся нумерацию характеристических скоростей выбирать так, что Сз > С2 > i.B соответствии с величинами с, квазипоперечные волны Римана будем называть быстрыми(с2) и медленными (с ). [c.169]

Для изучения поведения деформаций сдвига пр (/3 = 1,2) в квазипоперечных волнах Римана служат уравнения (3.16), которые при а = ai,2 становятся линейно зависимыми. Одно из уравнений может быть отброшено, а оставшееся записывается в [c.169]

Эволюция квазипоперечных волн Римана [c.172]

Для интегральных кривых двух квазипоперечных волн Римана (3.22) теперь получаем уравнения [c.173]

Далее проведено детальное исследование волн малой амплитуды в упругой среде с малой анизотропией волн Римана - в Главе 3, ударных волн - в Главе 4. Изучаемые нелинейные волны естественным образом разделяются на квазипродольные и квазипоперечные. Квазипродольные волны ведут себя стандартным образом, изменение величин в них легко находится путем разложения в ряд по амплитуде волны. Они слабо взаимодействуют с квазипоперечными. Поведение квазипоперечных волн имеет сложный характер, если эффекты нелинейности и анизотропии одного порядка. [c.9]

При [ к ф О в волне, соответствующей аз, величины [и1]/[ з] и [п2]/[и малы, порядка в волнах, соответствующих 0 1,2 малы величины [из]/у/[Й1р"+"[й . При переходе к нелинейным скачкам слабой интенсивности это свойство сохраняется. Поэтому, как и волны Римана, будем различать квазипродольные и квазипоперечные разрывы и изучать их раздельно. [c.180]

Прежде чем продолжить исследование уравнений (4.13), сделаем некоторое полезное дополнение, чтобы подчеркнуть единство подхода в изучении ударных волн и волн Римана. При рассмотрении квазипоперечных разрывов, так же как и аналогичных волн Римана, можно ввести некоторую вспомогательную среду, упругий потенциал которой содержит только две компоненты деформаций щ и П2 и задан той же функцией Я(ы1,и2), что и в 3.4 (см. формулу (3.18)), а зависимость от энтропии 5 принята в виде дополнительного аддитивного члена, как это имеет место в исходном упругом потенциале Ф [c.186]

Если известно состояние щ между квазипродольной и квазипоперечными волнами, то задача об определении этих волн разделяется. Это состояние нетрудно найти, если для квазипродольной волны воспользоваться соотношениями (3.12) или (4.7), выражающими изменение щ и П2 в квазипродольной волне и соотношениями (3.15) или (4.12) для изменений щ в квазипоперечных волнах. Эти все соотношения не зависят от того ударные это волны или волны Римана, а соотнощения для квазипоперечных волн одни и те же для быстрых и медленных волн, что упрощает вычисления. [c.242]

Квазипродольная волна полностью характеризуется начальным состоянием Ui, г=1,2,3 и изменением из в ней. Эта волна всегда одна (в зависимости от знака Пз - из это может быть ударная волна или волна Римана) и ее исследование уже проведено в Главах 3 и 4. Отличие величин и за квазипродольной волной от их начальных значений Ua составляет величину порядка В дальнейшем состояние перед системой квазипоперечных волн будем считать известным и сохраним для него обозначение Ua, а=1,2. [c.243]

Таким образом, получаем задачу для квазипоперечных волн, которая формулируется следующим образом найти последовательность квазипоперечных волн, в которой величины и изменяются от U, U2 впереди до u, ,u2 позади. Построение решения сводится к указанию на фазовой плоскости ui, U2 пути, соединяющего начальное состояние A Ua) с конечным В(и ), с использованием при этом интегральных кривых неопрокидывающихся волн Римана и эволюционных участков ударных адиабат при соблюдении правила скоростей. [c.243]

Как уже отмечалось, рассматриваемые волны малой амплитуды, так же как и плоские нестационарные волны, делятся на квазипродольные и квазипоперечные. Все сказанное выше относится к обоим типам волн, однако, для квазипоперечных волн можно сделать более сильные утверждения. А именно, при описанном выше выборе осей С2, Сз во всей системе квазипоперечных волн (быстрых и медленных) ф имеет порядок х (как и ранее, X = max ir,e ), изменение имеет порядок х , а проекции интегральных кривых системы (6.5), (6.6) на подпространство 1к не отличается от интегральных кривых для одномерных нестационарных волн Римана в пределах той точности, с которой эти волны исследовались в Главе 3. [c.288]

Таким образом, при предположениях, принятых в этом разделе, изменение величины в стационарных двумерных простых волнах в случае квазипоперечных волн совпадает с изменением величин в одномерных волнах Римана. [c.289]

В 7.2 рассмотрены квазипоперечные волны, распространяющиеся в положительном (для определенности) направлении оси х (волны, распространяющиеся в противоположную сторону, считаются отсутствующими). Это позволяет, как и в 7.1, оставить в качестве неизвестных только переменные, характеризующие эти волны. Система уравнений для квазипоперечных волн, распространяющихся в сторону а > О, состоит из двух уравнений (7.6). Эти уравнения, содержащие три постоянных коэффициента, преобразованием Галлилея и изменением масштабов могут быть приведены к одной из двух стандартных форм, соответствующих X > О или X < 0. Проверено ( 7.3), что упрощенные (приближенные) уравнения (7.6) с принятой при рассмотрении квазипоперечных волн малой амплитуды точностью дают описание волн Римана и ударных волн, не отличающееся от описания, полученного ранее (в Главах 3 и 4) при отыскании приближенного решения точных уравнений. [c.316]

