ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Главные площадки и главные напряжения. Экстремальность главных напряжений из "Краткий курс сопротивления материалов с основами теории упругости " Убедимся в том, что при известных компонентах тензора напряжений в некоторой точке можно определить нормальное и касательное напряжения на произвольно ориентированной площадке. Для этого предположим, что в ( )/4 нагруженного тела известны все шесть составляющих напряжений. В этой же точке указаны два взаимно пер-Г1 ендикулярных направления при помощи единичных векторов п и t (рис. 2.7, а). Будем считать, что проекции этих векторов совпадают с косинусами направляющих углов, т. е. [c.38] Определим нормальное и касательное напряжения, действующие в рассматриваемой точке. [c.38] Таким образом, показано, что задание шести составляющих напряжений в точке тела позволяет подсчитать в этой точке нормальные и касательные напряжения на любой произвольно ориентированной площадке. [c.39] Положительный угол здесь отсчитывается от направления координатной ОСИ х до п против часовой стрелки. [c.40] В тёории напряжений особо выделяют площадки, проведенные через произвольную точку нагруженного тела и свободные от касательных напряжений. Их называют главными площадками. Действующие по таким площадкам полные напряжения, являющиеся одновременно нормальными, именуют главными напряжениями. [c.40] Однако после введения таких понятий возникает естественный вопрос возможно ли в точке с произвольным напряженным состоянием отыскать хотя бы одну площадку, на которой нет касательных напряжений Попробуем ответить на этот вопрос. [c.40] Это система линейных однородных алгебраических уравнений относительно трех косинусов углов. Наличие ненулевого решения (2.7) и определяет положительный ответ на вопрос, поставленный в начале настоящего параграфа. [c.40] Немного повременим с анализом условий разрешимости системы (2.7). Вместо этого выясним вопрос об экстремальных значениях нормальных напряжений в точке нагруженного тела. Этот вопрос имеет совершенно определенный практический смысл некоторые материалы разрушаются от того, что именно нормальные напряжения превышают критические значения. [c.41] В связи с такой постановкой возникает задача исследования на экстремум выражения (2.4), как функции косинусов, т. е. функции о = (5 (с, с, с ). [c.41] В этой записи очевидна идея множителей Лагранжа. Вместо функции трех переменных принимается функция (с , а) с неизвестным четвертым аргументом ( множителем ). Отыскание последнего и позволяет решить задачу на условный экстремум. [c.41] Совпадение (2.7) с (а) объясняет наш неожиданный поначалу переход от поиска возможности появления в точке хотя бы одной главной площадки к проблеме экстремальности нормальных напряжений в этой же точке. Ясно, что экстремальные значения нормальных напряжений реализуются на главных площадках. [c.41] Совпадение систем (2.7) и (а) указывает на вполне определенный смысл корней кубического уравнения. Это экстремальные значения нормальных напряжений, реализуемые на главных площадках. Понятно, что главные напряжения для конкретной точки тела, как некие физические реалии, не должны зависеть от выбора системы координат, в которой составляется уравнение (2.8). Отсюда вытекает независимость величин ,, 2, з от замены системы координат По этой причине их называют соответственно первым, вторым и третьим инвариантами тензора напряжений. [c.42] Вернуться к основной статье