Задача о линейном осцилляторе

Задача. В случае одной степени свободы уравнение в частных производных (8.2.7) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению и решается в квадратурах. Рассмотреть задачу о линейном осцилляторе [c.270]

Упражнение, Постройте картину поведения фазовых траекторий в плоскости (ф,ф) в задаче о линейном осцилляторе. [c.256]

Задача о линейном осцилляторе. Полагая некоторые физические постоянные равными единице, запишем гамильтониан этой задачи в следуюш ем виде [c.342]

Мы рассмотрим движение тела малой массы в сильно сопротивляющейся среде под действием пружины (этот случай представляет наибольший интерес для рассмотрения в дальнейшем так называемых разрывных колебаний). Дополнительно к тем предположениям, которые мы делали при постановке задачи о линейном осцилляторе с трением, мы пренебрежем массой движущегося тела. Тогда уравнение движения запишется в виде дифференциального уравнения первого порядка [c.69]

Осциллятор в среде с линейным трением. При движении тела в среде возрастает кинетическая энергия среды, возникают акустические волны, происходит изменение термодинамического состояния как среды, так и тела. Таким образом, задача о движении тела в среде лежит вне рамок механики [28, 73]. Однако при малой скорости тела достаточно ограничиться феноменологическим подходом, добавляя в правую часть (17.2) диссипативную функцию F q, q) = —b q)q. В приближении линейных колебаний b[q)q Ъ с)х. Следовательно, вместо (17.4) имеем уравнение [c.139]

Таким образом, с помощью нормальных координат задача о свободных колебаниях -мерной механической системы сводится к исследованию колебаний совокупности независимых между собой линейных гармонических осцилляторов. [c.241]

Задача 5. Па линейный осциллятор, находящийся при i —) —) — оо в основном состоянии, действует внешняя сила Р 1), F t) —) О при t —) оо. Пайдите вероятность возбуждения различных состояний осциллятора, средний номер возбужденного состояния и среднее значение энергии осциллятора при t —) -Ьоо. [c.168]

В этой главе мы изложим теорему, впервые доказанную Мозе ром и обобщающую более ранние результаты Колмогорова и Арнольда. Задача, о которой идет речь, включает в себя в качестве частных случаев задачи, рассмотренные в разд. 3.9, 5.2 и 5.3. Как мы уже знаем, система линейно связанных гармонических осцилляторов может совершать колебания на нескольких основных частотах так, что совместное движение всей системы оказывается частным случаем квазипериодического движения. В этой главе мы попытаемся ответить на важный вопрос могут ли нелинейно связанные осцилляторы также совершать квазипериодическое движение Сами осцилляторы при этом могут быть не только линейными, но и нелинейными. [c.207]

Резонансные возмущения описывают перенос энергии между волновыми компонентами по аналогии с явлением биения линейных связанных настроенных осцилляторов. Если поля состоят из конечного числа дискретных компонент, то эволюцию полей можно определить, переписывая вековые члены в разложении возмущения как скорость медленного изменения волновых амплитуд во времени [1, 2, 4]. Для случайных полей мы будем интересоваться эволюцией спектра. Мы примем здесь, по существу, тот же самый подход сначала определим из уравнений возмущений вековые члены разложения возмущений для спектра, затем перепишем их как скорость изменения медленно меняющегося спектра. (Между этими двумя случаями находится задача о рассеянии отдельной волны случайными полями [5, 26]. Наша теория дает соотношения интенсивностей для этой задачи, но не флуктуации фазы.) [c.113]

Говорят, что уравнения (8) описывают задачу о линейном осцилляторе. Известно, что решение (18) можно представить в следуюгцем виде [c.256]

Глава 7 (Гармонический осциллятор). Очень важны линейные задачи и, в частности, задача о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора. Даже в объеме минимальной программы необходимо разобрать первый из трех примеров нелинейных задач, потому что он дает студентам понятие о том, как они могут оценить ошибки, обусловленные линеаризацией задачи о колебаниях маятника. Понятие о сдвиге фаз при вынужденных колебаниях гармонического осциллятора не сразу воспринимается большинством студеп-тов. Здесь помогает хорошая лекционная демонстрация. Электрические аналогии плохо воспринимаются на этой стадии преподавания, и их, может быть, следовало бы оставить для лабораторных работ. В демонстрации входят гармонические колебания камертонов (следует усилить их, чтобы звук был хорошо слышен, а также показать форму волны на экране) вынужденные колебания груза на пружине задаваемые генератором сигналов вынужденные электрические колебания контура, состоящего из сопротивления, индуктивности и емкости прибор Прингсхейма колебания связанных осцилляторов. [c.15]

Убедиться,что группа ж = ж + а81п(со + Р) нри любой фазе Р является группой дивергентных симметрий (см. задачу 20.66) для возмуш енпого линейного осциллятора ж + = /(О Вычислить два первых интеграла (Р = О, Р = л /2) и обш ее решение х Ь, Сг, (72). [c.216]

Известно, что благодаря явлению резонанса сильно несинусоидальная внешняя сила при наличии линейного затухания может поддерживать Б гармоническом осцилляторе колебания, весьма близкие(в смысле близости периода и малости клирфактора) к одному из его собственных (и, следовательно, синусоидальных) колебаний. Мы можем поэтому сказать, что в задаче о генераторе с /-характеристикой при достаточно малом А мы имеем дело с авторезонансом, т. е. с резонансом под действием силы, порождаемой движением самой системы ). [c.194]

В качестве другого примера диссипативной системы мы рассмотрим осциллятор с сухим трением (рис. 115), причем для простогъ будем считать, что при отсутствии трения система представляет гармонический осциллятор. Такую задачу об осцилляторе, который при отсутствии трения был бы гармоническим, мы уже рассматривали в гл. I, 4, предполагая, однако, при этом, что сила. трения пропорциональна скорости. Этот закон трения удовлетворительно определяет сопротивление движению тела со стороны жидкой или газообразной среды при не слишком больших скоростях. Однако этот линейный закон совершенно не отображает закономерностей сухого трения — трения между твердыми поверхностями (без слоя смазки между ними), имеющегося в рассматриваемой колебательной системе. Достаточно хорошо основные черты этих закономерностей, во всяком случае в области малых скоростей, передаются предположением о постоянном [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...