Характеристические скорости квазипоперечных волн даются равенством (3.20). В зависимости от знака перед корнем квазипоперечные волны разделяются на быстрые и медленные. Изменение ui и U2 в каждой из квазипоперечных волн Римана описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями (3.22). Интегральные кривые волн Римана представлены на рис. 3.1, где стрелками обозначено направление уменьщения характеристических скоростей вдоль интегральных кривых в средах, у которых упругий модуль ответственный за нелинейность X > 0. (Для сред X < О эти направления указывают увеличение характеристических скоростей.) Изменение щ и U2 в частицах среды с ростом времени в неопрокидывающихся волнах Римана совпадает с направлением уменьшения характеристических скоростей вдоль интегральных кривых (при х > О вдоль стрелок). Как частный случай рассмотрены волны Римана при отсутствии волновой анизотропии. При этом оказалось, что одна из волн Римана является плоскополяризованной (значения щ, U2, из В такой волне лежат в некоторой плоскости, проходящей через ось из), а другая волна является вращательной (ui, U2, из принадлежат окружности uj- - и = onst, лежащей в плоскости из = onst). Вращательная волна является бегущей волной, т.е. перемещается не изменяя со временем своей формы. [c.176]

Итак, поведение квазипродольных волн в среде с малой анизотропией и малой нелинейностью качественно не отличается от поведения волн сжимаемости в газах. Анизотропия среды в принятом приближении в главных членах не проявляется. Малые поперечные компоненты деформации (на порядок меньще продольных) появляются лищь при наличии предварительной деформации сдвига. Проявление нелинейности качественно такое же, как у газов с произвольным уравнением состояния. По этой причине в дальнейщем изложении мы уделяем главное внимание поперечным и квазипоперечным волнам. Но квазипродольные волны Римана будут необходимы для построения рещения автомодельных задач. [c.164]

Полученное выражение для Я согласуется с изложенными в Главе 2 представлениями о потенциалах слабоанизотропных сред. При = О функция Я зависит только от и 1 + а соответствующие слагаемые в равенстве (3.18) представляют разложение Я по этому аргументу. Первое слагаемое соответствует линейной изотропной среде. Член с к учитывает нелинейные свойства материала. Коэффициент я является единственным параметром, характеризующим в принятом приближении нелинейные свойства среды в кваэипоперечной волне. Он выражается через упругие модули среды, в общем случае конечен и может быть как положительным, так и отрицательным. В частности, будем считать, когда это потребуется, что в материале, где квазипоперечные волны ведут себя, как линейные в рассматриваемом приближении, X = 0. Как будет видно далее, знак X существенно влияет на качественные особенности поведения волн Римана. [c.167]

Рассматриваются одномерные волны (независимые переменные а и i) малых возмущений, описываемые дифференциальными уравнениями теории упругости. Находятся скорости характеристик этой системы уравнений, относящейся к гиперболическому тйпу. В рассматриваемом случае малой волновой анизотропии линейные волны и волны Римана разделяются на квазипродольные и квазипоперечные. [c.175]

Итак, показано, что могут существовать несколько различных квазипоперечных ударных волн. Всегда существует одна быстрая (верхний эволюционный прямоугольник) и одна медленная (нижний прямоугольник) ударные волны, эволюционные отрезки которых примыкают к начальной точке и которые при уменьшении своей интенсивности переходят в бесконечно слабые скачки, совпадающие с волнами Римана. Кроме этого в упругой среде могут существовать ударные волны, интенсивность которых не может быть как угодно малой, и их эволюционные отрезки ЕК (при х > 0), а также LD и НК (при х < 0) на ударной адиабате отделены от начальной точки А областями неэволюционности. Будем далее называть их ударными волнами второго типа. Наличие аналогичных волн отмечалось ранее в газовой динамике в средах с усложненным уравнением состояния (Галин [1959]). [c.203]

Поэтому представляет интерес вопрос о пересечении характеристик, соответствующих этим волнам, или об опрокидыьании простых волн. Не обсуждая этого вопроса подробно, отметим, что при переходе от расхождения характеристик в полупространстве к их пересечению критическая ситуация заключается в параллельности характеристик, соответствующих двум бесконечно близким состояниям в простой волне. Это означает равенство характеристических скоростей в этих состояниях, так что критические условия, определяющие переход от неопрокидывания к опрокидыванию одни и те же для стационарных двумерных и нестационарных одномерных волн. В квазипоперечных волнах, где изменение величин 1 происходит одинаково в стационарных двумерных волнах и в волнах Римана, изменение наклона волны пропорционально изменению характеристической скорости. [c.290]

При рассмотрении квазипоперечных волн, если эффекты нелинейности и анизотропии сравнимы, оказывается необходимым учитывать взаимодействие двух квазипоперечных волн, распро-страняюш,ихся с близкими скоростями. Соответственно будет предположено, что определяюш,ую роль будут играть два инварианта Римана (линейного приближения), которые связаны с со-ответствуюш,ими семействами характеристик. Однако, остальные инварианты. Римана не могут быть положены равными нулю, поскольку нелинейность приводит к их появлению внутри волны даже при нулевых начальных условиях. Для этих инвариантов будет получено приближенное вынужденное решение, учет которого необходим для правильного описания основных инвариантов в принятом приближении. В результате в следующем параграфе получим систему двух уравнений в частных производных для описания квазипоперечных волн, распространяющихся в одну сторону. [c.298]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...