Главные площадки и главные напряжения. Экстремальность главных напряжений

Из рис. 11.3,6 видно, что углы между главными площадками и площадками с экстремальными значениями касательных напряжений (площадками сдвига) равны вписанным углам 2СЗ, 2С4, 1С4, которые опираются на равные дуги в одну четверть длины окружности и, следовательно, равны 45°. Из рис. 11.3,6 видно также, что нормальные напряжения в площадках сдвига равны [c.106]

Так как напряжения изменяются в зависимости от точки (а в случае движения еще и от времени), то в каждой точке тела существуют три взаимно ортогональные главные площадки, на которых нормальные напряжения принимают экстремальные значения, а касательные напряжения равны нулю. Напряженное состояние полностью определяется главными напряжениями и ориентацией главных площадок. Вместо шести составляющих тензора 0г здесь мы имеем дело с тремя главными напряжениями 01, 02, 03 и тремя единичными нормальными векторами п . [c.49]

Главными площадками / и 2 являются винтовые поверхности встречного направления с углами 45° к продольным и поперечным сечениям (рис. 95). По винтовым площадкам одного направле ния действуют главные растягивающие напряжения, по встречным— главные сжимающие напряжения. Те и другие напряжения одинаковы по величине и равны экстремальному касательному напряжению (66) [c.108]

Напомним, что экстремальное значение среди нормальных напряжений на всевозможных площадках имеют главные напряжения (см. рис. 55), и что мы их условились обозначать О], [c.119]

В площадках, наклоненных под различными углами к боковым граням элементарного параллелепипеда, действуют нормальные и касательные напряжения, величины которых можно определить по формулам (б.З) и (7.3). Имеются две взаимно перпендикулярные площадки, по которым касательные напряжения равны нулю. Эти площадки, как известно, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие в них, — главными напряжениями (см. 3.3). В площадках, наклоненных под углами в 45° к главным площадкам, действуют экстремальные касательные напряжения эти площадки называются площадками сдвига (см. 4.3). [c.288]

С помощью круга Мора наглядно демонстрируется свойство экстремальности главных напряжений а1 и стг, а также максимального касательного напряжения х ах-Такая демонстрация еще более уместна для трехосного напряженного состояния. На рис. 4.7 осуществлено построение трех кругов Мора для случая Стх > аг > Оз > О, Каждый из этих трех кругов соответствует множеству площадок, параллельных одному из главных напряжений. В частности, круг, построенный на напряжениях Ох и Ог, отвечает площадкам, параллельным напряжению 03 (рис. 4.7, а) круг на напряжениях стг и стд — площадкам, параллельным напряжению (рис. 4.7, б) круг на напряжениях СТ1 и 03 — площадкам, параллельным напряжению сга (рис. 4.7, в). [c.120]

При расчете элементов конструкций на прочность определяют экстремальные значения нормальных и касательных напряжений в точках нагруженного тела, а также положения площадок, на которых они действуют. Рещая такую задачу, полагают, что напряжения на гранях параллелепипеда, выделенного в точке, известны и требуется найти напряжения на любых площадках, проведенных в окрестности точки. Она легко решается из рассмотрения равновесия части параллелепипеда, отсеченной данной площадкой. Наиболее просто решить поставленную задачу, если первоначальный элемент выделен главными площадками, а исходными являются главные напряжения. [c.174]

При этом о = Oi, из первого уравнения Я = а , два другие удовлетворяются тождественно. Аналогично можно было принять Пг = 1 и Пз = 1- Эти решения тривиальны, на главных площадках касательное напряжение равно нулю, а для положительной величины нулевое значение будет экстремальным. [c.223]

Уравнение (6.33) имеет три вещественных корня ei, е , Вз, которые определяют значения главных относительных удлинений. Аналогично анализу напряженного состояния легко установить, что направления, в которых имеют место г , и Ез, взаимно ортогональны. Эти направления называются главными направлениями удлинений, а ei, е , — главными удлинениями. Под углом я/2 к этим главным направлениям ориентированы площадки экстремальных значений сдвигов [c.126]

Следовательно, касательные напряжения х, действующие по боковым граням рассматриваемого параллелепипеда, являются экстремальными (т ,з, и т 1 ), а эти грани являются площадками сдвига и образуют с главными площадками углы, равные 45°. [c.121]

Максимальные и минимальные (экстремальные) нормальные напряжения называют главными напряжениями, а площадки, на которых действуют главные напряжения, называют главными площадками. [c.164]

Для определения экстремальных значений касательных напряжений и положения площадок, на которых они действуют, запишем формулы (4.25) для напряжений на наклонной площадке, взяв в качестве исходных главные направления [c.91]

В разд. 4.3 главные площадки были определены как площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Другими словами, равнодействующие напряжений на главных площадках являются нормальными компонентами напряжений. На любой другой проходящей через точку площадке равнодействующая напряжений будет иметь в общем случае и нормальную, и касательную составляющие. Ясно, что среди этих площадок есть по крайней мере одна, на которой касательное напряжение достигает максимального значения. Экстремальные значения касательных напряжений называются главными касательными напряжениями, а площадки, на которых они действуют, называются главными площадками сдвига. [c.95]

Существуют координатные площадки, на которых касательные напряжения обращаются в нуль, а нормальные напряжения становятся экстремальными. Соответствующие оси координат называют главными осями тензора напряжений. Компоненты напряжений в этих осях обозначают символами ri, 0 2, сгз и называют главными значениями тензора напряжений. Главные оси нумеруются так, чтобы в алгебраическом смысле выполнялись условия СГ1 (72 СГ3. Матрица тензора напряжений в главных осях является диагональной. [c.25]

Главные напряжения. Через каждую площадку тела можно провести три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Эти площадки называются главными площадками в рассматриваемой точке, а направление нормалей к ним — главными направлениями. Действующие на главных площадках нормальные напряжения называются главными напряжениями и обозначаются через а , (72 и аз при этом > аг > ад. Нормальные напряжения в данной точке достигают на главных площадках экстремальных значений. [c.6]

От начала координат О по оси откладываем отрезки, равные с, и (получаем точки С, В и А). На отрезках АС, АВ, БС, как на диаметрах, строим окружности. Величины напряжений о и т , действующих на площадку, нормаль к которой составляет углы а, р и т с главными напряжениями вх, о, и 03, находим следующим построением, В точках С и А восставляем перпендикуляры к оси с. Откладываем от этих перпендикуляров углы а и так, как это показано на чертеже. Через точки Ох и О пересечения сторон углов а и 7 с большой окружностью проводим дуги радиусами О,О, и ОяО. Точка пересечения этих дуг М имеет координаты, равные и т . Из чертежа видно, что экстремальные значения касательных напряжений равны [c.10]

ЧТО и Ха. Следовательно, нормальное напряжение достигает максимума и минимума в тех площадках, где касательное напряжение равно нулю, т. е. в главных площадках. Назовем экстремальные нормальные напряжения главными напряжениями, обозначим их через а, и og и покажем, что нормальное напряжение в одной главной площадке достигает максимума, а в другой — минимума. Для этого запишем выражения а и по формуле (33) [c.62]

Таким образом, можно сказать, что формула (66) дает экстремальное значение касательного напряжения и что две главные площадки, проведенные, например, через точку С, образуют углы 45° с продольными и поперечными сечениями, а третья главная площадка перпендикулярна к двум первым. Все главные площадки , 2 я 3 образуют три семейства поверхностей. [c.108]

Если одновременно определяют также главные нормальные напряжения и главные площадки, то экстремальные касательные [c.100]

Из круга Мора, построенного для пространственного напряженного состояния (см, рис. 13.3, б), видно, что экстремальные касательные напряжения действуют по площадкам, параллельным главному напряжению а , так как наибольшие по абсолютной величине ординаты принадлежат кругу, построенному по главным напряжениям о, и og. Эти площадки наклонены к площадкам, по которым действуют главные напряжения о, и о , под углами в 45°, Значения экстремальных касательных напряжений равны [c.108]

Главные напряжения aj и g при чистом сдвиге, как известно, равны по величине экстремальным касательным напряжениям и, следовательно, равны касательным напряжениям по боковым граням параллелепипеда, расположенным в поперечных сечениях бруса. Главные площадки наклонены под углами 45 к площадкам чистого сдвига (см. рис. 13.6). [c.197]

В самом элементе действуют не только касательные напряжения по главным его площадкам ас и bd действуют главные напряжения, равные по абсолютной величине экстремальным касательным Рис. 39 напряжениям, действующим по площадкам чистого сдвига [c.75]

Т. е. т = т1з (6.45)—наибольшее касательное напряжение в рассматриваемой точке тела. Полагая теперь п = х = и затем = = 0, найдем, что два других экстремальных напряжения равны Т23, Т12 (6.45) и действуют на площадках, делящих пополам углы между главными плоскостями (2, 3) и (1,2). [c.105]

Задача 11.5. В системе главных координат (xj", х , Х3) рассматривается напряжение р на площадке с нормалью п. Найти максимальное и минимальное значение касательной составляющей этого напряжения в зависимости от ориентации площадки выразить эти экстремальные значения через главные значения тензора напряжений, если нумерация координатных осей выбрана так, что р > Р( 2) > Р(Ъ)-Показать, что максимальное значение нормального напряжения совпадает с одним из главных напряжений. [c.248]

Сопоставляя полученное выражение с формулой (42), видим, что угол 2 , отличается от угла 2яо на 90° и, следовательно, углы а и 2 отличаются один от другого на 45°. Иными словами, площадки действия экстремальных касательных напряжений делят пополам углы между главными площадками. Если подставить в формулу (41) значения тригонометрических функций угла пг, выраженные при помощи выражения для tg 20 через Чу и х, после некоторых преобразований получим формулу (45). [c.92]

Следовательно, для каждой из этих точек одна из главных площадок совпадает с поперечньпи сечением балки, а две другие перпендикулярны поперечному сечению (нормальные напряжения в них равны нулю). В этих точках имеется одноосное напряженное состояние. На рис. 7.34, й показаны элементарные параллелепипеды, боковые грани которых параллельны двум главным площадкам третья главная площадка параллельна плоскости чертежа. Экстремальные касательные напряжения в точках а и а определяются по формуле [c.260]

Заметим, что площадки, по которым возникают наибольщее или наименьшее нормальные напряжения, называются главными площадками, а сами экстремальные нормальные напряжения называются главными напряжениями. На рис. 26, в изображен малый элемент, выделенный около точки с и образованный главными площадками 1—1, 2—2 с напряжениями = о и напряжениями Отш = О- Выясним, по каким площадкам возникают наибольшие касательные [c.39]

Из третьей формулы (4.10) следует, что на площадках, наклоненных к главным под углом п/4, действуют максимальные касательные напряжения, равные полураз-ности наибольшего и наименьшего главных напряжений. На рис. 4.5 изображены три семейства площадок, на которых касательные напряжения достигают экстремальных значений [c.116]

Как выше отмечалось, на направлениях главных осей деформация сдвига обращается в нуль. Можно показать (так же, как и для тензора напряжений), что экстремальные деформации сдвига действуют на площадках, проходящих через одну главную ось и делящих угол между оставщимися осями пополам. При этом их величины равны разности между соответствующими главными деформациями. Отметим, что вдоль направления нормалей к этим площадкам относительное удлинение равно полусумме главных деформаций. [c.212]

Задача 3.2 (к 3.3, 3.4 и 3.5). Для напряженных состоя шй, изображенных на рис. 3.20, б, в, найти аналитически и с помо гью круга Мора главные нормальные и экстремальные касателг ные напряжения, а также определить углы между площадками, по которым действуют напряжения и вертикальными 1Ло- [c.118]

Для определения напряжений по любым площадкам, перпендикулярным основанию abed парал-.телепипеда, можно использовать формулы плоского напряженного состояния [формулы (3.6) и (3.7)]. Главные напряжения aj и Стз при чистом сдвиге, как известно, равны по величине экстремальным касате.тьным напряжениям и, следовательно, равны касательным напряжениям по боковым граням параллелепипеда, расположенным в поперечных сечениях бруса. Главные площадки наклонены под углом 45° к площадкам чистого сдвига (рис. 6.13). [c.178]

Аналогично можно вычислить значешгя экстремальных касательных напряжений и построить эпюры этих напряжений. На рис. 7.34,6 для прямозлоль-ного поперечного сечения балки, в котором действуют положительные изгибающий момент М и поперечная сила Q, показаны эпюры напряжений а и т, возникающих в площадках, совпадающих с поперечным сечением, эпюры главных напряжений и [c.261]

Уравнения (5.73) и (5.74) повторяют уравнения (5.17) с точностью до обозначений. Поэтому вращение площадки с нормалью v относительно оси х характеризуется тем, что о , и Xv изменяются так же, как и в случае двумерного напряженного состояния, даже если к не совпадает с направлением главного напряжения. Таким образом, для охарактеризования и Tv( может быть применен обычный круг Мора. Экстремальные нормальные напряжения о х и Од из множества нормальных напряжений, действующих на площадках, параллельных оси л , могут быть названы псевдоглавными напряжениями, а экстремальная касательная вдоль оси / составляющая напряжений [c.430]

Главные напряжения. Площадки, на которых к асательные напряжения равны нулю, называются главными. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, достигают Экстремальных аначешй и нормаль- [c.34]

При люэом напряженном состоянии, в том числе и при плоском, главные площадки обладают еще одним свойством в них нормальные напряжения достигают экстремальных значений, т. е. максимума и минимума. Докажем это. Для нахождения [c.62]

Задача 2.3 (к 3.3, 4.3 и 5.3). Для напряженных состояний, изображенных ца рис. 25.3, б, в, найти аналитически и с помощью круга Мора главные нормальные и экстремальные касательные напряжения, а также определить углы между площадками, по которым действуют напряжения ащах, и вертикальными площадками. [c.123]

Следовательно, касательные напряжения х, действующие по боковым граням рассматриваемого параллелепипеда (рис. 1.4), являются экстремальными ( шах и Xjnin), а эти грани являются площадками сдвига и образуют с главными площадками углы, равные 45°. Площадки сдвига отличаются от аналогичных площадок в общем случае напряженного состояния тем, что по ним не действуют нормальные напряжения. В связи с этим их называют площадками чистого сдвига. [c.126]

Положение площадок, по которым действуют наибольшее и соответственно наименьшее касательные напряжения, получим из условия dxalda = 0. Отсюда находим os 2а = О и значения углов а = 45°, aj = 135°, т. е. экстремальные значения касательных напряжений возникают по площадкам, наклоненным к главным площадкам на 45 и 135°. Величины х ,а определяются по формуле (2.53) при sin2a= +1 [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...